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- 2021-06-24 发布
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第5讲 指数与指数函数
一、选择题
1．已知a＝21.2，b＝－0.8，c＝2log5 2，则a，b，c的大小关系为( )．
A．c2，而b＝－0.8＝20.8，所以10且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga 2＋6，则a的值为 ( )．
A. B. C．2 D．4
解析 由题意知f(1)＋f(2)＝loga2＋6，即a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍)．
答案 C
5．若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是下图中的 ( )．
解析 函数f(x)＝(k－1)ax－a－x为奇函数，则f(0)＝0，即(k－1)a0－a0＝0，解得k＝2，所以f(x)＝ax－a－x，又f(x)＝ax－a－x为减函数，故0f(n)，则m、n的大小关系为________．
解析 ∵a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1(舍)．
函数f(x)＝ax在R上递增，由f(m)>f(n)得m>n.
答案 m>n
8．已知函数f(x)＝
满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则a的取值范围是________．
解析 对任意x1≠x2，都有<0成立，说明函数y＝f(x)在R上是减函数，则00，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析 令ax－x－a＝0即ax＝x＋a，
若01，y＝ax与y＝x＋a的图象如图所示．
答案 (1，＋∞)
10．已知f(x)＝x2，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，f
(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．
解析 x1∈[－1,3]时，f(x1)∈[0,9]，x2∈[0,2]时，g(x2)∈，即g(x2)∈，要使∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，只需f(x)min≥g(x)min，即0≥－m，故m≥.
答案
三、解答题
11．已知函数f(x)＝.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)求证f(x)在R上为增函数．
(1)解 因为函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝＝1－，所以f(－x)＋f(x)＝＋＝2－＝2－＝2－＝2－2＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(2)证明 设x1，x2∈R，且x10,2x2＋1>0，
∴f(x1)0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)；
(2)若不等式()x＋()x－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．
解析 (1)把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)＝b·ax，得
结合a>0且a≠1，解得
∴f(x)＝3·2x.
(2)要使()x＋()x≥m在(－∞，1]上恒成立，
只需保证函数y＝()x＋()x在(－∞，1]上的最小值不小于m即可．
∵函数y＝()x＋()x在(－∞，1]上为减函数，
∴当x＝1时，y＝()x＋()x有最小值.
∴只需m≤即可．
∴m的取值范围(－∞，]
13．若函数y＝为奇函数．
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域；
(3)求函数的值域．
解析 ∵函数y＝，∴y＝a－.
(1)由奇函数的定义，可得f(－x)＋f(x)＝0，即
a－＋a－＝0，
∴2a＋＝0，∴a＝－.
(2)∵y＝－－，
∴2x－1≠0，即x≠0.
∴函数y＝－－的定义域为{x|x≠0}．
(3)∵x≠0，∴2x－1＞－1.
∵2x －1≠0，∴0＞2x－1＞－1或2x－1＞0.
∴－－＞或－－＜－.
即函数的值域为{y|y＞或y＜－}．
14．已知定义在R上的函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)当x<0时， f(x)＝0，无解；
当x≥0时，f(x)＝2x－，
由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，
看成关于2x的一元二次方程，解得2x＝2或－，
∵2x>0，∴x＝1.
(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，
∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)，
∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故m的取值范围是[－5，＋∞)．
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