2014年高考数学（理科）真题分类汇编E单元　不等式 17页

‎ 数 学 ‎ ‎ E单元　不等式 ‎ E1　不等式的概念与性质 ‎5．B6，B7，E1[2014·山东卷] 已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是(　　)‎ A. ＞ B. ln(x2＋1)＞ln(y2＋1) ‎ C. sin x＞sin y D. x3＞y3‎ ‎5．D　[解析] 因为ax＜ay(0＜a＜1)，所以x＞y，所以sin x＞sin y，ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)，＞都不一定正确，故选D.‎ ‎4．E1[2014·四川卷] 若a>b>0，c B.< ‎ C.> D.< ‎4．D　[解析] 因为c＜d＜0，所以<＜0，即－>－＞0，与a＞b＞0对应相乘得，－>－＞0，所以<.故选D.‎ E2 绝对值不等式的解法 ‎9．E2、E8[2014·安徽卷] 若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为(　　)‎ A．5或8 B．－1或5‎ C．－1或－4 D．－4或8‎ ‎9．D　[解析] 当a≥2时，‎ f(x)＝ 由图可知，当x＝－时，fmin(x)＝f＝－1＝3，可得a＝8.‎ 当a<2时，f(x) 由图可知，当x＝－时，fmin(x)＝f＝－＋1＝3，可得a＝－4.综上可知，a的值为－4或8.‎ E3　一元二次不等式的解法 ‎ ‎2．A1、E3[2014·全国卷] 设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝(　　)‎ A．(0，4] B．[0，4) ‎ C．[－1，0) D．(－1，0]‎ ‎2．B　[解析] 因为M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－14，解得m>2或m<－2，故m的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．‎ E4 简单的一元高次不等式的解法 E5　简单的线性规划问题 ‎5．E5[2014·安徽卷] x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)‎ A.或－1 B．2或 ‎ C．2或1 D．2或－1‎ ‎5．D　[解析] ‎ 方法一：画出可行域，如图中阴影部分所示，可知点A(0，2)，B(2，0)，C(－2，－2), 则zA＝2，zB＝－‎2a，zc＝‎2a－2.‎ 要使对应最大值的最优解有无数组，‎ 只要zA＝zB>zC或zA＝zC>zB或zB＝zC>zA，‎ 解得a＝－1或a＝2.‎ 方法二：画出可行域，如图中阴影部分所示，z＝y－ax可变为y＝ax＋z，令l0：y＝ax，则由题意知l0∥AB或l0∥AC，故a＝－1或a＝2.‎ ‎6．E5[2014·北京卷] 若x，y满足 且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为(　　)‎ A．2 B．－‎2 C. D．－ ‎6．D　[解析] 可行域如图所示，当k>0时，知z＝y－x无最小值，当k<0时，目标函数线过可行域内A点时z有最小值．联立解得A，故zmin＝0＋＝－4，即k＝－.‎ ‎11．E5[2014·福建卷] 若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最小值为________．‎ ‎11．1　[解析] 作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，‎ 把z＝3x＋y变形为y＝－3x＋z，则当直线y＝3x＋z经过点(0，1)时，z最小，将点(0，1)代入z＝3x＋y，得zmin＝1，即z＝3x＋y的最小值为1.‎ ‎3．E5[2014·广东卷] 若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝(　　)‎ A．5 B．6 ‎ C．7 D．8‎ ‎3．B　[解析] 本题考查运用线性规划知识求目标函数的最值，注意利用数形结合思想求解．画出不等式组表示的平面区域，如图所示．‎ 当目标函数线经过点A(－1，－1)时，z取得最小值；当目标函数线经过点B(2，－1)时，z取得最大值．故m＝3，n＝－3，所以m－n＝6.‎ ‎14．E5[2014·湖南卷] 若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝________.‎ ‎14．－2　[解析] 画出可行域，如图中阴影部分所示，不难得出z＝2x＋y在点A(k，k)处取最小值，即3k＝－6，解得k＝－2.‎ ‎14．E5[2014·全国卷] 设x，y满足约束条件则z＝x＋4y的最大值为________．‎ ‎14．5　[解析] 如图所示，满足约束条件的可行域为△ABC的内部(包括边界), z＝x＋4y的最大值即为直线y＝－x＋z的纵截距最大时z的值．结合题意，当y＝－x＋z经过点A时，z取得最大值．‎ 由可得点A的坐标为(1，1)，‎ 所以zmax＝1＋4＝5.‎ ‎9．E5、A3[2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组的解集记为D，有下面四个命题：‎ p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，‎ p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，‎ p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，‎ p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.‎ 其中的真命题是(　　)‎ A．p2，p3 B．p1，p2‎ C．p1，p4 D．p1，p3‎ ‎9．B　[解析] 不等式组表示的区域D如图中的阴影部分所示，设目标函数z＝x＋2y，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2，－1)处取得最小值，且zmin＝2－2＝0，即x＋2y的取值范围是[0，＋∞)，故命题p1，p2为真，命题p3，p4为假．‎ ‎9．E5[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为(　　)‎ A．10 B．‎8 C．3 D．2‎ ‎9．B　[解析] 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(5，2)处取得最大值，故目标函数的最大值为2×5－2＝8.‎ ‎9．E5[2014·山东卷] 已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值2　时，a2＋b2的最小值为(　　)‎ ‎A. 5 B. ‎4 C. D. 2‎ ‎9．B　[解析] 画出约束条件表示的可行域(如图所示)．‎ 显然，当目标函数z＝ax＋by过点A(2，1)时，z取得最小值，即2　＝‎2a＋b，所以2　－‎2a＝b，所以a2＋b2＝a2＋(2　－‎2a)2＝‎5a2－8　a＋20，构造函数m(a)＝‎5a2－8　a＋20(>a>0)，利用二次函数求最值，显然函数m(a)＝‎5a2－‎8a＋20的最小值是＝4，即a2＋b2的最小值为4.故选B.‎ ‎18．F2，E5[2014·陕西卷] 在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．‎ ‎(1)若＋＋＝0，求||；‎ ‎(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．‎ ‎18．解：(1)方法一：∵＋＋＝0，‎ 又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，‎ ‎∴解得 即＝(2，2)，故||＝2.‎ 方法二：∵＋＋＝0，‎ 则(－)＋(－)＋(－)＝0，‎ ‎∴＝(＋＋)＝(2，2)，‎ ‎∴||＝2.‎ ‎(2)∵＝m＋n，‎ ‎∴(x，y)＝(m＋2n，‎2m＋n)，‎ ‎∴ 两式相减得，m－n＝y－x，‎ 令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.‎ ‎5．E5，L1[2014·四川卷] 执行如图11所示的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为(　　)‎ 图11‎ A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ ‎5．C　[解析] 题中程序输出的是在的条件下S＝2x＋y 的最大值与1中较大的数．结合图像可得，当x＝1，y＝0时，S＝2x＋y取得最大值2，2>1，故选C.‎ ‎2．E5[2014·天津卷] 设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为(　　)‎ A．2 B．‎3 C．4 D．5‎ ‎2．B　[解析] 画出可行域，如图所示．解方程组得即点A(1，1)．‎ 当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值，即zmin＝1×1＋2×1＝3.‎ ‎13．E5　[2014·浙江卷] 当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ ‎13.　[解析] 实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，图中A(1，0)，B(2，1)，C.当a≤0时，0≤y≤，1≤x≤2，所以1≤ax＋y≤4不可能恒成立；当a>0时，借助图像得，当直线z＝ax＋y过点A时z取得最小值，当直线z＝ax＋y过点B或C时z取得最大值，故解得1≤a≤.故a∈.‎ E6　基本不等式 ‎16．E6、E9[2014·辽宁卷] 对于c>0，当非零实数a，b满足‎4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|‎2a＋b|最大时，－＋的最小值为________．‎ ‎16．－2　[解析] 由题知‎2c＝－(‎2a＋b)2＋3(‎4a2＋3b2)．‎ ‎(‎4a2＋3b2)≥(‎2a＋b)2⇔‎4a2＋3b2≥(‎2a＋b)2，即‎2c≥(‎2a＋b)2，‎ 当且仅当＝，即‎2a＝3b＝6λ(同号)时，‎ ‎|‎2a＋b|取得最大值，此时c＝40λ2.‎ －＋＝－＝－2≥－2，‎ 当且仅当a＝，b＝，c＝时，－＋取最小值－2.‎ ‎14．J3，E6[2014·山东卷] 若的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2‎ 的最小值为________．‎ ‎14．2　[解析] Tr＋1＝C(ax2)6－r·＝Ca6－r·brx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以Ca6－3b3＝20，即a3b3＝1，所以ab＝1，所以a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b，且ab＝1时，等号成立．故a2＋b2的最小值是2.‎ ‎10．E6，F7[2014·四川卷] 已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)‎ A．2 B．‎3 C. D. ‎10．B　[解析] 由题意可知，F.设A(y，y1)，B(y，y2)，∴·＝y1y2＋yy＝2，‎ 解得y1y2＝1或y1y2＝－2.又因为A，B两点位于x轴两侧，所以y1y2＜0，即y1y2＝－2.‎ 当y≠y时，AB所在直线方程为y－y1＝(x－y)＝ (x－y)，‎ 令y＝0，得x＝－y1y2＝2，即直线AB过定点C(2，0)．‎ 于是S△ABO＋S△AFO＝S△ACO＋S△BCO＋S△AFO＝×2|y1|＋×2|y2|＋×|y1|＝(9|y1|＋8|y2|)≥×2＝3，当且仅当9|y1|＝8|y2|且y1y2＝－2时，等号成立．当y＝y时，取y1＝，y2＝－，则AB所在直线的方程为x＝2，此时求得S△ABO＋S△AFO＝2××2×＋××＝，而>3，故选B.‎ ‎14．E6，H4[2014·四川卷] 设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．‎ ‎14．5　[解析] 由题意可知，定点A(0，0)，B(1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点P(x，y)落在以AB为直径的圆周上，‎ 所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.‎ ‎∴|PA||PB|≤＝5，‎ 当且仅当|PA|＝|PB|时等号成立．‎ E7 不等式的证明方法 ‎20．M1 E7[2014·北京卷] 对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(an，bn)，记 T1(P)＝a1＋b1，Tk(P)＝bk＋max{Tk－1(P)，a1＋a2＋…＋ak}(2≤k≤n)，‎ 其中max{Tk－1(P)，a1＋a2＋…＋ak}表示Tk－1(P)和a1＋a2＋…＋ak两个数中最大的数．‎ ‎(1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值；‎ ‎(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小；‎ ‎(3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)‎ ‎20．解：(1)T1(P)＝2＋5＝7，‎ T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8.‎ ‎(2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，‎ T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．‎ 当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.‎ 因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)．‎ 当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.‎ 因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．‎ 所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．‎ ‎(3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小，‎ T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.‎ ‎19．A1、D3、E7[2014·天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，‎ 集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．‎ ‎(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.‎ ‎(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：若an1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)<0，‎ ‎∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，‎ ‎∴φ(a－1)<φ(0)＝0.‎ 即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，‎ 故知ln(1＋x)≥不恒成立．‎ 综上可知，a的取值范围是(－∞，1]．‎ ‎(3)由题设知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝＋＋…＋，‎ 比较结果为g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n－ln(n＋1)．‎ 证明如下：‎ 方法一：上述不等式等价于＋＋…＋，x>0.‎ 令x＝，n∈N＋，则，x>0.‎ 令x＝，n∈N＋，则ln>.‎ 故有ln 2－ln 1>，‎ ln 3－ln 2>，‎ ‎……‎ ln(n＋1)－ln n>，‎ 上述各式相加可得ln(n＋1)>＋＋…＋，‎ 结论得证．‎ 方法三：如图，dx是由曲线y＝，x＝n及x轴所围成的曲边梯形的面积，而＋＋…＋是图中所示各矩形的面积和，‎ ‎∴＋＋…＋>dx＝‎ dx＝n－ln(n＋1)，‎ 结论得证．‎ ‎ E9 单元综合 ‎16．E6、E9[2014·辽宁卷] 对于c>0，当非零实数a，b满足‎4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|‎2a＋b|最大时，－＋的最小值为________．‎ ‎16．－2　[解析] 由题知‎2c＝－(‎2a＋b)2＋3(‎4a2＋3b2)．‎ ‎(‎4a2＋3b2)≥(‎2a＋b)2⇔‎4a2＋3b2≥(‎2a＋b)2，即‎2c≥(‎2a＋b)2，‎ 当且仅当＝，即‎2a＝3b＝6λ(同号)时，‎ ‎|‎2a＋b|取得最大值，此时c＝40λ2.‎ －＋＝－＝－2≥－2，‎ 当且仅当a＝，b＝，c＝时，－＋取最小值－2.‎ ‎12．B14、E9[2014·辽宁卷] 已知定义在[0，1]上的函数f(x)满足：‎ ‎①f(0)＝f(1)＝0；‎ ‎②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f(x)－f(y)|<|x－y|.‎ 若对所有x，y∈[0，1]，|f(x)－f(y)|时，|f(x)－f(y)|＝|f(x)－f(1)－(f(y)－f(0))|≤|f(x)－f(1)|＋|f(y)－f(0)|< ‎|x－1|＋|y－0|＝－(x－y)＋<.故kmin＝.‎ ‎3．[2014·天津卷] 设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为(　　)‎ A．2 B．‎3 C．4 D．5‎ ‎3．B　[解析] 画出可行域，如图所示．解方程组得即点A(1，1)．‎ 当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值，即zmin＝1×1＋2×1＝3.‎ ‎16．[2014·广州七校联考] 不等式|x＋2|＋|x－1|≤5的解集为________．‎ ‎16．[－3，2]　[解析] 根据绝对值的几何意义，得不等式的解集为－3≤x≤2.‎ ‎4．[2014·安徽六校联考] 若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为(　　)‎ A．1 B．‎2 ‎‎ C．3 D．4‎ ‎4．A　[解析] ∵x＋y≥2，且x＋y＝2，∴2≥2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，∴xy≤1，∴≥1，∴1≥M，‎ ‎∴Mmax＝1.‎ ‎7．[2014·福建宁德期末] 已知关于x的不等式x2－4ax＋‎3a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎7．C　[解析] 由题知x1＋x2＝‎4a，x1x2＝‎3a2，∴x1＋x2＋＝‎4a＋≥2 ＝，当且仅当a＝时，等号成立．‎ ‎6．[2014·长沙模拟] 若f(x)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，f(2)＝0，则＞0的解集是(　　)‎ A．(－2，0)∪(0，2) ‎ B．(－∞，－2)∪(0，2)‎ C．(－2，0)∪(2，＋∞) ‎ D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)‎ ‎6．D　[解析] 因为f(x)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递增．又f(－x)＝－f(x)，所以>0等价于>0.‎ 根据题设作出f(x)的大致图像如图所示．由图可知，>0的解集是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．‎ ‎13．[2014·浙江六市六校联考] 已知正数x，y满足x＋y＋＋＝10，则x＋y的最大值为________．‎ ‎13．8　[解析] ∵＋＝10－(x＋y)，∴(x＋y)＋＝10(x＋y)－(x＋y)2.又(x＋y)＋＝10＋＋≥10＋6＝16，∴10(x＋y)－(x＋y)2≥16，即(x＋y)2－10(x＋y)＋16≤0，∴2≤x＋y≤8，∴x＋y的最大值为8.‎