高考数学复习课时提能演练(五十七) 8_8 11页

‎ ‎ 课时提能演练(五十七)‎ ‎(45分钟 100分)‎ 一、选择题（每小题6分，共36分）‎ ‎1.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是 ‎( )‎ ‎（A）4 （B）6 （C）8 （D）12‎ ‎2.以抛物线y=的焦点为圆心，3为半径的圆与直线4x+3y+2=0相交所得的弦长为( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）8‎ ‎3.（2012·福州模拟）过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线共有( )‎ ‎（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条 ‎4.以抛物线y2＝4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )‎ ‎（A）x2+y2+2x=0 （B）x2+y2+x=0‎ ‎（C）x2+y2-x=0 （D）x2+y2-2x=0‎ ‎5.(易错题)P是抛物线y=x2上任意一点，则当P点到直线x+y+2=0的距离最小时，P点与该抛物线的准线的距离是( ) ‎ ‎（A）2 （B）1 （C） （D）‎ ‎6.(2012•泉州模拟)过点(－1，0)作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为 ‎( )‎ ‎(A)2x+y+2=0 (B)3x+y+3=0‎ ‎(C)x+y+1=0 (D)3x-y+3=0‎ 二、填空题（每小题6分，共18分）‎ ‎7.抛物线y=的焦点与双曲线- =1的上焦点重合，则m=____.‎ ‎8.（预测题）过抛物线y=8x2的焦点作直线交抛物线于A，B两点，线段AB的中点M的纵坐标为2，则线段AB的长为______.‎ ‎9.（2012·百色模拟）设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B为该抛物线上两点，若+=,则||+2||=_______.‎ 三、解答题（每小题15分，共30分）‎ ‎10.（2011·江西高考）已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点，斜率为的直线交抛物线于A(x1,y1），B（x2,y2)(x10)的焦点坐标为(,0)，所以直线AB过点(,0)，斜率为，所以直线AB的方程是y=(x-)，与抛物线方程y2=2px联立，消去y得：4x2-5px+p2=0，所以x1+x2=‎ ‎，由抛物线的定义得：|AB|=x1+x2+p=9，解得p=4，因此抛物线方程为：y2=8x.‎ ‎(2)由p=4及4x2-5px+p2=0得x2-5x+4=0，‎ 解得：x1＝1,x2=4,y1=,y2=，从而A(1, ）,B(4,），设C(x3,y3)，则有=(x3,y3), +λ=(1,）+λ(4,）=(1+4λ, +λ）,‎ 又因为＝+λ，‎ 所以(x3,y3)=(1+4λ, +λ)，‎ 即x3=1+4λ，y3=+λ，‎ 又因为y32=8x3，即(+λ)2=8(1+4λ)，‎ 即(2λ-1)2=4λ+1，解得λ=0或λ=2．‎ ‎【变式备选】动点P在x轴与直线l：y=3之间的区域（含边界）上运动，且到点F(0,1)和直线l的距离之和为4．‎ ‎（1）求点P的轨迹C的方程；‎ ‎（2）过点Q(0,-1)作曲线C的切线，求所作的切线与曲线C所围成区域的面积．‎ ‎【解析】（1）设P(x,y)，根据题意，‎ 得=4，‎ 化简，得y=（y≤3)． ‎ ‎（2）设过Q的切线方程为y=kx-1，代入抛物线方程，整理得x2-4kx+4=0．‎ 由Δ＝16k2-16=0．解得k=±１．‎ 于是所求切线方程为y=±x-1（亦可用导数求得切线方程）.‎ 切点的坐标为（2，1），（－2，1）．‎ 由对称性知所求的区域的面积为 S＝=.‎ ‎11．【解析】(1)由 得x2-4x-4b=0(*),‎ 因为直线l与抛物线C相切，所以Δ=(-4)2－4×(-4b)=0,解得b=-1.‎ ‎(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)即为x2-4x+4=0,‎ 解得x=2,代入x2=4y,得y=1.故点A(2,1),‎ 抛物线的准线y=-1,所以r2=22+12=5,‎ 所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2＝5.‎ ‎【探究创新】‎ ‎【证明】(1)由x2＝2y，得y＝，对其求导，得y′＝x，设A(x1,)、B(x2,),‎ 则直线PA、PB的斜率分别为kPA＝x1，kPB＝x2，‎ 由点斜式得直线PA方程为y-＝x1(x－x1)，‎ 即y＝x1x－ ①，‎ 同理，直线PB方程为y＝x2x－ ②，‎ 由①、②两式得点P坐标为(，)，‎ ‎∵点P在准线y＝上，‎ ‎∴＝，即x1x2＝－1.‎ ‎∴kPA·kPB＝x1x2＝－1，‎ ‎∴PA⊥PB，猜想(1)是正确的．‎ ‎(2)直线AB的斜率k＝＝，‎ 由点斜式得直线AB方程为 y－＝(x－x1)，‎ 将上式变形并注意到x1x2＝－1，‎ 得y＝，‎ 显然，直线AB恒过焦点F(0，)，猜想(2)是正确的．‎ ‎(3)当AB∥x轴时，根据抛物线的对称性知A(－1，)、B(1,)或A(1，)、B(－1，)，‎ 这时点P坐标为(0，).‎ ‎·＝(－1,0)·(1,0)＝－1，＝(0，－1)，‎ ‎＝1，有λ＝－1.‎ 下面证·＝－必成立，‎ ‎∵＝(x1，)－(0，)＝(x1，)，‎ ‎＝(x2，)－(0，)＝(x2，)，‎ ‎∴·＝x1x2＋(x12－1)(x22－1)‎ ‎＝x1x2＋()‎ ‎＝x1x2＋［(x1x2)2＋2x1x2－(x1＋x2)2＋1］‎ ‎＝－1＋［(－1)2＋2×(－1)－(x1＋x2)2＋1］‎ ‎＝－1－(x1＋x2)2.‎ 又＝(，)－(0，)‎ ‎＝(，)－(0，)‎ ‎＝(，－1)，‎ ‎∴＝(x1＋x2)2＋1，故·＝－，‎ λ恒为－1.猜想(3)也是正确的.‎ ‎【变式备选】已知抛物线y2=4x，过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x轴交于点C.‎ ‎(1)求证:|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；‎ ‎(2)设 =α， =β试问α+β是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【解析】(1)由题意设直线l的方程为：y=kx+2(k≠0) ，‎ 联立方程可得得:k2x2+(4k-4)x+4=0 ①‎ 设A(x1，y1) ，B(x2 ，y2)，又C(，0），则 x1+x2=，x1·x2= ②‎ ‎|MA|·|MB|=·=，‎ 而|MC|2==，‎ ‎∴|MC|2=|MA|·|MB|≠0 ，‎ 即|MA|，|MC|，|MB|成等比数列.‎ ‎(2)由=α， =β得，‎ ‎(x1，y1-2)=α(-x1，-y1)‎ ‎(x2，y2-2)=β(-x2，-y2)‎ 即得：α=，β=，则 α+β= ‎ 由(1)中②代入得α+β=-1，‎ 故α+β为定值且定值为-1．‎ ‎ ‎