高三数学总复习学案14 10页

学案14　导数在研究函数中的应用 ‎0导学目标： 1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值(多项式函数一般不超过三次)及最大(最小)值．‎ 自主梳理 ‎1．导数和函数单调性的关系：‎ ‎(1)若f′(x)>0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是______函数，f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为______区间；‎ ‎(2)若f′(x)<0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是______函数，f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为______区间；‎ ‎(3)若在(a，b)上，f′(x)≥0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a，b)上为______函数，若在(a，b)上，f′(x)≤0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a，b)上为______函数．‎ ‎2．函数的极值 ‎(1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，‎ ‎①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值；‎ ‎②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值．‎ ‎(2)求可导函数极值的步骤 ‎①求f′(x)；‎ ‎②求方程________的根；‎ ‎③检查f′(x)在方程________的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得________．‎ 自我检测 ‎1.已知f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则 (　　)‎ A．f(x)在x＝1处取得极小值 B．f(x)在x＝1处取得极大值 C．f(x)是R上的增函数 D．f(x)是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数 ‎2．(2009·广东)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是 (　　)‎ A．(－∞，2) B．(0,3)‎ C．(1,4) D．(2，＋∞)‎ ‎3．(2011·济宁模拟)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)(　　)‎ A．在(－∞，0)上为减函数 B．在x＝0处取极小值 C．在(4，＋∞)上为减函数 D．在x＝2处取极大值 ‎4．设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥，则p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．(2011·福州模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则f(2)＝________.‎ 探究点一　函数的单调性 例1　已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．‎ ‎(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围；‎ ‎(3)函数f(x)能否为R上的单调函数，若能，求出a的取值范围；若不能，请说明理由．‎ 变式迁移1　(2009·浙江)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．‎ ‎(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．‎ 探究点二　函数的极值 例2　若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围．‎ 变式迁移2　设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．‎ ‎(1)试确定常数a和b的值；‎ ‎(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．‎ 探究点三　求闭区间上函数的最值 例3　(2011·六安模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．‎ ‎(1)求a，b，c的值；‎ ‎(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．‎ 变式迁移3　已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．‎ ‎(1)求f(x)的表达式；‎ ‎(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值．‎ 分类讨论求函数的单调区间 例　(12分)(2009·辽宁)已知函数f(x)＝x2－ax＋(a－1)ln x，a>1.‎ ‎(1)讨论函数f(x)的单调性；‎ ‎(2)证明：若a<5，则对任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，有>－1.‎ 多角度审题　(1)先求导，根据参数a的值进行分类讨论；(2)若x1>x2，结论等价于f(x1)＋x1>f(x2)＋x2，若x11，故10，故f(x)在(a－1,1)上单调递减，在(0，a－1)，(1，＋∞)上单调递增．‎ ‎③若a－1>1，即a>2时，同理可得f(x)在(1，a－1)上单调递减，‎ 在(0,1)，(a－1，＋∞)上单调递增．[6分]‎ ‎(2)证明　考虑函数g(x)＝f(x)＋x ‎＝x2－ax＋(a－1)ln x＋x.‎ 则g′(x)＝x－(a－1)＋≥2－(a－1)‎ ‎＝1－(－1)2.‎ 由于10，‎ 即g(x)在(0，＋∞)上单调递增，‎ 从而当x1>x2>0时，有g(x1)－g(x2)>0，‎ 即f(x1)－f(x2)＋x1－x2>0，‎ 故>－1.[10分]‎ 当0－1.‎ 综上，若a<5，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2有>－1.[12分]‎ ‎【突破思维障碍】‎ ‎(1)讨论函数的单调区间的关键是讨论导数大于0或小于0的不等式的解集，一般就是归结为一个一元二次不 等式的解集的讨论，在能够通过因式分解得到导数等于0的根的情况下，根的大小是分类的标准；‎ ‎(2)利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过函数研究函数的性质进而解决不等式问题．‎ ‎1．求可导函数单调区间的一般步骤和方法：‎ ‎(1)确定函数f(x)的定义域；‎ ‎(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实根；‎ ‎(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；‎ ‎(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．‎ ‎2．可导函数极值存在的条件：‎ ‎(1)可导函数的极值点x0一定满足f′(x0)＝0，但当f′(x1)＝0时，x1不一定是极值点．如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．‎ ‎(2)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．‎ ‎3．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的．函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．‎ ‎4．求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． ‎ ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．(2011·大连模拟)设f(x)，g(x)是R上的可导函数，f′(x)、g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且f′(x)·g(x)＋f(x)g′(x)<0，则当af(b)g(x) B．f(x)g(a)>f(a)g(x)‎ C．f(x)g(x)>f(b)g(b) D．f(x)g(x)>f(a)g(a)‎ ‎2.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点 (　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎3．(2011·嘉兴模拟)若函数y＝a(x3－x)在区间上为减函数，则a的取值范围是 (　　)‎ A．a>0 B．－11 D．0 C．m≤ D．m< ‎5．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则 (　　)‎ A．a>－3 B．a<－3‎ C．a>－ D．a<－ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 答案 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．(2009·辽宁)若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________.‎ ‎7．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如右图所示，给出以下结论：‎ ‎①函数f(x)在(－2，－1)和(1,2)上是单调递增函数；‎ ‎②函数f(x)在(－2,0)上是单调递增函数，在(0,2)上是单调递减函数；‎ ‎③函数f(x)在x＝－1处取得极大值，在x＝1处取得极小值；‎ ‎④函数f(x)在x＝0处取得极大值f(0)．‎ 则正确命题的序号是________．(填上所有正确命题的序号)．‎ ‎8．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围为________．‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)求函数f(x)＝的极值．‎ ‎10．(12分)(2011·秦皇岛模拟)已知a为实数，且函数f(x)＝(x2－4)(x－a)．‎ ‎(1)求导函数f′(x)；‎ ‎(2)若f′(－1)＝0，求函数f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值．‎ ‎11．(14分)(2011·汕头模拟)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称．‎ ‎(1)求m，n的值及函数y＝f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若a>0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．‎ 答案 自主梳理 ‎1．(1)增　增　(2)减　减　(3)增　减　2.(1)①f′(x)>0‎ f′(x)<0　②f′(x)<‎0　‎f′(x)>0　(2)②f′(x)＝0‎ ‎③f′(x)＝0　极大值　极小值 自我检测 ‎1．C　2.D　3.C　4.C ‎5．18‎ 解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，‎ 由题意即 得a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3.‎ 但当a＝－3时，f′(x)＝3x2－6x＋3≥0，故不存在极值，‎ ‎∴a＝4，b＝－11，f(2)＝18.‎ 课堂活动区 例1　解题导引　(1)一般地，涉及到函数(尤其是一些非常规函数)的单调性问题，往往可以借助导数这一重要工具进行求解．函数在定义域内存在单调区间，就是不等式f′(x)>0或f′(x)<0在定义域内有解．这样就可以把问题转化为解不等式问题．‎ ‎(2)已知函数在某个区间上单调求参数问题，通常是解决一个恒成立问题，方法有①分离参数法，②利用二次函数中恒成立问题解决．‎ ‎(3)一般地，可导函数f(x)在(a，b)上是增(或减)函数的充要条件是：对任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零．特别是在已知函数的单调性求参数的取值范围时，要注意“等号”是否可以取到．‎ 解　(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，‎ ‎∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.‎ 令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0，‎ ‎∵ex>0，∴－x2＋2>0，解得－0，‎ ‎∴－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1,1)都成立，‎ 即x2－(a－2)x－a≤0对x∈(－1,1)恒成立．‎ 设h(x)＝x2－(a－2)x－a 只须满足，解得a≥.‎ ‎(3)若函数f(x)在R上单调递减，‎ 则f′(x)≤0对x∈R都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0对x∈R都成立．‎ ‎∵ex>0，∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立．‎ ‎∴Δ＝(a－2)2＋‎4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的．‎ 故函数f(x)不可能在R上单调递减．‎ 若函数f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0对x∈R都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈R都成立．‎ ‎∵ex>0，∴x2－(a－2)x－a≤0对x∈R都成立．‎ 而x2－(a－2)x－a≤0不可能恒成立，‎ 故函数f(x)不可能在R上单调递增．‎ 综上可知函数f(x)不可能是R上的单调函数．‎ 变式迁移1　解　(1)由题意得f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)，又，‎ 解得b＝0，a＝－3或a＝1.‎ ‎(2)由f′(x)＝0，得x1＝a，x2＝－.‎ 又f(x)在(－1,1)上不单调，‎ 即或 解得或 所以a的取值范围为(－5，－)∪(－，1)．‎ 例2　解题导引　本题研究函数的极值问题．利用待定系数法，由极值点的导数值为0，以及极大值、极小值，建立方程组求解．判断函数极值时要注意导数为0的点不一定是极值点，所以求极值时一定要判断导数为0的点左侧与右侧的单调性，然后根据极值的定义判断是极大值还是极小值．‎ 解　(1)由题意可知f′(x)＝3ax2－b.‎ 于是，解得 故所求的函数解析式为f(x)＝x3－4x＋4.‎ ‎(2)由(1)可知f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)．‎ 令f′(x)＝0得x＝2或x＝－2，‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：‎ x ‎(－∞，－2)‎ ‎－2‎ ‎(－2,2)‎ ‎2‎ ‎(2，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 因此，当x＝－2时，‎ f(x)有极大值，‎ 当x＝2时，f(x)有极小值－，‎ 所以函数的大致图象如图，‎ 故实数k的取值范围为 ‎(－，)．‎ 变式迁移2　解　(1)f′(x)＝＋2bx＋1，‎ ‎∴.解得a＝－，b＝－.‎ ‎(2)f′(x)＝－＋(－)＋1＝－.‎ 函数定义域为(0，＋∞)，列表 x ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1,2)‎ ‎2‎ ‎(2，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎ 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ‎∴x＝1是f(x)的极小值点，x＝2是f(x)的极大值点．‎ 例3　解题导引　设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：‎ ‎(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．‎ 解　(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，‎ 得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，‎ 当x＝1时，切线l的斜率为3，可得‎2a＋b＝0；①‎ 当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，‎ 可得‎4a＋3b＋4＝0.②‎ 由①②解得a＝2，b＝－4，‎ 又切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4.‎ ‎∴1＋a＋b＋c＝4.∴c＝5.‎ ‎(2)由(1)，得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，‎ ‎∴f′(x)＝3x2＋4x－4.‎ 令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝，‎ ‎∴f′(x)<0的解集为，即为f(x)的减区间．‎ ‎[－3，－2)、是函数的增区间．‎ 又f(－3)＝8，f(－2)＝13，f＝，f(1)＝4，‎ ‎∴y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.‎ 变式迁移3　解　(1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b.‎ 因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(‎3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.‎ 因为函数g(x)是奇函数，‎ 所以g(－x)＝－g(x)，即对任意实数x，‎ 有a(－x)3＋(‎3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b ‎＝－[ax3＋(‎3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]，‎ 从而‎3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0，‎ 因此f(x)的表达式为f(x)＝－x3＋x2.‎ ‎(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，‎ 所以g′(x)＝－x2＋2，令g′(x)＝0，‎ 解得x1＝－，x2＝，‎ 则当x<－或x>时，g′(x)<0，‎ 从而g(x)在区间(－∞，－)，(，＋∞)上是减函数；‎ 当－0，‎ 从而g(x)在区间(－，)上是增函数．‎ 由前面讨论知，g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x＝1，，2时取得，‎ 而g(1)＝，g()＝，g(2)＝.‎ 因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，‎ 最小值为g(2)＝.‎ 课后练习区 ‎1．C　2.A　3.A　4.A　5.B ‎6．3‎ 解析　∵f′(x)＝()′‎ ‎＝＝，‎ 又∵x＝1为函数的极值，∴f′(1)＝0.‎ ‎∴1＋2×1－a＝0，即a＝3.‎ ‎7．②④‎ 解析　观察函数f(x)的导函数f′(x)的图象，由单调性、极值与导数值的关系直接判断．‎ ‎8．(－∞，－3)∪(6，＋∞)‎ 解析　f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6＝0有两个不等实根，则Δ＝‎4m2‎－12×(m＋6)>0，∴m>6或m<－3.‎ ‎9．解　f′(x)＝()′＝，由f′(x)＝0得x＝－2,1.………………(4分)‎ 当x∈(－∞，－2)时f′(x)<0，当x∈(－2,1)时f′(x)>0，故x＝－2是函数的极小值点，故f(x)的极小值为f(－2)＝－；…………………………………………………………………(8分)‎ 当x∈(－2,1)时f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时f′(x)<0，‎ 故x＝1是函数的极大值点，‎ 所以f(x)的极大值为f(1)＝1.……………………………………………………………(12分)‎ ‎10．解　(1)由f(x)＝x3－ax2－4x＋‎4a，‎ 得f′(x)＝3x2－2ax－4.…………………………………………………………………(4分)‎ ‎(2)因为f′(－1)＝0，所以a＝，‎ 所以f(x)＝x3－x2－4x＋2，f′(x)＝3x2－x－4.‎ 又f′(x)＝0，所以x＝或x＝－1.‎ 又f＝－，f(－1)＝，‎ f(－2)＝0，f(2)＝0，所以f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值分别为、－.………(12分)‎ ‎11．解　(1)由函数f(x)图象过点(－1，－6)，‎ 得m－n＝－3. ①‎ 由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，‎ 得f′(x)＝3x2＋2mx＋n，‎ 则g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(‎2m＋6)x＋n.‎ 而g(x)的图象关于y轴对称，所以－＝0.‎ 所以m＝－3，代入①，得n＝0.…………………………………………………………(4分)‎ 于是f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．‎ 由f′(x)>0，得x>2或x<0，‎ 故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)∪(2，＋∞)；‎ 由f′(x)<0，得0