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- 2021-06-24 发布
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南昌二中2020—2021学年度上学期高二开学考试
数 学 试 卷
命题人: 审题人:
一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合, ,则( )
A. B. C. D.
2. 若,则( )
A. B. C. D.
3.已知实数满足,则下列关系式恒成立的是( )
A. B. C. D.
4.设、、是非零向量,则下列说法中正确是( )
A. B.
C.若,则 D.若,则
5.已知均为正实数,且,则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.在中, 分别是角所对边的边长,若,则的值是( )
A. B. C. D. 2
7.等差数列的前项和为,且,则( )
A. B. C. D.4
8.已知函数在上的最大值为M,最小值为m,则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9.已知中, 的对边长度分别为,已知点为该三角形的外接圆圆心,点分别为边的中点,则( )
A. B. C. D.
10.若两个等差数列、的前项和分别为、,且,则使得
为整数的正整数的个数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
11.已知是定义在R上的奇函数,且当时,,则函数在区间上的所有零点之和为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
12.已知是数列的前n项和,,且,若,其中,,则的最小值是( )
A. B. 4 C. D. 2018
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知点,则向量在方向上的投影为_______.
14.设的三个内角A,B,C所对应的边为a,b,c,若A,B,C依次成等差数列且,则实数k的取值范围是_______.
15.设二次函数.若不等式的解集为,则的最大值为__________.
16.给出下列结论:
①是的内角,且,则;
②若是等比数列,则也为等比数列;
③在数列中,如果前项和,则此数列是一个公差为的等差数列;
④是所在平面上一定点,动点P满足:,,则直线一定通过的内心;则上述结论中正确的有 .
三、解答题:本大题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题10分)
已知全集,集合,,.
(1)求;
(2)若,求实数a的取值范围.
18. (本小题12分)
设的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求B;
(2)若为锐角三角形,求的取值范围.
19. (本小题12分)
设函数.
(1)当时,若对于,有恒成立,求a的取值范围;
(2)已知,若对于一切实数x恒成立,并且存在,使得成立,求的最小值.
18. (本小题12分)
如图在中,,与交于点.设.
(1)用表示;
(2) 已知线段上取一点,在线段上取一点,使过点.设,,则是否为定值,如果是定值,求出这个定值.
19. (本小题12分)
已知数列满足:,2,3,
(1)求证:数列是等比数列;
(2)令2,3,,如果对任意,都有,求
实数t的取值范围.
18. (本小题12分)
已知函数,,且函数是偶函数.
(1)求的解析式;.
(2)若不等式在上恒成立,求n的取值范围;
(3)若函数恰好有三个零点,求k的值及该函数的零点
高二文理分科考试数学试卷参考答案
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
D
D
C
B
A
B
D
C
D
B
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
13. 2 14. 15. 16. ①④
小题详解:
1.A ,选A.
2.C ,
故,故选C.
3.D 因为,所以,因此,选D.
4.D 由题意得,对于A中,表示与共线的向量,表示与共线的向量,所以不正确;对于B中,时,此时,而,所以不正确;对于C中,若,而此时与不一定是相等向量,所以不正确;对于D
中,因为、、是非零向量,若,则是正确,故选D.
5.C 因为均为正实数,所以
,选C.
6.B 在中,由,根据两角和的正弦公式可得,从而得,解,所以由正弦定理可得 ,故选B.
7.A 因为等差数列的前项和为,所以成等差数列,所以(1),∵,∴,设,则,所以(1)式可化为,解得.故选A.
8.B解:, 设,,
为奇函数,
,,
,故选B.
9.D 在三角形中,同理,所以=: : ,由正弦定理,可得= ,选D.
10.C
验证知,当n=1,2,3,5,11时为整数.
11.D解:有题意可得:,,
函数的周期为4,,的图象关于对称.
作出函数的图象如图所示,
函数的零点即为图象与的图像的交点的横坐标,
四个交点分别关于点对称,则,故所有零点之和为8.选D.
12.B解:由题意得,,,,,,
,
以上各式相加得,,,.又,,即,又,,当且仅当
时等号成立,故选B.
13.2 由已知,,,,向量在方向上的投影为.
14. 解:,且角A、B、C成等差数列,
,解之得,,
,,,,
,,实数k的取值范围是.
15. 由题设可得对一切实数恒成立,
取可得且判别式对一切实数恒成立,
即对一切实数恒成立,所以,
令,则代入(当且仅当取等号),故的最大值是.
16.①④ ①中,根据三角形的性质可得,再由正弦定理可得,所以是正确的;②中,当等比数列的公比为时,此时,此时数列不是等比数列,所以是错误的;③中,由
,则此数列从第二项开始是一个公差为的等差数列,所以是错误的;④中,是所在平面上一定点,动点满足:,,则直线为角的平分线,所以一定通过的内心,所以是正确的,故选①④.
17.解:全集,集合,,
或,.
集,集合,,.
,又,
当即时,;
当即时,
要使,有,又,,
的取值范围是.
18.解: 1,由正弦定理可得:,,,,.
2由题意,,可得,
又为锐角三角形,,可得,
,可得,的取值范围是.
19. 解:根据题意知,对于,有恒成立,
即恒成立,
设,,所以,
函数在区间上是单调递减的,,;
由对于一切实数x恒成立,可得
由存在,使得成立可得,故,
,,则,
,当且仅当时等号成立,故的最小值为.
20.(1)设,则, . ∵三点共线,
∴与共线,故存在实数,使得,即,,∴,消去得,即 ①
∵ ,,
又三点共线∴与共线, 同理可得 ②
联立①②,解得. 故.
(2).∵,
,又与共线,故存在实数,使得
,即.
,消去得,整理得.
21.1证明:由题可知:,
,
可得 即:,又
所以数列是以为首项,以为公比的等比数列
2解:由1可得,分
由可得 由可得
所以,故有最大值
所以,对任意,都有,等价于对任意,都有成立
所以解得或,所以实数t的范围是 .
22.解:,.是偶函数,,.
,
令,,不等式在
上恒成立,等价于在上恒成立, .
令,,则,,
令,则,方程可化为,即,也即.
又偶函数恰好有三个零点,所以必有一个零点为0,有一个根为2,.,解得或.
由,得,由,得,零点为0,,