2020年上海高考数学高考真卷【word版；可编辑；含答案】 9页

1 / 9 2020 年上海高考数学高考真卷 一、填空题 1. 已知集合퐴 = {1，2，4}， 퐵 = {2，3，4}，求퐴 ∩ 퐵 =_________. 2. lim 푛→∞ 푛+1 3푛−1 =________. 3. 已知复数푧满足푧 = 1 − 2푖（푖为虚数单位），则|푧| =________. 4. 已知行列式| 1 푎 푐 2 푑 푏 3 0 0 | = 6，则行列式|푎 푐 푑 푏| =________. 5. 已知푓(푥) = 푥3，则푓−1(푥) =________. 6. 已知푎，푏，1，2的中位数为3，平均数为4，则푎푏 =________. 7. 已知 { 푥 + 푦 ≥ 2， 푦 ≥ 0， 푥 + 2푦 − 3 ≤ 0， 则푧 = 푦 − 2푥的最大值为________. 8. 已知{푎푛}是公差不为零的等差数列，且푎1 + 푎10 = 푎9，则 푎1+푎2+⋯+푎9 푎10 =________. 9. 从6个人中选4个人值班，第一天1个人，第二天1个人，第三天2个人， 共有多少种排法________． 10. 椭圆푥2 4 + 푦2 3 = 1，过右焦点퐹作直线푙交椭圆于푃、푄两点，푃在第二 象限，已知푄(푥푄, 푦푄)，푄′(푥푄′, 푦푄′)都在椭圆上，且푦푄 + 푦푄′ = 0，퐹푄′ ⊥ 푃푄，则直线푙的方程为________. 11. 设푎 ∈ R，若存在定义域R的函数푓(푥)既满足“对于任意푥0 ∈ R， 푓(푥0)的值为푥0 2或푥0”又满足“关于푥的方程푓(푥) = 푎无实数解”，则푎的 取值范围为________. 12. 已知푎1 → ，푎2 → ，푏1 → ，푏2 → ，⋯ ⋯，푏푘 → (푘 ∈ N∗)是平面内两两互不相等的向 量，满足|푎1 → − 푎2 → | = 1且|푎푖 → − 푏푗 → | ∈ {1,2}（其中푖 = 1，2，푗 = 1，2， ⋯ ，푘），则푘的最大值为________. 二、选择题 13. 下列不等式恒成立的是( ) A.푎2 + 푏2 ≤ 2푎푏 B.푎2 + 푏2 ≥ −2푎푏 C.푎 + 푏 ≥ −2√|푎푏| D.푎 + 푏 ≤ 2√|푎푏| 14. 已知直线푙的解析式为3푥 − 4푦 + 1 = 0，则下列各式是푙的参数方程 的是( ) A.{푥 = 4 + 3푡 푦 = 3 − 4푡 B.{푥 = 4 + 3푡 푦 = 3 + 4푡 C.{푥 = 1 − 4푡 푦 = 1 + 3푡 D.{푥 = 1 + 4푡 푦 = 1 + 3푡 15. 在棱长为10的正方体퐴퐵퐶퐷 − 퐴1퐵1퐶1퐷1中，푃为左侧面퐴퐷퐷1퐴1上一 点，已知点푃到퐴1퐷1的距离为3，点푃到퐴퐴1的距离为2，则过点푃且与퐴1퐶 平行的直线交正方体于푃、푄两点，则푄点所在的平面是( ) A.퐴퐴1퐵1퐵 B.퐵퐵1퐶1퐶 C.퐶퐶1퐷1퐷 D.퐴퐵퐶퐷 2 / 9 16. 若存在푎 ∈ 퐑且푎 ≠ 0，对任意的푥 ∈ 퐑，均有푓(푥 + 푎) < 푓(푥) + 푓(푎) 恒成立，则称函数푓(푥)具有性质푃，已知：푞1：푓(푥)单调递减，且푓(푥) > 0恒成立；푞2：푓(푥)单调递增，存在푥0 < 0使得푓(푥0) = 0，则使푓(푥)具有 性质푃的充分条件是( ) A.只有푞1 B.只有푞2 C.푞1和푞2 D.푞1和푞2都不是 三、解答题 17. 已知边长为1的正方形퐴퐵퐶퐷，沿퐵퐶旋转一周得到圆柱体． (1)求圆柱体的表面积； (2)正方形퐴퐵퐶퐷绕퐵퐶逆时针旋转휋 2 到퐴1퐵퐶퐷1，求퐴퐷1与平面퐴퐵퐶퐷所成的 角． 18. 已知푓(푥) = sin휔푥(휔 > 0). (1)若푓(푥)的周期是4휋，求휔，并求此时푓(푥) = 1 2 的解集； (2)已知휔 = 1，푔(푥) = 푓2(푥) + √3푓(−푥)푓 (휋 2 − 푥)，푥 ∈ [0, 휋 4]，求푔(푥)的 值域． 3 / 9 19. 已知푣 = 푞 푥 ，푥 ∈ (0,80]，且푣 = {100 − 135(1 3) 80 푥 , 푥 ∈ (0,40) −푘(푥 − 40) + 85, 푥 ∈ [40,80] (푘 > 0). (1)若푣 > 95，求푥的取值范围； (2)已知푥 = 80时， 푣 = 50，求푥为多少时，푞可以取得最大值，并求出该 最大值． 20. 双曲线퐶1：푥2 4 − 푦2 푏2 = 1，圆퐶2：푥2 + 푦2 = 4 + 푏2(푏 > 0)在第一象限 交点为퐴，퐴(푥퐴, 푦퐴)，曲线훤： { 푥2 4 − 푦2 푏2 = 1，|푥| > 푥퐴， 푥2 + 푦2 = 4 + 푏2，|푥| > 푥퐴. (1)若푥퐴 = √6，求푏． (2)若푏 = √5，퐶2与푥轴交点记为퐹1、퐹2，푃是曲线훤上一点，且在第一象 限，并满足|푃퐹1| = 8，求∠퐹1푃퐹2. (3)过点푆 (0,2 + 푏2 2 )且斜率为− 푏 2 的直线푙交曲线훤于푀，푁两点，用푏的代数 式表示푂푀 → ⋅ 푂푁 → ，并求出푂푀 → ⋅ 푂푁 → 的取值范围． 4 / 9 21. 有限数列{푎푛}，若满足|푎1 − 푎2| ≤ |푎1 − 푎3| ≤ ⋯ ≤ |푎1 − 푎푚|，푚是 项数，则称{푎푛}满足性质푃. (1)判断数列3，2，5，1和4，3，2，5，1是否具有性质푃，请说明理由. (2)若푎1 = 1，公比为푞的等比数列，项数为10，具有性质푃，求푞的取值 范围. (3)若푎푛是1，2， ⋯ ，푚的一个排列푚 ≥ 4，푏푘 = 푎푘+1(푘 = 1，2， ⋯ ，푚 − 1)，{푎푛}，{푏푛}都具有性质푃，求所有满足条件的{푎푛}. 5 / 9 参考答案与试题解析 一、填空题 1.{2,4} 2.1 3 3.√5 4.2 5.푥 1 3 6.36 7.−1 8.27 8 9.180 10.푥 + 푦 − 1 = 0 11.(−∞, 0) ∪ (0,1) ∪ (1, +∞) 12.6 二、选择题 13.B 14.D 15.D 16.C 三、解答题 17.解：(1)由题意知푟 = 1，ℎ = 1， 则푆 = 2휋푟ℎ + 2휋푟2 = 4휋. (2)如图， 由题意知： 퐷1퐶 ⊥平面퐴퐵퐶퐷， 则∠퐷1퐴퐶即为퐴퐷1与平面퐴퐵퐶퐷所成的角. ∵ 퐴퐵 = 퐵퐶 = 퐶퐷1 = 1 ，퐴퐶 = √2， ∴ tan∠퐷1퐴퐶 = 퐶퐷1 퐴퐶 = 1 √2 = √2 2 ， 则퐴퐷1与平面퐴퐵퐶퐷所成的角为푎푟푐푡푎푛 √2 2 . 18.解：(1)由题可得푇 = 2휋 휔 = 4휋 ⇒ 휔 = 1 2 ， ∴ 푓(푥) = sin 1 2 푥, 当푓(푥) = 1 2 时，有sin 1 2 푥 = 1 2 ， ∴ 1 2 푥 = 2푘휋 + 1 6 휋或1 2 푥 = 2푘휋 + 5 6 휋(푘 ∈ Z)， ∴ {푥|푥 = 4푘휋 + 휋 3 或4푘휋 + 5 3 휋, (푘 ∈ Z)}. (2)由휔 = 1得푓(푥) = sin푥， ∴ 푔(푥) = sin2푥 + √3sin(−푥)sin (휋 2 − 푥) = sin2푥 − √3sin푥cos푥 6 / 9 = − √3 2 sin2푥 + 1 − cos2푥 2 = 1 2 − sin(2푥 + 휋 6). ∵ 푥 ∈ [0, 휋 4]， ∴ 2푥 ∈ [0, 휋 2]， ∴ 2푥 + 휋 6 ∈ [휋 6 , 2휋 3 ]， ∴ sin (2푥 + 휋 6) ∈ [1 2 , 1]， ∴ 푔(푥) ∈ [− 1 2 , 0]. 19.解：(1)当푥 ∈ [40,80]时， 푣 = −푘(푥 − 40) + 85， 因为푘 > 0， 所以푣 ≤ 85. 又因为푣 > 95 ， 所以푥 ∈ [40,80]时无解. 当푥 ∈ (0,40)时， 100 − 135 (1 3) 80 푥 > 95， 即 (1 3) 80 푥 < 1 27 ， 即80 푥 > 3， 则푥 < 80 3 . 故푥的取值范围为(0, 80 3 ). (2)因为푥 = 80时， 푣 = 50， 所以−푘 × (80 − 40) + 85 = 50， 解得푘 = 7 8 . 当푥 = 80时，푞 = 푣푥 = 80 × 50 = 4000. 故푞 = 푣푥 = { 100푥 − 135푥(1 3) 80 푥 , 푥 ∈ (0,40) − 7 8 푥(푥 − 40) + 85푥，푥 ∈ [40,80] 当푥 ∈ (0,40)时， 푣 = 100 − 135 (1 3) 80 푥 < 100， 푞 = 푣푥 < 100 × 40 = 4000. 当푥 ∈ [40,80]时，푞 = − 7 8 푥2 + 120푥， 当푥 = − 120 2×(−7 8) = 480 7 时， 푞max = − 7 8 × (480 7 ) 2 + 120 × 480 7 = 28800 7 > 4000. 综上所述：当푥 = 480 7 时，푞可以取得最大值，最大值为28800 7 . 20.解：(1)因为点퐴是双曲线퐶1和圆퐶2的交点，且푥퐴 = √6， 所以{ 6 4 − 푦퐴 2 푏2 = 1①， 6 + 푦퐴 2 = 4 + 푏2②， 由①可得푦퐴 2 푏2 = 1 2 ， 将其代入到②中，得到6 + 1 2 푏2 = 4 + 푏2， 所以푏2 = 4，解得푏 = ±2（舍去负值）， 所以푏 = 2. 7 / 9 (2)当푏 = √5时，双曲线퐶1的方程为푥2 4 − 푦2 5 = 1， 曲线퐶2的方程为푥2 + 푦2 = 9， 所以퐹1(−3,0)，퐹2(3,0)， 所以퐹1、퐹2分别为双曲线퐶1的左右焦点， 若点푃在曲线훤上的圆的部分上， 则|푃퐹1| ≤ |퐹1퐹2| = 6，不符合题意，舍去． 所以点푃在曲线훤上的双曲线部分， 所以根据双曲线的性质可得|푃퐹1| − |푃퐹2| = 2푎 = 4， 所以|푃퐹2| = 4， 所以在△ 푃퐹1퐹2中，由余弦定理可得： cos∠퐹1푃퐹2 = |푃퐹1|2 + |푃퐹2|2 − |퐹1퐹2|2 2|푃퐹1| ⋅ |푃퐹2| = 82+42−62 2×8×4 = 11 16 ， 所以∠퐹1푃퐹2 = 푎푟푐cos 11 16 . (3)设圆퐶2的半径为푅， 则푅2 = 푏2 + 4， 由题意设直线푙的方程为푦 = − 푏 2 푥 + 푏2+4 2 ， 注意到直线푙与双曲线퐶1的一条渐近线平行， 且不经过原点， 所以直线푙与双曲线퐶1只有一个交点， 因为原点푂到直线푙的距离为푑 = 푏2+4 2 √1+푏2 4 = √푏2 + 4， 即原点푂到直线푙的距离等于圆퐶2的半径， 所以直线푙与圆퐶2相切． 记直线푙与圆퐶2的切点为点푁，连接푂푁，푂푀，如图所示， 因为直线푙与圆퐶2相切，切点为点푁， 所以푂푁 ⊥ 푀푁， 所以直线푂푁的方程为푦 = 2 푏 푥， 联立{ 푦 = − 푏 2 푥 + 푏2 2 + 2， 푦 = 2 푏 푥， 得到{푥 = 푏， 푦 = 2， 所以푁(푏, 2)， 8 / 9 结合图象可知，若要使得直线푙与曲线훤有两个交点， 则直线푙与圆퐶2的切点푁在点퐴的右下方， 联立{ 푥2 4 − 푦2 푏2 = 1， 푥2 + 푦2 = 4 + 푏2， 得到푦퐴 2 = 푏4 푏2+4 ， 若点푁(푏, 2)在点퐴的右下方，则푦푁 2 < 푦퐴 2，即4 < 푏4 푏2+4 ， 所以푏4 − 4푏2 − 16 > 0， 所以푏2 < 2 − 2√5（舍去）或푏2 > 2 + 2√5， 即푏2 > 2 + 2√5， 因为푂푁 ⊥ 푀푁， 所以푂푀 → ⋅ 푂푁 → = (푂푁 → + 푁푀 → ) ⋅ 푂푁 → = |푂푁 → |2 + 푁푀 → ⋅ 푂푁 → = |푂푁 → |2 = 푅2 = 푏2 + 4， 所以푂푀 → ⋅ 푂푁 → = 푏2 + 4 ∈ (6 + 2√5, +∞). 21.解：(1)对于第一个数列有|3 − 2| = 1，|3 − 5| = 2，|3 − 1| = 2，满 足题意，该数列满足性质푃； 对于第二个数列有|4 − 3| = 1，|4 − 2| = 2，|4 − 5| = 1，|4 − 1| = 3， 不满足题意，该数列不满足性质푃． (2)由题意可得，|푞푛 − 1| ≥ |푞푛−1 − 1|， 两边平方得：푞2푛 − 2푞푛 + 1 ≥ 푞2푛−2 − 2푞푛−1 + 1， 整理得：(푞 − 1)푞푛−1[푞푛−1(푞 + 1) − 2] ≥ 0. 当푞 ≥ 1时，得푞푛−1(푞 + 1) − 2 ≥ 0，此时关于푛恒成立， 所以等价于푛 = 2时，푞(푞 + 1) − 2 ≥ 0， 所以(푞 + 2)(푞 − 1) ≥ 0， 所以푞 ≤ −2或者푞 ≥ 1， 所以取푞 ≥ 1. 当0 < 푞 ≤ 1时，得푞푛−1(푞 + 1) − 2 ≤ 0，此时关于푛恒成立， 所以等价于푛 = 2时，푞(푞 + 1) − 2 ≤ 0， 所以(푞 + 2)(푞 − 1) ≤ 0， 所以−2 ≤ 푞 ≤ 1， 所以取0 < 푞 ≤ 1. 当−1 ≤ 푞 < 0时，得푞푛−1[푞푛−1(푞 + 1) − 2] ≤ 0， 当푛为奇数的时候，得푞푛−1(푞 + 1) − 2 ≤ 0，很明显成立， 当푛为偶数的时候，得푞푛−1(푞 + 1) − 2 ≥ 0，很明显不成立， 故当−1 ≤ 푞 < 0时，矛盾，舍去． 当푞 < −1时，得푞푛−1[푞푛−1(푞 + 1) − 2] ≤ 0， 当푛为奇数的时候，得푞푛−1(푞 + 1) − 2 ≤ 0，很明显成立， 当푛为偶数的时候，要使푞푛−1(푞 + 1) − 2 ≥ 0恒成立， 所以等价于푛 = 2时，푞(푞 + 1) − 2 ≥ 0， 所以(푞 + 2)(푞 − 1) ≥ 0， 所以푞 ≤ −2或者푞 ≥ 1， 所以取푞 ≤ −2． 9 / 9 综上可得，푞 ∈ (−∞, −2] ∪ [0, +∞). (3)设푎1 = 푝，푝 = {3,4， ⋯ ， 푚 + 3，푚 + 2}. 因为푎1 = 푝，푎2可以取푝 − 1或者푝 + 1，푎3可以取푝 − 2或者푝 + 2， 如果푎2或者푎3取了푝 − 3或者푝 + 3，将使{푎푛}不满足性质푃， 所以，{푎푛}的前五项有以下组合： ①푎1 = 푝，푎2 = 푝 − 1，푎3 = 푝 + 1， 푎4 = 푝 − 2，푎5 = 푝 + 2; ②푎1 = 푝，푎2 = 푝 − 1，푎3 = 푝 + 1，푎4 = 푝 + 2，푎5 = 푝 − 2; ③푎1 = 푝，푎2 = 푝 + 1， 푎3 = 푝 − 1，푎4 = 푝 − 2，푎5 = 푝 + 2; ④푎1 = 푝，푎2 = 푝 + 1 ，푎3 = 푝 − 1，푎4 = 푝 + 2，푎5 = 푝 − 2. 对于①，푏1 = 푝 − 1，|푏2 − 푏1| = 2，|푏3 − 푏1| = 1，与{푏푛}满足性质푃矛 盾，舍去． 对于②，푏1 = 푝 − 1，|푏2 − 푏1| = 2 ，|푏3 − 푏1| = 3 ，|푏4 − 푏1| = 1与{푏푛} 满足性质푃矛盾，舍去． 对于③，푏1 = 푝 + 1，|푏2 − 푏1| = 2，|푏3 − 푏1| = 3，|푏4 − 푏1| = 1与{푏푛} 满足性质푃矛盾，舍去． 对于④，푏1 = 푝 + 1，|푏2 − 푏1| = 2，|푏3 − 푏1| = 1与{푏푛}满足性质푃矛盾， 舍去． 所以푝 ∈ {3,4,…，푚 − 3, 푚 − 2}均不能同时使{푎푛} {푏푛}都具有性质푃． 当푝 = 1时，有数列{푎푛}：1，2，3，…，푚 − 1，푚满足题意． 当푝 = 푚时，有数列{푎푛}：푚，푚 − 1…，3，2，1满足题意． 当푝 = 2时，有数列{푎푛}：2，1，3，…，푚 − 1，푚满足题意． 当푝 = 푚时，有数列{푎푛}：푚 − 1，푚，푚 − 2，푚 − 3，…，3，2，1满足 题意． 故满足题意的数列只有上面四种．