【数学】2020届一轮复习人教A版平面向量数量积的综合应用作业 4页

‎2020届一轮复习人教A版 平面向量数量积的综合应用 作业 ‎1．(2019·洛阳市第一次统一考试)已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，且(a＋λb)⊥(2a－b)，则实数λ的值为(　　)‎ A．－7　　　　　　　　 B．－3‎ C．2 D．3‎ 解析：选D.依题意得a·b＝2×1×cos ＝－1，(a＋λb)·(2a－b)＝0，即2a2－λb2＋(2λ－1)a·b＝0，－3λ＋9＝0，λ＝3.‎ ‎2．(2019·山西四校联考)向量a，b满足|a＋b|＝2|a|，且(a－b)·a＝0，则a，b的夹角的余弦值为(　　)‎ A．0 B. C. D. 解析：选B.(a－b)·a＝0⇒a2＝b·a，|a＋b|＝2|a|⇒a2＋b2＋2a·b＝12a2⇒b2＝9a2，所以cos〈a，b〉＝＝＝.故选B.‎ ‎3．(2019·洛阳市第一次统一考试)已知向量a＝(1，0)，|b|＝，a与b的夹角为45°，若c＝a＋b，d＝a－b，则c在d方向上的投影为(　　)‎ A. B．－ C．1 D．－1‎ 解析：选D.依题意得|a|＝1，a·b＝1××cos 45°＝1，|d|＝＝＝1，c·d＝a2－b2＝－1，因此c在d方向上的投影等于＝－1，选D.‎ ‎4．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是(　　)‎ A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：选C.由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，‎ 所以2·＝0，所以⊥.‎ 所以∠A＝90°，又因为根据条件不能得到||＝||.故选C.‎ ‎5.已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b夹角的取值范围是(　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ 解析设a,b的夹角为θ,由题意得Δ≥0,即|a|2≥4a·b,‎ ‎∴cos θ=,∴θ≥.‎ 又θ∈[0,π],∴θ∈.‎ 答案B ‎6.已知△ABC中,||=10,=-16,D为BC边的中点,则||等于(　　)‎ A.6 B.5 C.4 D.3‎ 解析∵D为BC边的中点,∴).‎ ‎∴||=|.‎ 又∵||=10,且,‎ ‎∴||=10,即()2=100,‎ 即||2+||2-2=100.‎ ‎∵=-16,∴||2+||2=68,‎ 故()2=68-32=36.‎ ‎∴||=6,即||=3.故选D.‎ 答案D ‎7.已知平面向量a=(2,4),b=(1,-2),若c=a-(a·b)b,则|c|=.‎ 解析由题意可得a·b=2×1+4×(-2)=-6,‎ ‎∴c=a-(a·b)b=a+6b=(2,4)+6(1,-2)=(8,-8),‎ ‎∴|c|==8.‎ 答案8‎ ‎8.已知向量a=(2,1),b=(-1,2),若a,b在向量c上的投影相等,且(c-a)·(c-b)=-,则向量c的坐标为　　　　　. ‎ 解析设c=(x,y),c与a的夹角为α,c与b的夹角为β.由已知有|a|cos α=|b|cos β,即,即(a-b)·c=0,即3x-y=0①,由已知(c-a)·(c-b)=-,即x2+y2-x-3y+=0②,①②联立得x=,x=,即c=.‎ 答案 ‎9.‎ 如图,A是半径为5的圆O上的一个定点,单位向量在A点处与圆O相切,点P是圆O上的一个动点,且点P与点A不重合,则的取值范围是　　　　　　　　　. ‎ 解析如图所示,以AB所在直线为x轴,AO所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.设点P(x,y),B(1,0),A(0,0),则=(1,0),=(x,y),所以=(x,y)·(1,0)=x.因为点P在圆x2+(y-5)2=25上,所以-5≤x≤5,即-5≤≤5.所以应填[-5,5].‎ 答案[-5,5]‎ ‎10.导学号93774081已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-(3+m)).‎ ‎(1)若点A,B,C不能构成三角形,求实数m应满足的条件;‎ ‎(2)若△ABC为直角三角形,求实数m的值.‎ 解(1)∵=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-(3+m)),若点A,B,C不能构成三角形,则这三点共线.∵=(3,1),=(2-m,1-m),‎ ‎∴,即3(1-m)=2-m,∴m=.‎ ‎(2)若△ABC为直角三角形,且①A为直角,则,∴3(2-m)+(1-m)=0,解得m=.②B为直角,=(-1-m,-m),则,‎ ‎∴3(-1-m)+(-m)=0,解得m=-.③C为直角,则,∴(2-m)(-1-m)+(1-m)(-m)=0,解得m=.‎ 综上所述,m=或m=-或m=.‎ ‎11.导学号93774082已知AD,BE,CF是△ABC的三条高,求证:△ABC的三条高交于一点.‎ 证明如图所示,设BE,CF交于点H,‎ ‎=b,=c,=h,‎ 则=h-b,=h-c,=c-b.‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ 由①-②,得h·(c-b)=0,‎ 即=0,∴,∴AH的延长线过点D,从而AD,BE,CF相交于一点H.‎ ‎12.导学号93774083已知=(2,1),=(1,7),=(5,1),设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点).‎ ‎(1)求使取到最小值时的;‎ ‎(2)对(1)中求出的点C,求cos∠ACB.‎ 解(1)因为点C是直线OP上的一点,‎ 所以向量共线.设=t,‎ 则=t(2,1)=(2t,t),‎ ‎=(1-2t,7-t),‎ ‎=(5-2t,1-t),‎ ‎=(1-2t)(5-2t)+(7-t)(1-t)=5t2-20t+12=5(t-2)2-8,‎ 当t=2时,取得最小值,此时=(4,2).‎ ‎(2)当t=2时,=(-3,5),=(1,-1).‎ 所以||=,||==-3-5=-8.‎ cos∠ACB==-.‎