【数学】2021届一轮复习人教版文25平面向量基本定理及坐标表示作业 6页

课时作业25　平面向量基本定理及坐标表示 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1．[2020·湖南重点中学联考]已知m＝(5,12)，则与m方向相同的单位向量的坐标是(　　)‎ A.(，) B. (，)‎ C. (，) D．(－，)‎ 解析：设所求向量为n＝λm(λ>0)，∵m＝(5,12)，∴n＝(5λ，12λ)．∵|n|＝1，∴25λ2＋144λ2＝1，得λ＝，∴n＝(，).故选A项．‎ 答案：A ‎2．已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝‎3a，则点B的坐标为(　　)‎ A．(7,4)　　 B．(7,14)‎ C．(5,4) D．(5,14)‎ 解析：设点B的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－5)．‎ 由＝3a，得解得 答案：D ‎3．[2020·衡水中学调研卷]设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，则“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的是(　　)‎ A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若a＝(4,2)，则|a|＝2，且a∥b都成立；‎ 因a∥b，设a＝λb＝(2λ，λ)，由|a|＝2，得4λ2＋λ2＝20.‎ ‎∴λ2＝4，∴λ＝±2.‎ ‎∴a＝(4,2)或a＝(－4，－2)．‎ 因此“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的充分不必要条件．‎ 答案：C ‎4．[2020·四川绵阳联考]如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC.若＝m＋n(m，n∈R)，则m－n＝(　　)‎ A．2 B．1‎ C．－2 D．3‎ 解析：∵＝2，∴－＝2(－)，∴＝－＋，∴m＝－，n＝，∴m－n＝－2.故选C项．‎ 答案：C ‎5．[2019·福建三明期末]在△ABC中，3＝，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ·μ＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 解析：如图，∵3＝，O为AD的中点，∴＝＝＋＝＋×＝＋(－)＝－＋＝λ＋μ，∴λ＝－，μ＝，∴λ·μ＝－.故选B项．‎ 答案：B 二、填空题 ‎6．[2020·广州市高中综合测试]已知向量a＝(m,2)，b＝(1,1)，若|a＋b|＝|a|＋|b|，则实数m＝________.‎ 解析：解法一　a＋b＝(m＋1,3)，|a＋b|＝，|a|＝，|b|＝，由|a＋b|＝|a|＋|b|，得＝＋ ‎，两边分别平方得m2＋2m＋10＝m2＋6＋2×，即m＋2＝×，两边分别平方得m2＋4m＋4＝2m2＋8，解得m＝2.‎ 解法二　a·b＝(m,2)·(1,1)＝m＋2，|a|＝，|b|＝＝，由|a＋b|＝|a|＋|b|，得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＋2|a||b|，即a·b＝|a||b|，故m＋2＝×，两边分别平方得m2＋4m＋4＝2m2＋8，解得m＝2.‎ 答案：2‎ ‎7．[2020·天津二十四中月考]已知向量p＝(2，－3)，q＝(x,6)，且p∥q，则|p＋q|的值为________．‎ 解析：∵p∥q，∴x＝－4，∴q＝(－4,6)，∴p＋q＝(－2,3)，∴|p＋q|＝.‎ 答案： ‎8．[2020·石家庄检测]平行四边形ABCD中，M为BC的中点，若＝λ＋μ，则λμ＝________.‎ 解析：∵＝－＝－＝－2＝3－2，∴＝λ＋3μ－2μ，∴(1－3μ)＝(λ－2μ)，∵和是不共线向量，‎ ‎∴解得∴λμ＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设＝a，＝b，试用a，b为基底表示向量，，.‎ 解析：＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a，‎ ＝＋＝－b＋(b－a)＝b－a，‎ ＝＋＝－b－(b－a)＝a－b.‎ ‎10．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，‎ ‎(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？‎ ‎(2)若＝‎2a＋3b，＝a＋mb且A、B、C三点共线，求m的值．‎ 解析：(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，‎ a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．‎ ‎∵ka－b与a＋2b共线，‎ ‎∴2(k－2)－(－1)×5＝0，‎ 即2k－4＋5＝0，得k＝－.‎ ‎(2)解法一　∵A、B、C三点共线，‎ ‎∴可设＝λ.‎ 即2a＋3b＝λ(a＋mb)，‎ ‎∴解得m＝.‎ 解法二　＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，‎ ＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(‎2m＋1，m)，‎ ‎∵A、B、C三点共线，‎ ‎∴∥，‎ ‎∴‎8m－3(‎2m＋1)＝0，‎ 即2m－3＝0，‎ ‎∴m＝.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11．[2020·甘肃酒泉五校联考]已知a＝(3，－‎2m)，b＝(1，m－2)是同一平面内的两个向量，且该平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是(　　)‎ A.(，＋∞) B．(－∞，)∪(，＋∞)‎ C．(－∞，2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)‎ 解析：由平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，可知a，b是一组基底向量，所以a，b不共线，则3(m－2)≠－2m，解得m≠，所以实数m的取值范围是(－∞，)∪(，＋∞).故选B项．‎ 答案：B ‎12．[2020·甘肃兰州一中月考]已知a，b为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足c＋a＝λ(c＋b)(λ∈R)，则|c|的最小值为________．‎ 解析：∵c＋a＝λ(c＋b)且λ≠1，∴c＝(－a)＋(－b)．∵＋＝1，∴c，－a，－b三个向量共起点且其终点共线．如图，令＝－a，＝－b，＝c，易知A，B，C三点共线，∴|c|的最小值为点O到直线AB的距离．∵a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，∴O到直 线AB的距离为，即|c|的最小值为.‎ 答案： ‎13．[2020·河北百校联盟联考]已知在△ABC中，点D满足2＋＝0，过点D的直线l与直线AB，AC分别交于点M，N，＝λ，＝μ.若λ>0，μ>0，则λ＋μ的最小值为________．‎ 解析：连接AD.因为2＋＝0，所以＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.因为D、M、N三点共线，所以存在x∈R，使＝x ‎＋(1－x)，则＝xλ＋(1－x)μ，所以xλ＋(1－x)·μ＝＋，根据平面向量基本定理，得xλ＝，(1－x)μ＝，所以x＝，1－x＝，所以＋＝1，所以λ＋μ＝(λ＋μ)＝≥，当且仅当λ＝μ时等号成立，∴λ＋μ的最小值为.‎ 答案：