2018高考数学（理）复习-2013-2017高考分类汇编-第9章 直线与圆的方程 21页

‎ 第九章 直线与圆的方程 第1节 直线的方程与两条直线的位置关系 ‎1．（2017浙江11）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积， .‎ ‎1.解析 正六边形的面积为6个正三角形的面积和，所以.‎ 题型102 倾斜角与斜率的计算——暂无 ‎1.（2013江西理9）过点引直线与曲线相交于，两点，为坐标 原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（ ）.‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（2015山东理9）一条光线从点射出，经轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为( ).‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎2.解析 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点．‎ 设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线的方程为，‎ 即．由题意，圆心到此直线的距离等于圆的半径1，‎ 即，所以，解得或．故选D．‎ 题型103 直线的方程——暂无 ‎1.（2013山东理9）过点作圆的两条切线，切点分别为，，则 直线的方程为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.（2013江苏17）‎ 如图，在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为，圆心在上.‎ ‎（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；‎ ‎ （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎3．（2015广东理5）平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）.‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎3.解析 设所求切线方程为，依题意有，解得，‎ 所以所求切线的方程为或．故选A．‎ 题型104 两直线位置关系的判定——暂无 ‎1．（2015广东理5）平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）.‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎1.解析 设所求切线方程为，依题意有，解得，‎ 所以所求切线的方程为或．故选A．‎ 题型105 有关距离的计算 ‎1.（2014 重庆理 13）已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_________.‎ ‎2.（2014 新课标2理16）设点，若在圆：上存在点，‎ 使得，则的取值范围是 .‎ ‎3.（2014 新课标1理 6）如图，圆的半径为，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示成的函数，‎ 则在上的图像大致为（ ）.‎ ‎1‎ A.‎ ‎1‎ B.‎ ‎1‎ C.‎ ‎1‎ D.‎ ‎4.（2014 福建理 6）直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（ ）.‎ ‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎5．（2015广东理5）平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）.‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎5.解析 设所求切线方程为，依题意有，解得，所以所求切线的方程为或．故选A．‎ ‎6．（2015江苏理10）在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．‎ ‎6.解析 解法一（几何意义）：动直线整理得，‎ 则经过定点，故满足题意的圆与切于时，半径最大，‎ 从而，故标准方程为．‎ 解法二（代数法——基本不等式）：由题意 ‎，当且仅当时，取“”．‎ 故标准方程为．‎ 解法三（代数法——判别式）：由题意，‎ 设，则，‎ 因为，所以，解得，即的最大值为．‎ ‎7．（2015湖北理14）如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点 ‎（B在A的上方），且．‎ ‎(1)圆的标准方程为 ；‎ ‎(2)过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：‎ ‎①； ②； ③．‎ 其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）‎ ‎7.解析（1）由条件可设圆的标准方程为(为半径)，‎ 因为，所以，故圆的标准方程为.‎ ‎（2）在中令得,‎ 因为在圆上，所以由三角函数的定义可设 从而.‎ 同理，故，，‎ ‎8．（2015全国II理7）过三点，，的圆交于轴于两点，‎ 则（ ）．‎ A.2 B. C. 4 D. ‎ ‎8. 解析 由题意得，，所以，‎ 所以，即为直角三角形，则外接圆的圆心为的中点，‎ 半径为，所以外接圆方程为，令，则有，‎ 所以，故选C．‎ ‎9．（2015广东理20）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点 ‎，.‎ (1) 求圆的圆心坐标；‎ (2) 求线段的中点的轨迹的方程；‎ (3) 是否存在实数,使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取 值范围；若不存在，说明理由.‎ ‎9. 解析 （1）由得，所以圆的圆心坐标为；‎ ‎（2）设．因为点为弦中点，即，所以，‎ 即，所以线段的中点的轨迹的方程为；‎ ‎（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心，为半径的部分圆弧（不包括 两端点），且，．又直线过定点，‎ 当直线与圆相切时，由得．‎ 又，所以当时，‎ 直线与曲线只有一个交点．‎ ‎10．（2015四川理10）设直线与抛物线相交于两点，与圆：相切于点，且为线段中点，若这样的直线恰有 条，则的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 解析 设直线的方程为，代入抛物线方程得，‎ 则.又中点，则，即.‎ 代入，可得，即.‎ 又由圆心到直线的距离等于半径，可得.‎ 由，可得.故选D.‎ ‎11.（2015重庆理8）已知直线是圆的 对称轴.过点作圆的一条切线，切点为，则（ ）.‎ A. 2 B. C.6 D.‎ ‎11. 解析 易知圆的标准方程，圆心为.‎ ‎ 又因为直线是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心，‎ 得知，．又因为直线与圆相切，则为直角三角形,‎ ‎,,．‎ ‎12.（2016全国甲理4）圆的圆心到直线的距离为1，则（ ）.‎ A. B. C. D.2‎ ‎12.A 解析 将圆化为标准方程为：，故圆心为，所以，解得.故选A．‎ ‎13.（2016上海理3），，则，的距离为 ．‎ ‎13. 解析 由题意．故填．‎ ‎14.（2016全国丙理16）已知直线与圆交于，两点，过，分别做的垂线与轴交于，两点，若，则__________________.‎ ‎14.4 解析 解法一：根据直线与圆相交弦长公式有，得，又，得.因此圆心到直线：的距离，解得 因此直线的方程为.所以直线的倾斜角为.如图所示，过点作于点，则.‎ 解法二：直线：，知直线过定点，又，所以为等边三角形,因为，所以，又知,所以点在轴上（直线的斜率存在）.所以得直线的倾斜角为，则.‎ 第2节 圆的方程 题型106 求圆的方程——暂无 ‎1.（2014 陕西理 12）若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.‎ ‎2．（2015江苏理10）在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．‎ ‎2.解析 解法一（几何意义）：动直线整理得，‎ 则经过定点，故满足题意的圆与切于时，半径最大，‎ 从而，故标准方程为．‎ 解法二（代数法——基本不等式）：由题意 ‎，当且仅当时，取“”．‎ 故标准方程为．‎ 解法三（代数法——判别式）：由题意，‎ 设，则，因为，‎ 所以，解得，即的最大值为．‎ ‎3．（2015湖北理14）如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点 ‎（B在A的上方），且．‎ ‎(1)圆的标准方程为 ；‎ ‎(2)过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：‎ ‎①； ②； ③．‎ 其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）‎ ‎3.解析（1）由条件可设圆的标准方程为(为半径)，‎ 因为，所以，故圆的标准方程为.‎ ‎（2）在中令得,‎ 因为在圆上，所以由三角函数的定义可设 从而.‎ 同理，故，，‎ ‎4．（2015全国II理7）过三点，，的圆交于轴于两点，‎ 则（ ）．‎ A.2 B. C. 4 D. ‎ ‎4. 解析 由题意得，，所以，‎ 所以，即为直角三角形，则外接圆的圆心为的中点，‎ 半径为，所以外接圆方程为，令，则有，‎ 所以，故选C．‎ 题型107 与圆有关的轨迹问题——暂无 ‎1．（2015广东理20）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点 ‎，.‎ ‎（1）求圆的圆心坐标；‎ ‎（2）求线段的中点的轨迹的方程；‎ ‎（3）是否存在实数,使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.‎ ‎1. 解析 （1）由得，所以圆的圆心坐标为；‎ ‎（2）设．因为点为弦中点，即，所以，‎ 即，所以线段的中点的轨迹的方程为；‎ ‎（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心，为半径的部分圆弧（不包括 两端点），且，．又直线过定点，‎ 当直线与圆相切时，由得．‎ 又，所以当时，‎ 直线与曲线只有一个交点．‎ 题型115 与圆有关的最值或取值范围问题 ‎1．（2015四川理10）设直线与抛物线相交于两点，与圆：相切于点，且为线段中点，若这样的直线恰有 条，则的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎1. 解析 设直线的方程为，代入抛物线方程得，‎ 则.又中点，则，即.‎ 代入，可得，即.‎ 又由圆心到直线的距离等于半径，可得.‎ 由，可得.故选D.‎ 第3节 直线与圆、圆与圆的位置关系 题型108 直线与圆的位置关系 ‎1.（2014 湖北理 12）直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则________.‎ ‎2.（2014 江西理 9）在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎3.（2014 福建理 6）直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（ ）.‎ ‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎4.（2014 大纲理 15）直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于 .‎ ‎5．（2015山东理9）一条光线从点射出，经轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为( ).‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎5.解析 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点．‎ 设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线的方程为，‎ 即．由题意，圆心到此直线的距离等于圆的半径1，‎ 即，所以，解得或．故选D．‎ ‎6．（2015广东理5）平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）.‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎6.解析 设所求切线方程为，依题意有，解得，‎ 所以所求切线的方程为或．故选A．‎ ‎7．（2015江苏理10）在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．‎ ‎7.解析 解法一（几何意义）：动直线整理得，‎ 则经过定点，故满足题意的圆与切于时，半径最大，‎ 从而，故标准方程为．‎ 解法二（代数法——基本不等式）：由题意 ‎，当且仅当时，取“”．‎ 故标准方程为．‎ 解法三（代数法——判别式）：由题意，‎ 设，则，因为，‎ 所以，解得，即的最大值为．‎ ‎8．（2015湖北理14）如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点 ‎（B在A的上方），且．‎ ‎(1)圆的标准方程为 ；‎ ‎(2)过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：‎ ‎①； ②； ③．‎ 其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）‎ ‎8.解析（1）由条件可设圆的标准方程为(为半径)，‎ 因为，所以，故圆的标准方程为.‎ ‎（2）在中令得,‎ 因为在圆上，所以由三角函数的定义可设 从而.‎ 同理，故，，‎ ‎9．（2015全国II理7）过三点，，的圆交于轴于两点，‎ 则（ ）．‎ A.2 B. C. 4 D. ‎ ‎9. 解析 由题意得，，所以，‎ 所以，即为直角三角形，则外接圆的圆心为的中点，‎ 半径为，所以外接圆方程为，令，则有，‎ 所以，故选C．‎ ‎10．（2015广东理20）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，.‎ ‎（1）求圆的圆心坐标；‎ ‎（2）求线段的中点的轨迹的方程；‎ ‎（3）是否存在实数,使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.‎ ‎10. 解析 （1）由得，所以圆的圆心坐标为；‎ ‎（2）设．因为点为弦中点，即，所以，‎ 即，所以线段的中点的轨迹的方程为；‎ ‎（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心，为半径的部分圆弧（不包括 两端点），且，．又直线过定点，‎ 当直线与圆相切时，由得．‎ 又，所以当时，‎ 直线与曲线只有一个交点．‎ ‎11．（2015四川理10）设直线与抛物线相交于两点，与圆：相切于点，且为线段中点，若这样的直线恰有 条，则的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 解析 设直线的方程为，代入抛物线方程得，‎ 则.又中点，则，即.‎ 代入，可得，即.‎ 又由圆心到直线的距离等于半径，可得.‎ 由，可得.故选D.‎ ‎12.（2015重庆理8）已知直线是圆的 对称轴.过点作圆的一条切线，切点为，则（ ）.‎ A. 2 B. C.6 D.‎ ‎12. 解析 易知圆的标准方程，圆心为.‎ ‎ 又因为直线是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心，‎ 得知，．又因为直线与圆相切，则为直角三角形,‎ ‎,,．‎ ‎13.（2016全国甲理4）圆的圆心到直线的距离为1，则( ).‎ A. B. C. D.2‎ ‎13.A 解析 将圆化为标准方程为：，故圆心为，所以，解得.故选A．‎ 题型109 直线与圆的相交关系及其应用 ‎1.（2013江西理9）过点引直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（ ）.‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.（2014 重庆理 13）已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_________.‎ ‎3.（2014 江苏理 9）在平面直角坐标系中，直线被圆 截得的弦长为 ．‎ ‎4.（2016北京理11）在极坐标系中，直线圆交于两点， 则 _______.‎ ‎4. 解析 解法一：在平面直角坐标系中，题中的直线圆的方程分别是，.可得两点的坐标，即为方程组的解，‎ 用代入法可求得两点的坐标分别为，所以由两点的距离公式可求得.‎ 解法二：直线的直角坐标方程为，圆的直角坐标方程为.‎ 圆心在直线上，因此为圆的直径，所以.‎ ‎5.（2016全国丙理14）在上随机地取一个数，则事件”直线与圆 相交”发生的概率为 .‎ ‎5. 解析 首先的取值空间的长度为2，由直线与圆相交，所以，解得，所以得事件发生时的取值空间为，其长度为，利用几何概型可知，所求概率为. ‎ ‎6.（2016全国丙理16）已知直线与圆交于，两点，过，分别做的垂线与轴交于，两点，若，则__________.‎ ‎6.4 解析 解法一：根据直线与圆相交弦长公式有得，又，得.因此圆心到直线：的距离，解得 因此直线的方程为.所以直线的倾斜角为.如图所示，过点作于点，‎ 则.‎ 解法二：直线：，知直线过定点，又，所以为等边三角形,因为，所以,又知,所以点在轴上（直线的斜率存在）.所以得直线的倾斜角为，则.‎ 题型110 直线与圆相切、相离关系及其应用——暂无 1. ‎（2013山东理9）过点作圆的两条切线，切点分别为，，则 直线的方程为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.（2013江苏17）如图，在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为，圆心在上.‎ ‎（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；‎ ‎ （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎3.（2014 江西理 9）在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎4.（2014 大纲理 15）直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于 .‎ 题型111 直线与圆的综合 ‎1.（2014 新课标2理16）设点，若在圆：上存在点，使得 ‎，则的取值范围是 .‎ ‎2.（2014 湖北理 12）直线和将单位圆分成长度相 等的四段弧，则________.‎ ‎3．（2016江苏18）如图所示，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆 及其上一点.‎ ‎（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；‎ ‎（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；‎ ‎（3）设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围．‎ ‎3.解析 （1）因为在直线上，设，因为与轴相切，则圆为，.又圆与圆外切，圆，则，解得，‎ 即圆的标准方程为.‎ ‎（2）由题意得，，设，则圆心到直线的距离，‎ 则，解得或，即或.‎ ‎（3）解法一：不妨设，，又因为，，‎ 由，所以，因为点在圆上，因此满足 ‎，‎ 故有，又点在圆上，‎ 故点既在圆上，也在圆上，‎ 所以只需两圆有公共点即可，所以，‎ 解得．所以实数的取值范围为．‎ 评注 对于第（3）问，尝试将向量进行组合运算可以得到．‎ 解法二：，即.则有必要条件.‎ 因为，又，即，解得.‎ 下论证充分性，即存在两点可使.‎ 对于任意，欲使，此时，‎ 只需要作直线的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于两点，此时，且有，因此对于任意，均满足题意，综上实数的取值范围为.‎ ‎4.（2017江苏13）在平面直角坐标系中，点，，点在圆上．若，则点的横坐标的取值范围是 ．‎ ‎4.解析 不妨设，则，且易知．‎ 因为 ‎，故．‎ 所以点在圆上，且在直线的左上方（含直线）.联立，得，，如图所示，结合图形知．‎ 故填．‎ 评注 也可以理解为点在圆的内部来解决，与解析中的方法一致．‎ ‎5．（2107全国3卷理科20）已知抛物线，过点的直线交与，两点，圆是以线段为直径的圆．‎ ‎（1）求证：坐标原点在圆上；‎ ‎（2）设圆过点，求直线与圆的方程．‎ ‎5．解析 （1）显然当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．‎ 设，，，联立，得，‎ 恒大于，，．‎ ‎，所以，即点在圆上．‎ ‎（2）若圆过点，则，即，‎ 即，即，‎ 化简得，解得或.‎ ‎①当时，，设圆心为，‎ 则，，半径，‎ 则圆.‎ ‎②当时，，设圆心为，‎ ‎，，半径，则圆.‎ 题型112 圆与圆的位置关系及其应用——暂无 1. ‎(2013重庆理7）已知圆，圆，‎ 分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 ‎（ ）.‎ A. B. C. D. ‎