广东第二师范学院番禺附属中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题 含答案 9页

二师附中2019-2020学年第一学期高二级期末测试 数学 本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．‎ 一． 选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1. 椭圆的离心率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2.在等差数列中，若，则( )‎ A．2 B．‎4 C．6 D．8‎ ‎3.已知，，则是的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.已知向量，，且与互相垂直，则的值是（ ）‎ A.-1 B. C. D. ‎ ‎5.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则渐近线方程是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎6.若等差数列的首项为1，公差为1，等比数列的首项为-1，公比为-2，则数列的前8项和为（ ）‎ A.-49 B.‎-219 ‎C.121 D.291‎ ‎7.如图所示，在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.如图，在正方体中，E为线段A‎1C1‎ 的中点，则异面直线DE与B‎1C所成角的大小为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.若等差数列的前n项和有最大值，且，那么取正值时项数n的最大值为（ ）‎ A．15 B．‎17 C．19 D．21‎ ‎10.已知命题 “”，命题“”.若命题“”是真命题，则实数的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎11．在直角坐标系中，设为双曲线：的右焦点，为双曲线的右支上一点，且△为正三角形，则双曲线的离心率为( )‎ A． B． 　C． D． ‎ ‎12.如图，正方体的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP＝ｚ ‎（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEFQ的体积（ ）‎ A.与ｘ，ｙ，ｚ都有关 B.与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关 C.与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关　　　D.与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关 一． 填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．‎ ‎13.命题，，则为________________________．‎ ‎14.抛物线的焦点坐标是___________．‎ ‎15.设点的坐标为，点在抛物线上移动，到直线x=-2的距离为，则的最小值为__________.‎ ‎16.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：‎ ‎①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；‎ ‎②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次.‎ 已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________.‎ 三．解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．‎ ‎17.(10分)已知双曲线的离心率等于，且与椭圆：有公共焦点，‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）若抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的焦距，求该抛物线方程.‎ ‎18.（12分）‎ 已知等差数列满足：，的等差中项为13.的前项和为.‎ ‎(1)求以及；‎ ‎(2)若,求数列的前项和.‎ ‎19.（12分）已知数列的前n项和为，点在直线上，‎ ‎(1)求的通项公式；‎ ‎(2)若，求数列的前n项和.‎ ‎20.（12分）如图，直三棱柱中，分别是的中点， .‎ ‎（Ⅰ）证明：//平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值．‎ ‎21.（12分）如图，在直角梯形中，,点是中点，且,现将三角形沿折起，使点到达点的位置，且与平面所成的角为.‎ ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎22.（12分）已知椭圆C的两焦点为，且过点，直线交曲线C于A,B两点，O为坐标原点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若不过点且不平行于坐标轴，记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；‎ ‎（3）若直线过点，求面积的最大值，以及取最大值时直线的方程．‎ 二师附中2019-2020学年第一学期高二级期末测试 数学答案 一、选择题 BBADD，CABCC，CD ‎12.D．‎ 解析：这道题目延续了北京高考近年8，14，20的风格，即在变化中寻找不变，从图中可以分析出，的面积永远不变，为面面积的，而当点变化时，它到面的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化。‎ 二、填空题 ‎13.，; 14.; 15. 4 16.5‎ ‎16. 【答案】：5‎ ‎ 解析：由题意可设第次报数，第次报数，第次报数分别为，，，所以有，又由此可得在报到第100个数时，甲同学拍手5次。‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由椭圆：得，焦点在轴上，‎ ‎，∴，所以双曲线方程为.‎ ‎（2）∵椭圆：的焦距为，∴，‎ 抛物线方程为，‎ ‎18.【解析】(1)设等差数列的公比为 由得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)由题意可得 ‎ ‎ ‎19.解(1)点在直线上，，.‎ 当时，则，‎ 当时，,‎ 两式相减，得,所以.‎ 所以是以首项为，公比为等比数列，所以.‎ ‎(2),‎ ‎,‎ ‎,‎ 两式相减得:,‎ 所以.‎ ‎20．【解析】（Ⅰ）连结，交于点O，连结DO，则O为的中点，‎ 因为D为AB的中点，所以OD∥，又因为OD平面，‎ 平面，所以 //平面；‎ ‎（Ⅱ）由=AC=CB=AB可设：AB=，则=AC=CB=，‎ 所以AC⊥BC，又因为直棱柱，所以以点C为坐标原点，分别以直线CA、CB、‎ 为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，‎ 则、、、，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则且，可解得，令，‎ 得平面的一个法向量为，‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则，所以，‎ 所以直线与平面所成角的余弦值为．‎ ‎21.(1)证明:在平面中，‎ 为沿折起得到，‎ 平面，‎ 又平面平面平面 ‎(2)解:在平面中，‎ 由(1)知平面平面而平面故.‎ 由与平面所成的角为，得，‎ 为等腰直角三角形，,‎ ‎，又，得,‎ ‎，故为等边三角形，‎ 取的中点,连结,‎ 平面，‎ 以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，所在的直线轴所在的直 线为轴建立空间直角坐标系如图，‎ 则 从而，‎ 设平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,‎ 则由得，令得，‎ 由得，令得，‎ 所以，‎ 设二面角的大小为，则为钝角且，‎ 即二面角的余弦值为.‎ ‎22.解（1）由题意知有，，∴.‎ ‎（2）证明：设直线的方程为，‎ 设 则由可得，即 ‎∴，∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴直线的斜率与的斜率的乘积=为定值 ‎（3）点，‎ 由可得，‎ ‎，解得 ‎∴‎ 设 当时，取得最大值.‎ 此时，即 所以直线方程是 ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆定义及方程、韦达定理的应用及三角形面积的范围等问题，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是中档题．‎