【数学】2020届天津一轮复习通用版4-2三角恒等变换作业 10页

‎4.2　三角恒等变换 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 三角恒等变换 ‎1.两角和与差的三角函数公式 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式;能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并了解它们的内在联系 ‎2.简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,但这三组公式不要求记忆)‎ ‎2015天津,15‎ 两角差的余弦公式 函数在闭区间上的最值 ‎★★★‎ 分析解读　　两角和与差的三角函数公式及二倍角公式一直是高考命题的热点,全面考查两角和与差及二倍角公式的综合应用.1.以两角和与差的三角函数公式为基础,求三角函数的值或化简三角函数式;2.二倍角公式是热点和难点,要理解“倍角”的含义,注意“倍角”的相对性,并能灵活应用;3.解决与两角和与差的三角函数公式及二倍角公式有关的综合问题时,一般先把三角函数式化成y=Asin(ωx+φ)+b的形式,再讨论三角函数的性质.本节内容常以解答题的形式出现,与解三角形问题结合在一起考查,属于中档题.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点　三角恒等变换 ‎1.“sin α+cos α=0”是“cos 2α=0”的(　　)‎ A.充分而不必要条件　　　B.必要而不充分条件　　　C.充分必要条件　　　D.既不充分也不必要条件 答案　A　‎ ‎2.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°·sin 10°=(　　)‎ A.-‎3‎‎2‎　　　　B.‎3‎‎2‎　　　　C.-‎1‎‎2‎　　　　D.‎‎1‎‎2‎ 答案　D　‎ ‎3.若tan α=2tan π‎5‎,则cosα-‎‎3π‎10‎sinα-‎π‎5‎=(　　)‎ A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4‎ 答案　C　‎ ‎4.(2018课标Ⅱ,15,5分)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=　　　　. ‎ 答案　-‎‎1‎‎2‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　三角函数的化简与求值问题 ‎1.(2013课标Ⅱ,6,5分)已知sin 2α=‎2‎‎3‎,则cos2α+‎π‎4‎=(　　)‎ A.‎1‎‎6‎　　　　B.‎1‎‎3‎　　　　C.‎1‎‎2‎　　　　D.‎‎2‎‎3‎ 答案　A　‎ ‎2.已知tan α=2.‎ ‎(1)求tanα+‎π‎4‎的值;‎ ‎(2)求sin2αsin‎2‎α+sinαcosα-cos2α-1‎的值.‎ 解析　(1)因为tan α=2,‎ 所以tanα+‎π‎4‎=tanα+tanπ‎4‎‎1-tanα·tanπ‎4‎=‎2+1‎‎1-2×1‎=-3.‎ ‎(2)因为tan α=2,所以sin2αsin‎2‎α+sinαcosα-cos2α-1‎ ‎=‎‎2sinαcosαsin‎2‎α+sinαcosα-(cos‎2‎α-sin‎2‎α)-(sin‎2‎α+cos‎2‎α)‎ ‎=‎2sinαcosαsin‎2‎α+sinαcosα-2cos‎2‎α=‎2tanαtan‎2‎α+tanα-2‎=‎2×2‎‎2‎‎2‎‎+2-2‎=1.‎ 方法2　利用辅助角公式解决问题的方法 ‎3.已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=　　　　,b=　　　　. ‎ 答案　‎2‎;1‎ ‎4.已知函数f(x)=(1+tan x)sin 2x.‎ ‎(1)求f(x)的定义域;‎ ‎(2)若α∈(0,π),且f(α)=2,求α的值.‎ 解析　(1)因为函数y=tan x的定义域是x∈Rx≠kπ+π‎2‎,k∈Z,所以f(x)的定义域为x∈Rx≠kπ+π‎2‎,k∈Z.‎ ‎(2)f(x)=(1+tan x)sin 2x=‎1+‎sinxcosx·sin 2x=sin 2x+2sin2x ‎=sin 2x-cos 2x+1=‎2‎sin‎2x-‎π‎4‎+1.‎ 由f(α)=2,得sin‎2α-‎π‎4‎=‎2‎‎2‎.‎ 因为0<α<π,‎ 所以-π‎4‎<2α-π‎4‎<‎7π‎4‎,‎ 所以2α-π‎4‎=π‎4‎或2α-π‎4‎=‎3π‎4‎,‎ 解得α=π‎4‎或α=π‎2‎(舍去).‎ 所以α=π‎4‎.‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·天津卷题组 ‎1.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2x-‎π‎6‎,x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在区间‎-π‎3‎,‎π‎4‎上的最大值和最小值.‎ 解析　(1)由已知,有 f(x)=‎1-cos2x‎2‎-‎1-cos‎2x-‎π‎3‎‎2‎=‎1‎‎2‎‎1‎‎2‎cos2x+‎3‎‎2‎sin2x-‎1‎‎2‎cos 2x=‎3‎‎4‎sin 2x-‎1‎‎4‎cos 2x=‎1‎‎2‎sin‎2x-‎π‎6‎.‎ 所以, f(x)的最小正周期T=‎2π‎2‎=π.‎ ‎(2)因为f(x)在区间‎-π‎3‎,-‎π‎6‎上是减函数,在区间‎-π‎6‎,‎π‎4‎上是增函数, f ‎-‎π‎3‎=-‎1‎‎4‎, f ‎-‎π‎6‎=-‎1‎‎2‎, fπ‎4‎=‎3‎‎4‎,所以f(x)在区间‎-π‎3‎,‎π‎4‎上的最大值为‎3‎‎4‎,最小值为-‎1‎‎2‎.‎ ‎2.(2014天津,15,13分)已知函数f(x)=cos x·sinx+‎π‎3‎-‎3‎cos2x+‎3‎‎4‎,x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在闭区间‎-π‎4‎,‎π‎4‎上的最大值和最小值.‎ 解析　(1)由已知,有 f(x)=cos x·‎1‎‎2‎sinx+‎3‎‎2‎cosx-‎3‎cos2x+‎‎3‎‎4‎ ‎=‎1‎‎2‎sin x·cos x-‎3‎‎2‎cos2x+‎‎3‎‎4‎ ‎=‎1‎‎4‎sin 2x-‎3‎‎4‎(1+cos 2x)+‎‎3‎‎4‎ ‎=‎1‎‎4‎sin 2x-‎3‎‎4‎cos 2x=‎1‎‎2‎sin‎2x-‎π‎3‎.‎ 所以f(x)的最小正周期T=‎2π‎2‎=π.‎ ‎(2)因为f(x)在区间‎-π‎4‎,-‎π‎12‎上是减函数,在区间‎-π‎12‎,‎π‎4‎上是增函数,‎ f‎-‎π‎4‎=-‎1‎‎4‎, f‎-‎π‎12‎=-‎1‎‎2‎, fπ‎4‎=‎1‎‎4‎,‎ 所以函数f(x)在闭区间‎-π‎4‎,‎π‎4‎上的最大值为‎1‎‎4‎,最小值为-‎1‎‎2‎.‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 ‎1.(2018课标Ⅲ,4,5分)若sin α=‎1‎‎3‎,则cos 2α=(　　)‎ A.‎8‎‎9‎　　　　B.‎7‎‎9‎　　　　C.-‎7‎‎9‎　　　　D.-‎‎8‎‎9‎ 答案　B　‎ ‎2.(2018课标Ⅱ,15,5分)已知tanα-‎‎5π‎4‎=‎1‎‎5‎,则tan α=　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎2‎ ‎3.(2017江苏,5,5分)若tanα-‎π‎4‎=‎1‎‎6‎,则tan α=　　　　. ‎ 答案　‎‎7‎‎5‎ ‎4.(2017课标Ⅰ,15,5分)已知α∈‎0,‎π‎2‎,tan α=2,则cosα-‎π‎4‎=　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎10‎‎10‎ ‎5.(2016课标Ⅱ,13,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=‎4‎‎5‎,cos C=‎5‎‎13‎,a=1,则b=　　　　. ‎ 答案　‎‎21‎‎13‎ ‎6.(2015四川,12,5分)sin 15°+sin 75°的值是　　　　. ‎ 答案　‎‎6‎‎2‎ ‎7.(2018江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tan α=‎4‎‎3‎,cos(α+β)=-‎5‎‎5‎.‎ ‎(1)求cos 2α的值;‎ ‎(2)求tan(α-β)的值.‎ 解析　(1)因为tan α=‎4‎‎3‎,tan α=sinαcosα,所以sin α=‎4‎‎3‎cos α.‎ 因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=‎9‎‎25‎,‎ 所以cos 2α=2cos2α-1=-‎7‎‎25‎.‎ ‎(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).‎ 又因为cos(α+β)=-‎5‎‎5‎,‎ 所以sin(α+β)=‎1-cos‎2‎(α+β)‎=‎2‎‎5‎‎5‎,‎ 因此tan(α+β)=-2.‎ 因为tan α=‎4‎‎3‎,所以tan 2α=‎2tanα‎1-tan‎2‎α=-‎24‎‎7‎.‎ 因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan2α-tan(α+β)‎‎1+tan2αtan(α+β)‎=-‎2‎‎11‎.‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2017山东,4,5分)已知cos x=‎3‎‎4‎,则cos 2x=(　　)‎ A.-‎1‎‎4‎　　　　B.‎1‎‎4‎　　　　C.-‎1‎‎8‎　　　　D.‎‎1‎‎8‎ 答案　D　‎ ‎2.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cosπ‎4‎‎-α=‎3‎‎5‎,则sin 2α=(　　)‎ A.‎7‎‎25‎　　　　B.‎1‎‎5‎　　　　C.-‎1‎‎5‎　　　　D.-‎‎7‎‎25‎ 答案　D　‎ ‎3.(2014课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为　　　　. ‎ 答案　1‎ ‎4.(2014江苏,5,5分)已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为π‎3‎的交点,则φ的值是　　　　. ‎ 答案　‎π‎6‎ ‎5.(2014广东,16,12分)已知函数f(x)=Asinx+‎π‎4‎,x∈R,且f‎5π‎12‎=‎3‎‎2‎.‎ ‎(1)求A的值;‎ ‎(2)若f(θ)+f(-θ)=‎3‎‎2‎,θ∈‎0,‎π‎2‎,求f‎3π‎4‎‎-θ.‎ 解析　(1)f‎5π‎12‎=Asin‎5π‎12‎‎+‎π‎4‎=‎3‎‎2‎,∴A·‎3‎‎2‎=‎3‎‎2‎,‎ 解得A=‎3‎.‎ ‎(2)f(θ)+f(-θ)=‎3‎sinθ+‎π‎4‎+‎3‎sin‎-θ+‎π‎4‎=‎3‎‎2‎,‎ ‎∴‎3‎‎2‎‎2‎‎(sinθ+cosθ)+‎2‎‎2‎(-sinθ+cosθ)‎=‎3‎‎2‎,‎ ‎∴‎6‎cos θ=‎3‎‎2‎,∴cos θ=‎6‎‎4‎,‎ 又 θ∈‎0,‎π‎2‎,∴sin θ=‎1-cos‎2‎θ=‎10‎‎4‎,‎ ‎∴f‎3π‎4‎‎-θ=‎3‎sin(π-θ)=‎3‎sin θ=‎30‎‎4‎.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题5分,共15分)‎ ‎1.(2018天津河东二模,6)已知函数f(x)=cos2‎3‎‎4‎π-x-‎1‎‎2‎,在下列区间中f(x)单调递增的为(　　)‎ A.‎0,‎π‎4‎　　　　B.‎0,‎π‎2‎　　　　C.π‎6‎‎,‎π‎3‎　　　　D.‎π‎4‎‎,‎π‎2‎ 答案　D　‎ ‎2.(2019届天津耀华中学第一次月考,6)已知函数f(x)=2sin ωxcos2ωx‎2‎-sin ωx(ω>0)的最小值在区间‎-π‎3‎,‎π‎4‎上至少出现两次,则ω的最小值等于(　　)‎ A.6　　　　B.‎9‎‎4‎　　　　C.‎15‎‎4‎　　　　D.3‎ 答案　D　‎ ‎3.(2018天津六校联考期中,4)若点P(cos α,sin α)在直线y=-2x上,则sin2α+cos‎2α+‎π‎2‎=(　　)‎ A.0　　　　B.‎2‎‎5‎　　　　C.‎6‎‎5‎　　　　D.‎‎8‎‎5‎ 答案　D　‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎4.(2019届天津新华中学第一次月考,12)已知α,β∈‎3π‎4‎‎,π,sin(α+β)=-‎3‎‎5‎,sinβ-‎π‎4‎=‎12‎‎13‎,则cosα+‎π‎4‎=　　　　. ‎ 答案　-‎‎56‎‎65‎ ‎5.(2019届天津武清杨村三中第一次月考,13)函数f(x)=cos x-sin x的单调递增区间为　　　　　　　　　. ‎ 答案　‎2kπ-‎5π‎4‎,2kπ-‎π‎4‎(k∈Z)‎ ‎6.(2018天津南开三模,13)若函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω≠0)对任意实数x都有fπ‎6‎‎+x=fπ‎6‎‎-x,则fπ‎3‎‎-‎πω的值等于　　　　. ‎ 答案　-1‎ 三、解答题(共75分)‎ ‎7.(2018天津河西三模,15)已知函数f(x)=2cos2x-cos‎2x+‎π‎3‎-1.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程;‎ ‎(2)讨论函数f(x)在‎-π‎4‎,‎π‎4‎上的单调性.‎ 解析　(1)f(x)=2cos2x-cos‎2x+‎π‎3‎-1=cos 2x-‎1‎‎2‎cos 2x+‎3‎‎2‎sin 2x=sin‎2x+‎π‎6‎,‎ ‎∵ω=2,‎ ‎∴函数f(x)的最小正周期T=‎2π‎2‎=π.‎ 令2x+π‎6‎=kπ+π‎2‎,k∈Z,‎ 解得x=kπ‎2‎+π‎6‎,k∈Z,‎ ‎∴f(x)的对称轴方程为x=kπ‎2‎+π‎6‎,k∈Z.‎ ‎(2)令2kπ-π‎2‎≤2x+π‎6‎≤2kπ+π‎2‎,k∈Z,‎ 解得-π‎3‎+kπ≤x≤π‎6‎+kπ,k∈Z,‎ 设A=‎-π‎4‎,‎π‎4‎,B=x|-π‎3‎+kπ≤x≤π‎6‎+kπ,k∈Z,‎ 可得A∩B=‎-π‎4‎,‎π‎6‎,‎ ‎∴当x∈‎-π‎4‎,‎π‎4‎时, f(x)在区间‎-π‎4‎,‎π‎6‎上单调递增,‎ 在区间π‎6‎‎,‎π‎4‎上单调递减.‎ ‎8.(2017天津红桥二模,15)已知函数f(x)=-‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎+6sin xcos x-2cos2x+1,x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在区间‎0,‎π‎2‎上的最大值和最小值.‎ 解析　(1)由已知,有f(x)=-‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎+6sin xcos x-2cos2x+1‎ ‎=-sin 2x-cos 2x+3sin 2x-(1+cos 2x)+1‎ ‎=2sin 2x-2cos 2x=2‎2‎sin‎2x-‎π‎4‎,‎ ‎∴f(x)的最小正周期T=‎2π‎2‎=π.‎ ‎(2)易知f(x)在区间‎0,‎‎3π‎8‎上为增函数,在区间‎3π‎8‎‎,‎π‎2‎上为减函数, f(0)=-‎2‎‎2‎×2‎2‎=-2, fπ‎2‎=‎2‎‎2‎×2‎2‎=2, f‎3π‎8‎=2‎2‎,‎ ‎∴f(x)在区间‎0,‎π‎2‎上的最大值为2‎2‎,最小值为-2.‎ ‎9.(2019届天津一中月考,15)设函数f(x)=cos‎2x+‎π‎3‎+sin2x.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值;‎ ‎(2)求函数f(x)的单调递减区间;‎ ‎(3)设A,B,C为△ABC的三个内角,若cos B=‎1‎‎3‎, fC‎2‎=-‎1‎‎4‎,且C为锐角,求sin A.‎ 解析　(1)由已知,有f(x)=cos 2xcosπ‎3‎-sin 2xsinπ‎3‎+‎1-cos2x‎2‎=‎1‎‎2‎cos 2x-‎3‎‎2‎sin 2x+‎1‎‎2‎-‎1‎‎2‎cos 2x=‎1‎‎2‎-‎3‎‎2‎sin 2x,‎ 所以f(x)的最小正周期T=‎2π‎2‎=π.‎ 当2x=-π‎2‎+2kπ(k∈Z),即x=-π‎4‎+kπ(k∈Z)时,f(x)取得最大值, 最大值为‎1+‎‎3‎‎2‎.‎ ‎(2)由-π‎2‎+2kπ≤2x≤π‎2‎+2kπ,k∈Z,得-π‎4‎+kπ≤x≤π‎4‎+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递减区间为‎-π‎4‎+kπ,π‎4‎+kπ(k∈Z).‎ ‎(3)由fC‎2‎=-‎1‎‎4‎,即‎1‎‎2‎-‎3‎‎2‎sin C=-‎1‎‎4‎,‎ 解得sin C=‎3‎‎2‎,又C为锐角,所以C=π‎3‎.‎ 由cos B=‎1‎‎3‎,得sin B=‎2‎‎2‎‎3‎.‎ 因此sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=‎2‎‎2‎‎3‎×‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎×‎3‎‎2‎=‎2‎2‎+‎‎3‎‎6‎.‎ ‎10.(2018天津部分区县二模,15)已知函数f(x)=cos2ωx+‎3‎‎2‎·sin 2ωx-‎1‎‎2‎(ω>0)的图象上相邻的两最高点间的距离是π.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)在锐角△ABC中,内角A,B,C满足sin Asin C-sin2C=sin2A-sin2B,求f(A)的取值范围.‎ 解析　(1)函数f(x)=cos2ωx+‎3‎‎2‎sin 2ωx-‎‎1‎‎2‎ ‎=‎1‎‎2‎(1+cos 2ωx)+‎3‎‎2‎sin 2ωx-‎‎1‎‎2‎ ‎=‎3‎‎2‎sin 2ωx+‎1‎‎2‎cos 2ωx=sin‎2ωx+‎π‎6‎.‎ ‎∵函数f(x)图象上相邻的两最高点间的距离是π,∴T=π,‎ 由T=‎2π‎2ω=π,且ω>0,解得ω=1,‎ ‎∴f(x)=sin‎2x+‎π‎6‎.‎ ‎(2)由sin Asin C-sin2C=sin2A-sin2B得ac-c2=a2-b2,即a2+c2-b2=ac,‎ ‎∴cos B=a‎2‎‎+c‎2‎-‎b‎2‎‎2ac=ac‎2ac=‎1‎‎2‎,‎ 又∵B∈‎0,‎π‎2‎,∴B=π‎3‎,‎ 在锐角三角形ABC中,A∈π‎6‎‎,‎π‎2‎,‎ ‎∴π‎2‎<2A+π‎6‎<‎7π‎6‎,‎ ‎∴-‎1‎‎2‎