2013-2017高考数学分类汇编-第2章 函数-4 指数函数与对数函数（理科） 6页

第四节 指数函数与对数函数 题型24 指（对）数运算及指（对）数方程 ‎1. (2013浙江理3）已知为正实数，则( ).‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎2.（2014 陕西理 11） 已知，则_______.‎ ‎3.（2015浙江理12） 若，则 ．‎ ‎3.解析 因为，‎ 所以.‎ ‎4.（2015江苏7）不等式的解集为 ．‎ ‎4.解析 由题意，根据是单调递增函数，得，‎ 即，故不等式的解集为或写成均可．‎ ‎5.（2015重庆理4）“”是“”的（ ）.‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎5.解析 由得，且“”是“”的充分不必要条件．‎ 故选B．‎ ‎6.（2015四川理8）设都是不等于的正数，则“”是“”的（ ）.‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎6. 解析 若，则，所以，故为充分条件；‎ 若不一定有，比如，，，所以不成立.‎ 故选B.‎ ‎7.（2016浙江理12）已知.若，，则 ， .‎ ‎7.； 解析 设，因为，则.由题知，解得，所以.由，将带入，得，，得.‎ ‎8.(2017北京理8)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（ ）.（参考数据：）‎ A. B.  C. D.‎ ‎8.解析 设，两边取对数，‎ 即，所以接近.故选D.‎ ‎9.（2017全国1理11）设，，为正数，且，则（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎9.解析 设，两边取对数得，则 ‎，，.设，，当时，‎ ‎，单调递减；当时，，单调递增.‎ 而，，.由，得.‎ 故选D.‎ 题型25 指（对）数函数的图像及应用 ‎1.（2014 浙江理 7）在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）.‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎2.（2015山东理14）已知函数的定义域和值域都是，‎ 则 .‎ ‎2. 解析 分情况讨论：‎ ‎①当时，在上递增．‎ 又，所以，无解；‎ ‎②当时，在上递减．‎ 又，所以，解得，所以．‎ ‎3.（2015陕西理9）设，若，，‎ ‎，则下列关系式中正确的是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 解析 解法一： 依题意，‎ ‎,所以.故选C.‎ 解法二： 令,,，，‎ 所以.故选C.‎ ‎4.（2015天津理7）已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，‎ 记，，，则，， 的大小关系为（ ）.‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.解析 因为函数为偶函数，所以，即，‎ 所以 ‎.‎ 所以.故选C.‎ 题型26 指（对）数函数的性质及应用 ‎1.(2013天津理7）函数的零点个数为（ ）.‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.（2014 重庆理 12）函数的最小值为_________.‎ ‎3.(2016全国丙理6)已知，，，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎3. A 解析 由，，得，由，则因此.故选A.‎ ‎4.（2016全国乙理8）若，，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎4. C 解析 对于选项A：由于，所以函数在上单调递增.由，得.故A错误.‎ 对于选项B：要比较与的大小，只需比较与的大小.构造函数，‎ 因为，所以，因此函数在上单调递增.又，所以，即.故B错误.‎ 对于选项C:要比较与的大小关系，只需比较与的大小，‎ 即比较与的大小.构造辅助函数，.‎ 令得.函数在上单调递增，因此，若，‎ 得，故.又，所以，即，‎ 得.故选项C正确.‎ 对于选项D：比较与的大小，只需比较与的大小，即比较与的大小.又，得，所以.又，得，‎ 即.故选项D不正确.‎ 综上可得.故选C.‎ ‎5.（2016上海理22）已知，函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；‎ ‎（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过，求的取值范围.‎ ‎5.解析 （1）由题意，即，整理得，‎ 即.‎ 故不等式的解为；‎ ‎（2）依题意，所以， ①‎ 整理得，即， ②‎ 当时，方程②的解为，代入①式，成立；当时，方程②的解为，代入①式，成立；‎ 当且时，方程②的解为或，若为方程①的解，则 ‎，即，‎ 若为方程①的解，则，即.‎ 要使得方程①有且仅有一个解，则或，即.‎ 综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则的取值范围为或或.‎ ‎（3）当时，，，‎ 所以在上单调递减.因此在上单调递减.故只需满足，‎ 即，所以，‎ 即，设，则，.‎ 当时， ；当时，，又函数在递减，‎ 所以.故.故的取值范围为.‎ 评注 第（3）问还可从二次函数的角度考查，由整理得对任意成立.因为，函数的对称轴，故函数在区间上单调递增.所以当时，有最小值，由，得.故的取值范围为.‎