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- 2021-06-24 发布
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G 立体几何
G1 空间几何体的结构
9.G1[2012·重庆卷] 设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2和 a,且长为 a 的棱与
长为 2的棱异面,则 a 的取值范围是( )
A.(0, 2) B.(0, 3)
C.(1, 2) D.(1, 3)
9.A [解析] 如图所示,设 AB=a,CD= 2,BC=BD=AC=AD=1,则∠ACD=∠
BCD=45°,要构造一个四面体,则平面 ACD 与平面 BCD 不能重合,当△BCD 与△ACD 重
合时,a=0;当 A、B、C、D 四点共面,且 A、B 两点在 DC 的两侧时,在△ABC 中,∠ACB
=∠ACD+∠BCD=45°+45°=90°,AB= AC2+BC2= 2,所以 a 的取值范围是(0, 2).
G2 空间几何体的三视图和直观图
13.G2[2012·辽宁卷] 一个几何体的三视图如图 1-3 所示.则该几何体的表面积为
________.
图 1-3
13.38 [解析] 本小题主要考查三视图的应用和常见几何体表面积的求法.解题的突
破口为弄清要求的几何体的形状,以及表面积的构成.
由三视图可知,该几何体为一个长方体中挖去一个圆柱构成,几何体的表面积 S=长方
体表面积+圆柱的侧面积-圆柱的上下底面面积,由三视图知,长方体的长、宽、高为 4、
3、1,圆柱的底面圆的半径为 1,高为 1,所以 S=2×(4×3+4×1+3×1)+2π×1×1-
2×π×12=38.
7.G2、G7[2012·北京卷] 某三棱锥的三视图如图 1-4 所示,该三棱锥的表面积是( )
图 1-4
A.28+6 5 B.30+6 5
C.56+12 5 D.60+12 5
7.B [解析] 本题考查的三棱锥的三视图与表面积公式.由三视图可知,几何体为一
个侧面和底面垂直的三棱锥,如图所示,可知 S 底面=1
2
×5×4=10,
S 后=1
2
×5×4=10,
S 左=1
2
×6×2 5=6 5,
S 右=1
2
×4×5=10,
所以 S 表=10×3+6 5=30+6 5.
12.G2、G7[2012·安徽卷] 某几何体的三视图如图 1-3 所示,该几何体的表面积是
________.
图 1-3
12.92 [解析] 本题考查三视图的识别,四棱柱等空间几何体的表面积.
如图根据三视图还原的实物图为底面是直角梯形的直四棱柱,其表面积为
S=1
2
×(2+5)×4×2+4×2+5×4+4×4+5×4=92.
10.G2[2012·天津卷] 一个几何体的三视图如图 1-2 所示(单位:m),则该几何体的体
积为________m3.
图 1-2
10.18+9π [解析] 本题考查几何体的三视图及体积公式,考查运算求解及空间想象
力,容易题.
由三视图可得该几何体为一个长方体与两个球的组合体,其体积
V=6×3×1+2×4
3π×
3
2 3=18+9π.
4.G2[2012·福建卷] 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体
不可以是( )
A.球 B.三棱锥
C.正方体 D.圆柱
4.D [解析] 本题考查简单几何体的三视图,大小、形状的判断以及空间想象能力,
球的三视图大小、形状相同.三棱锥的三视图也可能相同,正方体三种视图也相同,只有圆
柱不同.
6.G2[2012·广东卷] 某几何体的三视图如图 1-1 所示,它的体积为( )
图 1-1
A.12π B.45π
C.57π D.81π
6.C
[解析] 根据三视图知该几何体是由圆柱与圆锥构成,圆柱与圆锥的半径 R=3,圆锥的
高 h=4,圆柱的高为 5,所以 V 组合体=V 圆柱+V 圆锥=π×32×5+1
3
×π×32×4=57π,所以选择
C.
4.G2[2012·湖北卷] 已知某几何体的三视图如图 1-2 所示,则该几何体的体积为( )
图 1-2
A.8π
3 B.3π
C.10π
3 D.6π
4.B [解析] 根据三视图知几何体的下面是一个圆柱,上面是圆柱的一半,所以 V=
2π+1
2
×2π=3π.故选 B.
3.G2[2012·湖南卷] 某几何体的正视图和侧视图均如图 1-1 所示,则该几何体的俯视
图不可能...是( )
图 1-1 图 1-2
3.D [解析] 本题考查三视图,意在考查考生对三视图的辨析,以及对三视图的理解
和掌握.是基础题型. 选项 A,B,C,都有可能,选项 D 的正视图应该有看不见的虚线,
故 D 项是不可能的.
[易错点] 本题由于对三视图的不了解,易错选 C,三视图中看不见的棱应该用虚线标
出.
7.G2、G7[2012·课标全国卷] 如图 1-2,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的
是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )
图 1-2
A.6 B.9 C.12 D.18
7.B [解析] 由三视图可知,该几何体是三棱锥,其底面是斜边长为 6 的等腰直角三
角形,有一条长为 3 的侧棱垂直于底面(即三棱锥的高是 3),可知底面等腰直角三角形斜边
上的高为 3,故该几何体的体积是 V=1
3
×1
2
×6×3×3=9,故选 B.
11.G2、G7[2012·浙江卷] 已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图 1-3 所示,则该三
棱锥的体积等于________cm3.
图 1-3
11.1 [解析] 本题考查三棱锥的三视图与体积计算公式,考查
学生对数据的运算处理能力和空间想象能力.由三视图可知,几何体为一个三棱锥,则
V=1
3Sh=1
3
×1
2
×1×3×2=1.
[点评] 正确的识图是解决三视图问题的关键,同时要注意棱长的长度、关系等.
G3 平面的基本性质、空间两条直线
18.G3、G5[2012·陕西卷] (1)如图 1-6 所示,证明命题“a 是平面π内的一条直线,b
是π外的一条直线(b 不垂直于π),c 是直线 b 在π上的投影,若 a⊥b,则 a⊥c”为真;
图 1-6
(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需证明).
18.解:(1)证法一:如下图,过直线 b 上任一点作平面π的垂线 n,设直线 a,b,c,n
的方向向量分别是 a,b,c,n,则 b,c,n 共面.根据平面向量基本定理,存在实数λ,μ
使得 c=λb+μn,则 a·c=a·(λb+μn)=λ(a·b)+μ(a·n),
因为 a⊥b,所以 a·b=0,
又因为 aπ ,n⊥π,所以 a·n=0,
故 a·c =0,从而 a⊥c.
证法二:如图,记 c∩b=A,P 为直线 b 上异于点 A 的任意一点,过 P 作 PO⊥π,垂足
为 O,则 O∈c.
∵PO⊥π,aπ ,∴直线 PO⊥a,
又 a⊥b,b 平面 PAO,PO∩b=P,
∴a⊥平面 PAO,又 c 平面 PAO,∴a⊥c.
(2)逆命题为:a 是平面π内的一条直线,b 是π外的一条直线(b 不垂直于π),c 是直线 b
在π上的投影,若 a⊥c,则 a⊥b.
逆命题为真命题.
G4 空间中的平行关系
18.G4、G7、G11[2012·全国卷] 如图 1-1,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,
PA⊥底面 ABCD,AC=2 2,PA=2,E 是 PC 上的一点,PE=2EC.
(1)证明:PC⊥平面 BED;
(2)设二面角 A-PB-C 为 90°,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小.
图 1-1
18.解:方法一:(1)因为底面 ABCD 为菱形,所以 BD⊥AC,
又 PA⊥底面 ABCD,所以 PC⊥BD.
设 AC∩BD=F,连结 EF.因为 AC=2 2,
PA=2,PE=2EC,故 PC=2 3,EC=2 3
3
,FC= 2,
从而PC
FC
= 6,AC
EC
= 6.
因为PC
FC
=AC
EC
,∠FCE=∠PCA,
所以△FCE∽△PCA,∠FEC=∠PAC=90°,
由此知 PC⊥EF.
PC 与平面 BED 内两条相交直线 BD,EF 都垂直,所以 PC⊥平面 BED.
(2)在平面 PAB 内过点 A 作 AG⊥PB,G 为垂足.
因为二面角 A-PB-C 为 90°,所以平面 PAB⊥平面 PBC.
又平面 PAB∩平面 PBC=PB,
故 AG⊥平面 PBC,AG⊥BC.
BC 与平面 PAB 内两条相交直线 PA,AG 都垂直,故 BC⊥平面 PAB,于是 BC⊥AB,所
以底面 ABCD 为正方形,AD=2,PD= PA2+AD2=2 2.
设 D 到平面 PBC 的距离为 d.因为 AD∥BC,且 AD⊄平面 PBC,BC⊂平面 PBC,故 AD
∥平面 PBC,A、D 两点到平面 PBC 的距离相等,即 d=AG= 2.
设 PD 与平面 PBC 所成的角为α,则 sinα= d
PD
=1
2.
所以 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°.
方法二:(1)以 A 为坐标原点,射线 AC 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标
系 A-xyz.
设 C(2 2,0,0),D( 2,b,0),其中 b>0,则 P(0,0,2),E
4 2
3
,0,2
3 ,B( 2,-b,0).
于是PC→=(2 2,0,-2),
BE→=
2
3
,b,2
3 ,DE→ =
2
3
,-b,2
3 ,
从而PC→·BE→=0,PC→·DE→ =0,
故 PC⊥BE,PC⊥DE.
又 BE∩DE=E,所以 PC⊥平面 BDE.
(2)AP→=(0,0,2),AB→=( 2,-b,0).
设 m=(x,y,z)为平面 PAB 的法向量,
则 m·AP→=0,m·AB→=0,
即 2z=0,且 2x-by=0,
令 x=b,则 m=(b,2,0).
设 n=(p,q,r)为平面 PBC 的法向量,则
n·PC→=0,n·BE→=0,
即 2 2p-2r=0 且 2p
3
+bq+2
3r=0,
令 p=1,则 r= 2,q=- 2
b
,n= 1,- 2
b
, 2 .
因为面 PAB⊥面 PBC,故 m·n=0,即 b-2
b
=0,故 b= 2,于是 n=(1,-1, 2),DP→
=(- 2,- 2,2),
cos〈n,DP→ 〉= n·DP→
|n||DP→ |
=1
2
,〈n,DP→ 〉=60°.
因为 PD 与平面 PBC 所成角和〈n,DP→ 〉互余,故 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°.
18.G4、G5、G11[2012·福建卷] 如图 1-3,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AD
=1,E 为 CD 中点.
(1)求证:B1E⊥AD1;
(2)在棱 AA1 上是否存在一点 P,使得 DP∥平面 B1AE?若存在,求 AP 的长;若不存在,
说明理由;
(3)若二面角 A-B1E-A1 的大小为 30°,求 AB 的长.
图 1-3
18.解:(1)以 A 为原点,AB→,AD→ ,AA1
→ 的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间
直角坐标系(如图).设 AB=a,则 A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E
a
2
,1,0 ,B1(a,0,1),故
AD1=(0,1,1),B1E→ = -a
2
,1,-1 ,AB1
→ =(a,0,1),AE→=
a
2
,1,0 .
∵AD1
→ ·B1E→ =-a
2
×0+1×1+(-1)×1=0,
∴B1E⊥AD1.
(2)假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0,z0),
使得 DP∥平面 B1AE.此时DP→ =(0,-1,z0).
又设平面 B1AE 的法向量 n=(x,y,z).
∵n⊥平面 B1AE,∴n⊥AB1
→ ,n⊥AE→,得
ax+z=0,
ax
2
+y=0.
取 x=1,得平面 B1AE 的一个法向量 n= 1,-a
2
,-a .
要使 DP∥平面 B1AE,只要 n⊥DP→ ,有a
2
-az0=0,解得 z0=1
2.
又 DP⊄平面 B1AE,∴存在点 P,满足 DP∥平面 B1AE,此时 AP=1
2.
(3)连接 A1D,B1C,由长方体 ABCD-A1B1C1D1 及 AA1=AD=1,得 AD1⊥A1D.
∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C.
又由(1)知 B1E⊥AD1,且 B1C∩B1E=B1,
∴AD1⊥平面 DCB1A1.∴AD1
→ 是平面 A1B1E 的一个法向量,此时AD1
→ =(0,1,1).
设AD1
→ 与 n 所成的角为θ,
则 cosθ= n·AD1
→
|n||AD1
→ |
=
-a
2
-a
2 1+a2
4
+a2
.
∵二面角 A-B1E-A1 的大小为 30°,
∴|cosθ|=cos30°,即
3a
2
2 1+5a2
4
= 3
2
,
解得 a=2,即 AB 的长为 2.
16.G4、G5[2012·江苏卷] 如图 1-4,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D,
E 分别是棱 BC,CC1 上的点(点 D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点.
求证:(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1;
(2)直线 A1F∥平面 ADE.
16.证明:(1)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 CC1⊥平面 ABC,
又 AD⊂平面 ABC,所以 CC1⊥AD.
又因为 AD⊥DE,CC1,DE⊂平面 BCC1B1,CC1∩DE=E,
所以 AD⊥平面 BCC1B1.又 AD⊂平面 ADE,
所以平面 ADE⊥平面 BCC1B1.
(2)因为 A1B1=A1C1,F 为 B1C1 的中点,所以 A1F⊥B1C1.
因为 CC1⊥平面 A1B1C1,且 A1F⊂平面 A1B1C1,
所以 CC1⊥A1F.
又因为 CC1,B1C1⊂平面 BCC1B1,CC1∩B1C1=C1,
所以 A1F⊥平面 BCC1B1.
由(1)知 AD⊥平面 BCC1B1,所以 A1F∥AD.
又 AD⊂平面 ADE,A1F⊄平面 ADE,所以 A1F∥平面 ADE.
18.G4、G11[2012·辽宁卷] 如图 1-4,直三棱柱 ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,
AB=AC=λAA′,点 M,N 分别为 A′B 和 B′C′的中点.
(1)证明:MN∥平面 A′ACC′;
(2)若二面角 A′-MN-C 为直二面角,求λ的值.
图 1-4
18.解:(1)(证法一)
连结 AB′,AC′,由已知∠BAC=90°,
AB=AC,三棱柱 ABC-A′B′C′为直三棱柱.
所以 M 为 AB′中点.
又因为 N 为 B′C′的中点.
所以 MN∥AC′.
又 MN⊄平面 A′ACC′,
AC′⊂平面 A′ACC′,
因此 MN∥平面 A′ACC′.
(证法二)
取 A′B′中点 P,连结 MP,NP,
M,N 分别为 AB′与 B′C′的中点,所以 MP∥AA′,PN∥A′C′,
所以 MP∥平面 A′ACC′,PN∥平面 A′ACC′,又 MP∩NP=P,
因此平面 MPN∥平面 A′ACC′,而 MN⊂平面 MPN,
因此 MN∥平面 A′ACC′.
(2)以 A 为坐标原点,分别以直线 AB,AC,AA′为 x 轴,y 轴,z 轴建立直角坐标系 O
-xyz,如图 1-5 所示.
图 1-5
设 AA′=1,则 AB=AC=λ,
于是 A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A′(0,0,1),B′(λ,0,1),C′(0,λ,1).
所以 M
λ
2
,0,1
2 ,N
λ
2
,λ
2
,1 .
设 m=(x1,y1,z1)是平面 A′MN 的法向量,
由
m·A′M→ =0,
m·MN→ =0
得
λ
2x1-1
2z1=0,
λ
2y1+1
2z1=0,
可取 m=(1,-1,λ).
设 n=(x2,y2,z2)是平面 MNC 的法向量,
由
n·NC→ =0,
n·MN→ =0
得
-λ
2x2+λ
2y2-z2=0,
λ
2y2+1
2z2=0.
可取 n=(-3,-1,λ).
因为 A′-MN-C 为直二面角,所以 m·n=0.
即-3+(-1)×(-1)+λ2=0,解得λ= 2.
G5 空间中的垂直关系
19.G5、G6、G10、G11[2012·重庆卷] 如图 1-2,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB
=4,AC=BC=3,D 为 AB 的中点.
(1)求点 C 到平面 A1ABB1 的距离;
(2)若 AB1⊥A1C,求二面角 A1-CD-C1 的平面角的余弦值.
图 1-2
19.解:(1)由 AC=BC,D 为 AB 的中点,得 CD⊥AB.又 CD⊥AA1,故 CD⊥面 A1ABB1,
所以点 C 到平面 A1ABB1 的距离为
CD= BC2-BD2= 5.
(2)解法一:如图,取 D1 为 A1B1 的中点,连结 DD1,则 DD1∥AA1∥CC1.又由(1)知 CD
⊥面 A1ABB1,故 CD⊥A1D,CD⊥DD1,所以∠A1DD1 为所求的二面角 A1-CD-C1 的平面
角.
因 A1D 为 A1C 在面 A1ABB1 上的射影,又已知 AB1⊥A1C,由三垂线定理的逆定理得 AB1
⊥A1D,从而∠A1AB1、∠A1DA 都与∠B1AB 互余,因此∠A1AB1=∠A1DA,所以 Rt△A1AD
∽Rt△B1A1A.因此AA1
AD
=A1B1
AA1
,即 AA21=AD·A1B1=8,得 AA1=2 2.
从而 A1D= AA21+AD2=2 3.
所以,在 Rt△A1DD1 中,
cos∠A1DD1=DD1
A1D
=AA1
A1D
= 6
3 .
解法二:如图,过 D 作 DD1∥AA1 交 A1B1 于点 D1,在直三棱柱中,易知 DB,DC,DD1
两两垂直.以 D 为原点,射线 DB,DC,DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直
角坐标系 D-xyz.
设直三棱柱的高为 h,则 A(-2,0,0),A1(-2,0,h),B1(2,0,h),C(0,5,0),C1(0,5,
h),从而AB1
→ =(4,0,h),A1C→ =(2,5,-h).
由AB1
→ ⊥A1C→ ,有 8-h2=0,h=2 2.
故DA1
→ =(-2,0,2 2),CC1
→ =(0,0,2 2),DC→ =
(0,5,0).
设平面 A1CD 的法向量为 m=(x1,y1,z1),则 m⊥DC→ ,m⊥DA1
→ ,即
5y1=0,
-2x1+2 2z1=0,
取 z1=1,得 m=( 2,0,1),
设平面 C1CD 的法向量为 n=(x2,y2,z2),则 n⊥DC→ ,n⊥CC1
→ ,即
5y2=0,
2 2z2=0,
取 x2=1,得 n=(1,0,0),所以
cos〈m,n〉= m·n
|m||n|
= 2
2+1·1
= 6
3 .
所以二面角 A1-CD-C1 的平面角的余弦值为 6
3 .
20. G5、G7[2012·浙江卷] 如图 1-5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为
2 3的菱形,∠BAD=120°,且 PA⊥平面 ABCD,PA=2 6,M,N 分别为 PB,PD 的中点.
(1)证明:MN∥平面 ABCD;
(2)过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值.
图 1-5
20.解:(1)因为 M,N 分别是 PB,PD 的中点,所以 MN 是△PBD 的中位线,所以 MN
∥BD.
又因为 MN⊄平面 ABCD,所以 MN∥平面 ABCD.
(2)方法一:
连结 AC 交 BD 于 O.以 O 为原点,OC,OD 所在直线为 x,y 轴,建立空间直角坐标系
Oxyz,如图所示.
在菱形 ABCD 中,∠BAD=120°,得
AC=AB=2 3,BD= 3AB=6.
又因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥AC.
在 Rt△PAC 中,AC=2 3,PA=2 6,AQ⊥PC,得 QC=2,PQ=4.
由此知各点坐标如下,
A(- 3,0,0),B(0,-3,0),C( 3,0,0),D(0,3,0),P(- 3,0,2 6),M
- 3
2
,-3
2
, 6 ,
N
- 3
2
,3
2
, 6 ,
Q
3
3
,0,2 6
3 .
设 m=(x,y,z)为平面 AMN 的法向量.
由AM→ =
3
2
,-3
2
, 6 ,AN→=
3
2
,3
2
, 6 知
3
2 x-3
2y+ 6z=0,
3
2 x+3
2y+ 6z=0.
取 z=-1,得
m=(2 2,0,-1).
设 n=(x,y,z)为平面 QMN 的法向量.
由QM→ = -5 3
6
,-3
2
, 6
3 ,QN→ = -5 3
6
,3
2
, 6
3 知
-5 3
6 x-3
2y+ 6
3 z=0,
-5 3
6 x+3
2y+ 6
3 z=0,
取 z=5,得 n=(2 2,0,5).
于是 cos〈m,n〉= m·n
|m|·|n|
= 33
33 .
所以二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值为 33
33 .
方法二:在菱形 ABCD 中,∠BAD=120°,得
AC=AB=BC=CD=DA,BD= 3AB.
又因为 PA⊥平面 ABCD,所以
PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥AD.
所以 PB=PC=PD.
所以△PBC≌△PDC.
而 M,N 分别是 PB,PD 的中点,所以
MQ=NQ,且 AM=1
2PB=1
2PD=AN.
取线段 MN 的中点 E,连结 AE,EQ,则
AE⊥MN,QE⊥MN,
所以∠AEQ 为二面角 A-MN-Q 的平面角.
由 AB=2 3,PA=2 6,故
在△AMN 中,AM=AN=3,MN=1
2BD=3,得
AE=3 3
2 .
在直角△PAC 中,AQ⊥PC,得
AQ=2 2,QC=2,PQ=4.
在△PBC 中,cos∠BPC=PB2+PC2-BC2
2PB·PC
=5
6
,
得 MQ= PM2+PQ2-2PM·PQcos∠BPC= 5.
在等腰△MQN 中,MQ=NQ= 5,MN=3,得
QE= MQ2-ME2= 11
2 .
在△AEQ 中,AE=3 3
2
,QE= 11
2
,AQ=2 2,得
cos∠AEQ=AE2+QE2-AQ2
2AE·QE
= 33
33 .
所以二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值为 33
33 .
17.G5、G11[2012·天津卷] 如图 1-4 所示,在四棱锥 PABCD 中,PA⊥平面 ABCD,
AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(1)证明 PC⊥AD;
(2)求二面角 A-PC-D 的正弦值;
(3)设 E 与棱 PA 上的点,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30°,求 AE 的长.
17.解:方法一:如图所示,以点 A 为原点建立空间直角坐标系,依题意得 A(0,0,0),
D(2,0,0),C(0,1,0),B
-1
2
,1
2
,0 ,P(0,0,2).
(1)易得PC→=(0,1,-2),AD→ =(2,0,0),于是PC→·AD→ =0,所以 PC⊥AD.
(2)PC→=(0,1,-2),CD→ =(2,-1,0).设平面 PCD 的法向量 n=(x,y,z),
则
n·PC→=0,
n·CD→ =0,
即 y-2z=0,
2x-y=0.
不妨令 z=1,
可得 n=(1,2,1).
可取平面 PAC 的法向量 m=(1,0,0).
于是 cos〈m,n〉= m·n
|m|·|n|
= 1
6
= 6
6
,从而 sin〈m,n〉= 30
6 .所以二面角 A-PC-D
的正弦值为 30
6 .
(3)设点 E 的坐标为(0,0,h),其中 h∈[0,2].由此得BE→=
1
2
,-1
2
,h ,由CD→ =(2,-
1,0),故
cos〈BE→,CD→ 〉= BE→·CD→
|BE→||CD→ |
=
3
2
1
2
+h2× 5
= 3
10+20 h2
,
所以, 3
10+20 h2
=cos30°= 3
2
,解得 h= 10
10
,
即 AE= 10
10 .
方法二:(1)由 PA⊥平面 ABCD,可得 PA⊥AD.
又由 AD⊥AC,PA∩AC=A,故 AD⊥平面 PAC,
又 PC⊂平面 PAC,所以 PC⊥AD.
(2)如图所示,作 AH⊥PC 于点 H,连接 DH.
由 PC⊥AD,PC⊥AH,可得 PC⊥平面 ADH,因此 DH⊥PC,从而∠AHD 为二面角 A
-PC-D 的平面角.
在 Rt△PAC 中,PA=2,AC=1,由此得 AH= 2
5
.
由(1)知AD⊥AH.故在Rt△DAH 中,DH= AD2+AH2=2 30
5 .因此sin∠AHD=AD
DH
= 30
6 .
所以二面角 A-PC-D 的正弦值为 30
6 .
(3)如图所示,因为∠ADC<45°,故过点 B 作 CD 的平行线必与线段 AD 相交,设交点
为 F,连接 BE,EF.故∠EBF 或其补角为异面直线 BE 与 CD 所成的角.
由 BF∥CD,故∠AFB=∠ADC.
在 Rt△DAC 中,CD= 5,sin∠ADC= 1
5
,
故 sin∠AFB= 1
5
.
在△AFB 中,由 BF
sin∠FAB
= AB
sin∠AFB
,AB= 1
2
,
sin∠FAB=sin135°= 2
2
,可得 BF= 5
2 .
由余弦定理,BF2=AB2+AF2-2AB·AF·cos∠FAB,可得 AF=1
2.
设 AE=h.
在 Rt△EAF 中,EF= AE2+AF2= h2+1
4.
在 Rt△BAE 中,BE= AE2+AB2= h2+1
2.
在△EBF 中,因为 EF<BE,从而∠EBF=30°,由余弦定理得 cos30°=BE2+BF2-EF2
2BE·BF
,
可解得 h= 10
10 .
所以 AE= 10
10 .
14.G5[2012·四川卷] 如图 1-4 所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱
CD、CC1 的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是________.
图 1-4
14.90° [解析] 因为 ABCD-A1B1C1D1 为正方体,故 A1 在平面 CDD1C1 上的射影为
D1,
即 A1M 在平面 CDD1C1 上的射影为 D1M,
而在正方形 CDD1C1 中,由 tan∠DD1M=tan∠CDN=1
2
,
可知 D1M⊥DN,
由三垂线定理可知,A1M⊥DN.
16.G4、G5[2012·江苏卷] 如图 1-4,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D,
E 分别是棱 BC,CC1 上的点(点 D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点.
求证:(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1;
(2)直线 A1F∥平面 ADE.
16.证明:(1)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 CC1⊥平面 ABC,
又 AD⊂平面 ABC,所以 CC1⊥AD.
又因为 AD⊥DE,CC1,DE⊂平面 BCC1B1,CC1∩DE=E,
所以 AD⊥平面 BCC1B1.又 AD⊂平面 ADE,
所以平面 ADE⊥平面 BCC1B1.
(2)因为 A1B1=A1C1,F 为 B1C1 的中点,所以 A1F⊥B1C1.
因为 CC1⊥平面 A1B1C1,且 A1F⊂平面 A1B1C1,
所以 CC1⊥A1F.
又因为 CC1,B1C1⊂平面 BCC1B1,CC1∩B1C1=C1,
所以 A1F⊥平面 BCC1B1.
由(1)知 AD⊥平面 BCC1B1,所以 A1F∥AD.
又 AD⊂平面 ADE,A1F⊄平面 ADE,所以 A1F∥平面 ADE.
18.G5、G10、G11[2012·湖南卷] 如图 1-6,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,
AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E 是 CD 的中点.
(1)证明:CD⊥平面 PAE;
(2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求四棱锥 P-
ABCD 的体积.
图 1-6
18.解:解法 1:(1)如下图(1),连结 AC.由 AB=4,BC=3,∠ABC=90°得 AC=5.又
AD=5,E 是 CD 的中点,所以 CD⊥AE.因为 PA⊥平面 ABCD,CD⊂平面 ABCD,所以 PA
⊥CD.而 PA,AE 是平面 PAE 内的两条相交直线,所以 CD⊥平面 PAE.
(2)过点 B 作 BG∥CD,分别与 AE、AD 相交于点 F,G,连结 PF.
由(1)CD⊥平面 PAE 知,BG⊥平面 PAE.于是∠BPF 为直线 PB 与平面 PAE 所成的角,
且 BG⊥AE.
由 PA⊥平面 ABCD 知,∠PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角.
由题意∠PBA=∠BPF,因为 sin∠PBA=PA
PB
,sin∠BPF=BF
PB
,所以 PA=BF.
由∠DAB=∠ABC=90°知,AD∥BC,又 BG∥CD,
所以四边形 BCDG 是平行四边形.故 GD=BC=3.
于是 AG=2.
在 Rt△BAG 中,AB=4,AG=2,BG⊥AF,所以
BG= AB2+AG2=2 5,BF=AB2
BG
= 16
2 5
=8 5
5 .
于是 PA=BF=8 5
5 .
又梯形 ABCD 的面积为 S=1
2
×(5+3)×4=16,所以四棱锥 P-ABCD 的体积为 V=
1
3
×S×PA=
1
3
×16×8 5
5
=128 5
15 .
解法 2:如上图(2),以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴
建立空间直角坐标系.设 PA=h,则相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),
E(2,4,0),P(0,0,h).
(1)易知CD→ =(-4,2,0),AE→=(2,4,0),AP→=(0,0,h).
因为CD→ ·AE→=-8+8+0=0,CD→ ·AP→=0,所以 CD⊥AE,CD⊥AP.而 AP,AE 是平面
PAE 内的两条相交直线,所以 CD⊥平面 PAE.
(2)由题设和(1)知,CD→ ,PA→分别是平面 PAE,平面 ABCD 的法向量.而 PB 与平面 PAE
所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,所以|cos〈CD→ ,PB→〉|=|cos〈PA→,PB→〉|,即
| CD→ ·PB→
|CD→ |·|PB→||=| PA→·PB→
|PA→|·|PB→||.
由(1)知,CD→ =(-4,2,0),PA→=(0,0,-h),
又PB→=(4,0,-h),
故| -16+0+0
2 5· 16+h2|=| 0+0+h2
h· 16+h2|.
解得 h=8 5
5 .
又梯形 ABCD 的面积为 S=1
2
×(5+3)×4=16,所以四棱锥 P-ABCD 的体积为 V=
1
3
×S×PA=1
3
×16×8 5
5
=128 5
15 .
18.G5、G11[2012·广东卷] 如图 1-5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩
形,PA⊥平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面 BDE.
(1)证明:BD⊥平面 PAC;
(2)若 PA=1,AD=2,求二面角 B-PC-A 的正切值.
图 1-5
18.证明:(1)
PC⊥平面 BDE
BD⊂平面 BDE
⇒PC⊥BD.
PA⊥平面 ABCD
BD⊂平面 ABCD
⇒PA⊥BD.
∵PA∩PC=P,PA⊂平面 PAC,PC⊂平面 PAC,
∴BD⊥平面 PAC.
(2)法一:如图所示,记 BD 与 AC 的交点为 F,连接 EF.
由 PC⊥平面 BDE,BE⊂平面 BDE,EF⊂平面 BDE,
∴PC⊥BE,PC⊥EF.
即∠BEF 为二面角 B-PC-A 的平面角.
由(1)可得 BD⊥AC,
所以矩形 ABCD 为正方形,AB=AD=2,
AC=BD=2 2,FC=BF= 2.
在 Rt△PAC 中,PA=1,PC= PA2+AC2=3,
即二面角 B-PC-A 的正切值为 3.
法二:以 A 为原点,AB→、AD→ 、AP→的方向分别作为 x、y、z 轴的正方向建立空间直角坐标
系,如图所示.
设 AB=b,则:
A(0,0,0),B(b,0,0),
C(b,2,0),D(0,2,0),
P(0,0,1).
于是PC→=(b,2,-1),DB→ =(b,-2,0).
因为 PC⊥DB,所以PC→·DB→ =b2-4=0,
从而 b=2.结合(1)可得DB→ =(2,-2,0)是平面 APC 的法向量.
现设 n=(x,y,z)是平面 BPC 的法向量,则
n⊥BC→,n⊥PC→,即 n·BC→=0,n·PC→=0.
因为BC→=(0,2,0),PC→=(2,2,-1),
所以 2y=0,2x-z=0.
取 x=1,则 z=2,n=(1,0,2).
令θ=〈n,DB→ 〉,则
cosθ= n·DB→
|n||DB→ |
= 2
5·2 2
= 1
10
,
sinθ= 3
10
,tanθ=3.
由图可得二面角 B-PC-A 的正切值为 3.
16.G5、G7、G9、G10[2012·北京卷] 如图 1-9(1),在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC
=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,且 DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到
△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 1-8(2).
(1)求证:A1C⊥平面 BCDE;
(2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小;
(3)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由.
图 1-9
16.解:(1)证明:因为 AC⊥BC,DE∥BC,
所以 DE⊥AC,
所以 DE⊥A1D,DE⊥CD,
所以 DE⊥平面 A1DC,
所以 DE⊥A1C.
又因为 A1C⊥CD,
所以 A1C⊥平面 BCDE.
(2)如右图,以 C 为坐标原点,建立空间直角坐标系 C-xyz,
则 A1(0,0,2 3),D(0,2,0),M(0,1, 3),B(3,0,0),E(2,2,0).
设平面 A1BE 的法向量为 n=(x,y,z),则
n·A1B→ =0,n·BE→=0.
又A1B→ =(3,0,-2 3),BE→=(-1,2,0),
所以 3x-2 3z=0,
-x+2y=0.
令 y=1,则 x=2,z= 3,
所以 n=(2,1, 3).
设 CM 与平面 A1BE 所成的角为θ,
因为CM→ =(0,1, 3),
所以 sinθ=|cos(n,CM→ )|=| n·CM→
|n||CM||= 4
8× 4
= 2
2 .
所以 CM 与平面 A1BE 所成角的大小为π
4.
(3)线段 BC 上不存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直,理由如下:
假设这样的点 P 存在,设其坐标为(p,0,0),其中 p∈[0,3].
设平面 A1DP 的法向量为 m=(x,y,z),则
m·A1D→ =0,m·DP→ =0.
又A1D→ =(0,2,-2 3),DP→ =(p,-2,0),
所以 2y-2 3z=0,
px-2y=0.
令 x=2,则 y=p,z= p
3
.
所以 m= 2,p, p
3 .
平面 A1DP⊥平面 A1BE,当且仅当 m·n=0,
即 4+p+p=0.
解得 p=-2,与 p∈[0,3]矛盾.
所以线段 BC 上不存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直.
6.A2、G5[2012·安徽卷] 设平面α与平面β相交于直线 m,直线 a 在平面α内,直线 b
在平面β内,且 b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.A [解析] 本题考查线面关系的判断,证明,充要条件的判断.
由题知命题是条件命题为“α⊥β”,命题“a⊥b”为结论命题,当α⊥β时,由线面垂直
的性质定理可得 a⊥b,所以条件具有充分性;但当 a⊥b 时,如果 a∥m,就得不出α⊥β,
所以条件不具有必要性,故条件是结论的充分不必要条件.
18.G4、G5、G11[2012·福建卷] 如图 1-3,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AD
=1,E 为 CD 中点.
(1)求证:B1E⊥AD1;
(2)在棱 AA1 上是否存在一点 P,使得 DP∥平面 B1AE?若存在,求 AP 的长;若不存在,
说明理由;
(3)若二面角 A-B1E-A1 的大小为 30°,求 AB 的长.
图 1-3
18.解:(1)以 A 为原点,AB→,AD→ ,AA1
→ 的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间
直角坐标系(如图).设 AB=a,则 A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E
a
2
,1,0 ,B1(a,0,1),故
AD1=(0,1,1),B1E→ = -a
2
,1,-1 ,AB1
→ =(a,0,1),AE→=
a
2
,1,0 .
∵AD1
→ ·B1E→ =-a
2
×0+1×1+(-1)×1=0,
∴B1E⊥AD1.
(2)假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0,z0),
使得 DP∥平面 B1AE.此时DP→ =(0,-1,z0).
又设平面 B1AE 的法向量 n=(x,y,z).
∵n⊥平面 B1AE,∴n⊥AB1
→ ,n⊥AE→,得
ax+z=0,
ax
2
+y=0.
取 x=1,得平面 B1AE 的一个法向量 n= 1,-a
2
,-a .
要使 DP∥平面 B1AE,只要 n⊥DP→ ,有a
2
-az0=0,解得 z0=1
2.
又 DP⊄平面 B1AE,∴存在点 P,满足 DP∥平面 B1AE,此时 AP=1
2.
(3)连接 A1D,B1C,由长方体 ABCD-A1B1C1D1 及 AA1=AD=1,得 AD1⊥A1D.
∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C.
又由(1)知 B1E⊥AD1,且 B1C∩B1E=B1,
∴AD1⊥平面 DCB1A1.∴AD1
→ 是平面 A1B1E 的一个法向量,此时AD1
→ =(0,1,1).
设AD1
→ 与 n 所成的角为θ,
则 cosθ= n·AD1
→
|n||AD1
→ |
=
-a
2
-a
2 1+a2
4
+a2
.
∵二面角 A-B1E-A1 的大小为 30°,
∴|cosθ|=cos30°,即
3a
2
2 1+5a2
4
= 3
2
,
解得 a=2,即 AB 的长为 2.
18.G5、G10、G11[2012·安徽卷] 平面图形 ABB1A1C1C 如图 1-4(1)所示,其中 BB1C1C
是矩形,BC=2,BB1=4,AB=AC= 2,A1B1=A1C1= 5.
图 1-4
现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠,使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C
垂直,再分别连接 A1A,A1B,A1C,得到如图 1-4(2)所示的空间图形.对此空间图形解答
下列问题.
(1)证明:AA1⊥BC;
(2)求 AA1 的长;
(3)求二面角 A-BC-A1 的余弦值.
18.解:(向量法):(1)证明:取 BC,
B1C1 的中点分别为 D 和 D1,连接 A1D1,DD1,AD.
由 BB1C1C 为矩形知,
DD1⊥B1C1,
因为平面 BB1C1C⊥平面 A1B1C1,
所以 DD1⊥平面 A1B1C1,
又由 A1B1=A1C1 知,
A1D1⊥B1C1.
故以 D1 为坐标原点,可建立如图所示的空间直角坐标系 D1-xyz.
由题设,可得 A1D1=2,AD=1.
由以上可知 AD⊥平面 BB1C1C,A1D1⊥平面 BB1C1C,于是 AD∥A1D1.
所以 A(0,-1,4),B(1,0,4),A1(0,2,0),C(-1,0,4),D(0,0,4).
故AA1
→ =(0,3,-4),BC→=(-2,0,0),AA1
→ ·BC→=0,
因此AA1
→ ⊥BC→,即 AA1⊥BC.
(2)因为AA1
→ =(0,3,-4),
所以|AA1
→ |=5,即 AA1=5.
(3)连接 A1D,由 BC⊥AD,BC⊥AA1,可知 BC⊥平面 A1AD,BC⊥A1D,所以∠ADA1
为二面角 A-BC-A1 的平面角.
因为DA→ =(0,-1,0),DA1
→ =(0,2,-4),所以
cos〈DA→ ,DA1
→ 〉=- 2
1× 22+-42
=- 5
5 .
即二面角 A-BC-A1 的余弦值为- 5
5 .
(综合法)(1)证明:取 BC,B1C1 的中点分别为 D 和 D1,连接 A1D1,DD1,AD,A1D.
由条件可知,BC⊥AD,B1C1⊥A1D1,
由上可得 AD⊥面 BB1C1C,A1D1⊥面 BB1C1C.
因此 AD∥A1D1,即 AD,A1D1 确定平面 AD1A1D.
又因为 DD1∥BB1,BB1⊥BC,所以 DD1⊥BC.
又考虑到 AD⊥BC,所以 BC⊥平面 AD1A1D,
故 BC⊥AA1.
(2)延长 A1D1 到 G 点,使 GD1=AD,连接 AG.
因为 AD 綊 GD1,所以 AG 綊 DD1 綊 BB1.
由于 BB1⊥平面 A1B1C1,所以 AG⊥A1G.
由条件可知,A1G=A1D1+D1G=3,AG=4,
所以 AA1=5.
(3)因为 BC⊥平面 AD1A1D,所以∠ADA1 为二面角 A-BC-A1 的平面角.
在 Rt△A1DD1 中,DD1=4,A1D1=2,解得
sin∠D1DA1= 5
5
,
cos∠ADA1=cos
π
2
+∠D1DA1 =- 5
5 .
即二面角 A-BC-A1 的余弦值为- 5
5 .
19.G5、G11[2012·课标全国卷] 如图 1-5,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC=1
2AA1,
D 是棱 AA1 的中点,DC1⊥BD.
(1)证明:DC1⊥BC;
(2)求二面角 A1-BD-C1 的大小.
图 1-5
19.解:(1)证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形.
由于 D 为 AA1 的中点,故 DC=DC1.
又 AC=1
2AA1,可得 DC21+DC2=CC21,
所以 DC1⊥DC.
而 DC1⊥BD,DC∩BD=D,所以 DC1⊥平面 BCD.
BC⊂平面 BCD,故 DC1⊥BC.
(2)由(1)知 BC⊥DC1,且 BC⊥CC1,则 BC⊥平面 ACC1,所以 CA,CB,CC1 两两相互
垂直.
以 C 为坐标原点,CA→ 的方向为 x 轴的正方向,|CA→ |为单位长,建立如图所示的空间直
角坐标系 C-xyz.
由题意知 A1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2).
则A1D→ =(0,0,-1),BD→ =(1,-1,1),DC1
→ =(-1,0,1).
设 n=(x,y,z)是平面 A1B1BD 的法向量,则
n·BD→ =0,
n·A1D→ =0,
即 x-y+z=0,
z=0.
可取 n=(1,1,0).
同理,设 m 是平面 C1BD 的法向量,则
m·BD→ =0,
m·DC1
→ =0.
可得 m=(1,2,1).
从而 cos〈n,m〉= n·m
|n|·|m|
= 3
2 .
故二面角 A1-BD-C1 的大小为 30°.
18.G5、G11[2012·山东卷] 在如图 1-5 所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形,
AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面 ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF.
(1)求证:BD⊥平面 AED;
(2)求二面角 F-BD-C 的余弦值.
图 1-5
18.解:(1)证明:因为四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,
所以∠ADC=∠BCD=120°.
又 CB=CD,
所以∠CDB=30°,
因此∠ADB=90°,AD⊥BD,
又 AE⊥BD,
且 AE∩AD=A,AE,AD⊂平面 AED,
所以 BD⊥平面 AED.
(2)解法一:
取 BD 的中点 G,连接 CG,FG,
由于 CB=CD,因此 CG⊥BD,
又 FC⊥平面 ABCD,BD⊂平面 ABCD,
所以 FC⊥BD,
由于 FC∩CG=C,FC,CG⊂平面 FCG,
所以 BD⊥平面 FCG,
故 BD⊥FG,
所以∠FGC 为二面角 F-BD-C 的平面角.
在等腰三角形 BCD 中,由于∠BCD=120°,
因此 CG=1
2CB.
又 CB=CF,
所以 GF= CG2+CF2= 5CG,
故 cos∠FGC= 5
5
,
因此二面角 F-BD-C 的余弦值为 5
5 .
解法二:
由(1)知 AD⊥BD,所以 AC⊥BC.
又 FC⊥平面 ABCD,
因此 CA,CB,CF 两两垂直,
以 C 为坐标原点,分别以 CA,CB,CF
所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
不妨设 CB=1.
则 C(0,0,0),B(0,1,0),D
3
2
,-1
2
,0 ,F(0,0,1).
因此BD→ =
3
2
,-3
2
,0 ,BF→=(0,-1,1).
设平面 BDF 的一个法向量为 m=(x,y,z),
则 m·BD→ =0,m·BF→=0,
所以 x= 3y= 3z,
取 z=1,则 m=( 3,1,1).
由于CF→=(0,0,1)是平面 BDC 的一个法向量,
则 cos〈m,CF→〉= m·CF→
|m||CF→|
= 1
5
= 5
5
,
所以二面角 F-BD-C 的余弦值为 5
5 .
18.G3、G5[2012·陕西卷] (1)如图 1-6 所示,证明命题“a 是平面π内的一条直线,b
是π外的一条直线(b 不垂直于π),c 是直线 b 在π上的投影,若 a⊥b,则 a⊥c”为真;
图 1-6
(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需证明).
18.解:(1)证法一:如下图,过直线 b 上任一点作平面π的垂线 n,设直线 a,b,c,n
的方向向量分别是 a,b,c,n,则 b,c,n 共面.根据平面向量基本定理,存在实数λ,μ
使得 c=λb+μn,则 a·c=a·(λb+μn)=λ(a·b)+μ(a·n),
因为 a⊥b,所以 a·b=0,
又因为 aπ ,n⊥π,所以 a·n=0,
故 a·c =0,从而 a⊥c.
证法二:如图,记 c∩b=A,P 为直线 b 上异于点 A 的任意一点,过 P 作 PO⊥π,垂足
为 O,则 O∈c.
∵PO⊥π,aπ ,∴直线 PO⊥a,
又 a⊥b,b 平面 PAO,PO∩b=P,
∴a⊥平面 PAO,又 c 平面 PAO,∴a⊥c.
(2)逆命题为:a 是平面π内的一条直线,b 是π外的一条直线(b 不垂直于π),c 是直线 b
在π上的投影,若 a⊥c,则 a⊥b.
逆命题为真命题.
10.G5、G7[2012·浙江卷] 已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2.将△ABD 沿矩形的对角
线 BD 所在的直线进行翻折,在翻折过程中,( )
A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直
B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直
C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直
D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直
10.B [解析] 本题主要考查空间几何体的判定与分析问题.考查空间想象能力和动手
操作能力.
对于 AB⊥CD,因为 BC⊥CD,由线面垂直的判定可得 CD⊥平面 ACB,则有 CD⊥AC,
而 AB=CD=1,BC=AD= 2,可得 AC=1,那么存在 AC 这样的位置,使得 AB⊥CD 成立,
故应选 B.
[点评] 解决折叠问题时,可以先通过实际操作,找到可行性后再加以合理判断与分
析.实际解决此类问题时可以通过草稿纸加以折叠分析后直接判断.
G6 三垂线定理
19.G5、G6、G10、G11[2012·重庆卷] 如图 1-2,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB
=4,AC=BC=3,D 为 AB 的中点.
(1)求点 C 到平面 A1ABB1 的距离;
(2)若 AB1⊥A1C,求二面角 A1-CD-C1 的平面角的余弦值.
图 1-2
19.解:(1)由 AC=BC,D 为 AB 的中点,得 CD⊥AB.又 CD⊥AA1,故 CD⊥面 A1ABB1,
所以点 C 到平面 A1ABB1 的距离为
CD= BC2-BD2= 5.
(2)解法一:如图,取 D1 为 A1B1 的中点,连结 DD1,则 DD1∥AA1∥CC1.又由(1)知 CD
⊥面 A1ABB1,故 CD⊥A1D,CD⊥DD1,所以∠A1DD1 为所求的二面角 A1-CD-C1 的平面
角.
因 A1D 为 A1C 在面 A1ABB1 上的射影,又已知 AB1⊥A1C,由三垂线定理的逆定理得 AB1
⊥A1D,从而∠A1AB1、∠A1DA 都与∠B1AB 互余,因此∠A1AB1=∠A1DA,所以 Rt△A1AD
∽Rt△B1A1A.因此AA1
AD
=A1B1
AA1
,即 AA21=AD·A1B1=8,得 AA1=2 2.
从而 A1D= AA21+AD2=2 3.
所以,在 Rt△A1DD1 中,
cos∠A1DD1=DD1
A1D
=AA1
A1D
= 6
3 .
解法二:如图,过 D 作 DD1∥AA1 交 A1B1 于点 D1,在直三棱柱中,易知 DB,DC,DD1
两两垂直.以 D 为原点,射线 DB,DC,DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直
角坐标系 D-xyz.
设直三棱柱的高为 h,则 A(-2,0,0),A1(-2,0,h),B1(2,0,h),C(0,5,0),C1(0,5,
h),从而AB1
→ =(4,0,h),A1C→ =(2,5,-h).
由AB1
→ ⊥A1C→ ,有 8-h2=0,h=2 2.
故DA1
→ =(-2,0,2 2),CC1
→ =(0,0,2 2),DC→ =
(0,5,0).
设平面 A1CD 的法向量为 m=(x1,y1,z1),则 m⊥DC→ ,m⊥DA1
→ ,即
5y1=0,
-2x1+2 2z1=0,
取 z1=1,得 m=( 2,0,1),
设平面 C1CD 的法向量为 n=(x2,y2,z2),则 n⊥DC→ ,n⊥CC1
→ ,即
5y2=0,
2 2z2=0,
取 x2=1,得 n=(1,0,0),所以
cos〈m,n〉= m·n
|m||n|
= 2
2+1·1
= 6
3 .
所以二面角 A1-CD-C1 的平面角的余弦值为 6
3 .
G7 棱柱与棱锥
14.G7[2012·上海卷] 如图 1-2 所示,AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱,BC
=2,若 AD=2c,且 AB+BD=AC+CD=2a,其中 a、c 为常数,则四面体 ABCD 的体积的
最大值是________.
图 1-2
14.2
3c a2-c2-1 [解析] 以空间四面体为载体,考查几何体的体积和代数式的最值问
题,以及转化思想,解此题的关键是求出侧面三角形 ABD 的高的最大值.
作 BE 垂直 AD 于 E,连接 CE,则 CE 也垂直 AD,且 BE=CE,所以四面体 ABCD 的
体积
V=1
3S△BCE·AD=2
3c BE2-1,在三角形 ABD 中,AB+BD=2a,AD=2c,所以 AD 边上
的高 BE 等于以 AD 为焦点,长轴为 2a 的椭圆上的点到 x 轴的距离,其最大值刚好在点在短
轴端点的时候得到,即 BE≤ a2-c2,所以 V=2
3c BE2-1≤2
3c a2-c2-1.
8.G7[2012·上海卷] 若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π的半圆面,则该圆锥的体积
为________.
8. 3
3 π [解析] 考查扇形的弧长和面积公式,以及圆锥的体积公式,关键是求出圆锥的
半径和高.
由已知可得圆锥的母线长 l=2,底面圆的周长 2πr=πl=2π,所以底面半径 r=1,由此
得圆锥的高 h= l2-r2= 3,由圆锥的体积公式得 V=1
3πr2h= 3
3 π.
14.G7[2012·山东卷] 如图 1-3 所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分
别为线段 AA1,B1C 上的点,则三棱锥 D1-EDF 的体积为________.
图 1-3
14.1
6 [解析] 本题考查棱锥的体积公式,考查空间想象力与转化能力,中档题.
VD1-EDF=VF-DD1E=1
3
×1
2
×1×1×1=1
6.
11.G7[2012·课标全国卷] 已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC
是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为( )
A. 2
6 B. 3
6
C. 2
3 D. 2
2
11.A [解析] 设三角形 ABC 的中心为 M,球心为 O,则 OM⊥平面 ABC,且 OM=
1-
3
3 2= 6
3 .所以此棱锥的高 h=2OM=2 6
3 .所以此棱锥的体积 V=1
3
×1
2
×1× 3
2
×2 6
3
= 2
6 .故选 A.
7.G7[2012·江苏卷] 如图 1-2,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=3 cm,AA1
=2 cm,则四棱锥 A-BB1D1D 的体积为________cm3.
图 1-2
7.6 [解析] 本题考查四棱锥体积的求解以及对长方体性质的运用.
解题突破口为寻找四棱锥的高.
连 AC 交 BD 于点 O,因四边形 ABCD 为正方形,故 AO 为四棱锥 A-BB1D1D 的高,从
而 V=1
3
×2×3 2×3 2
2
=6.
11.G2、G7[2012·浙江卷] 已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图 1-3 所示,则该三
棱锥的体积等于________cm3.
图 1-3
11.1 [解析] 本题考查三棱锥的三视图与体积计算公式,考查
学生对数据的运算处理能力和空间想象能力.由三视图可知,几何体为一个三棱锥,则
V=1
3Sh=1
3
×1
2
×1×3×2=1.
[点评] 正确的识图是解决三视图问题的关键,同时要注意棱长的长度、关系等.
20. G5、G7[2012·浙江卷] 如图 1-5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为
2 3的菱形,∠BAD=120°,且 PA⊥平面 ABCD,PA=2 6,M,N 分别为 PB,PD 的中点.
(1)证明:MN∥平面 ABCD;
(2)过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值.
图 1-5
20.解:(1)因为 M,N 分别是 PB,PD 的中点,所以 MN 是△PBD 的中位线,所以 MN
∥BD.
又因为 MN⊄平面 ABCD,所以 MN∥平面 ABCD.
(2)方法一:
连结 AC 交 BD 于 O.以 O 为原点,OC,OD 所在直线为 x,y 轴,建立空间直角坐标系
Oxyz,如图所示.
在菱形 ABCD 中,∠BAD=120°,得
AC=AB=2 3,BD= 3AB=6.
又因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥AC.
在 Rt△PAC 中,AC=2 3,PA=2 6,AQ⊥PC,得 QC=2,PQ=4.
由此知各点坐标如下,
A(- 3,0,0),B(0,-3,0),C( 3,0,0),D(0,3,0),P(- 3,0,2 6),M
- 3
2
,-3
2
, 6 ,
N
- 3
2
,3
2
, 6 ,
Q
3
3
,0,2 6
3 .
设 m=(x,y,z)为平面 AMN 的法向量.
由AM→ =
3
2
,-3
2
, 6 ,AN→=
3
2
,3
2
, 6 知
3
2 x-3
2y+ 6z=0,
3
2 x+3
2y+ 6z=0.
取 z=-1,得
m=(2 2,0,-1).
设 n=(x,y,z)为平面 QMN 的法向量.
由QM→ = -5 3
6
,-3
2
, 6
3 ,QN→ = -5 3
6
,3
2
, 6
3 知
-5 3
6 x-3
2y+ 6
3 z=0,
-5 3
6 x+3
2y+ 6
3 z=0,
取 z=5,得 n=(2 2,0,5).
于是 cos〈m,n〉= m·n
|m|·|n|
= 33
33 .
所以二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值为 33
33 .
方法二:在菱形 ABCD 中,∠BAD=120°,得
AC=AB=BC=CD=DA,BD= 3AB.
又因为 PA⊥平面 ABCD,所以
PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥AD.
所以 PB=PC=PD.
所以△PBC≌△PDC.
而 M,N 分别是 PB,PD 的中点,所以
MQ=NQ,且 AM=1
2PB=1
2PD=AN.
取线段 MN 的中点 E,连结 AE,EQ,则
AE⊥MN,QE⊥MN,
所以∠AEQ 为二面角 A-MN-Q 的平面角.
由 AB=2 3,PA=2 6,故
在△AMN 中,AM=AN=3,MN=1
2BD=3,得
AE=3 3
2 .
在直角△PAC 中,AQ⊥PC,得
AQ=2 2,QC=2,PQ=4.
在△PBC 中,cos∠BPC=PB2+PC2-BC2
2PB·PC
=5
6
,
得 MQ= PM2+PQ2-2PM·PQcos∠BPC= 5.
在等腰△MQN 中,MQ=NQ= 5,MN=3,得
QE= MQ2-ME2= 11
2 .
在△AEQ 中,AE=3 3
2
,QE= 11
2
,AQ=2 2,得
cos∠AEQ=AE2+QE2-AQ2
2AE·QE
= 33
33 .
所以二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值为 33
33 .
10.G5、G7[2012·浙江卷] 已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2.将△ABD 沿矩形的对角
线 BD 所在的直线进行翻折,在翻折过程中,( )
A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直
B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直
C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直
D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直
10.B [解析] 本题主要考查空间几何体的判定与分析问题.考查空间想象能力和动手
操作能力.
对于 AB⊥CD,因为 BC⊥CD,由线面垂直的判定可得 CD⊥平面 ACB,则有 CD⊥AC,
而 AB=CD=1,BC=AD= 2,可得 AC=1,那么存在 AC 这样的位置,使得 AB⊥CD 成立,
故应选 B.
[点评] 解决折叠问题时,可以先通过实际操作,找到可行性后再加以合理判断与分
析.实际解决此类问题时可以通过草稿纸加以折叠分析后直接判断.
19.G7、G11[2012·上海卷] 如图 1-3 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩
形,PA⊥底面 ABCD.E 是 PC 的中点,已知 AB=2,AD=2 2,PA=2,求:
(1)三角形 PCD 的面积;
(2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.
图 1-3
19.解:(1)因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD.
又 AD⊥CD,所以 CD⊥平面 PAD.
从而 CD⊥PD.
因为 PD= 22+2 22=2 3,CD=2.
所以三角形 PCD 的面积为1
2
×2×2 3=2 3.
(2)解法一:如图所示,建立空间直角坐标系,则 B(2,0,0),C(2,2 2,0),E(1,2,1).
AE→=(1,2,1),BC→=(0,2 2,0),
设AE→与BC→的夹角为θ,则
cosθ= AE→·BC→
|AE→||BC→|
= 4
2×2 2
= 2
2
,
∴θ=π
4.
由此知,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是π
4.
解法二:取 PB 中点 F,连接 EF、AF,则 EF∥BC,从而∠AEF(或其补角)是异面直线
BC 与 AE 所成的角.
在△AEF 中,由 EF= 2、AF= 2、AE=2 知△AEF 是等腰直角三角形,
所以∠AEF=π
4.
因此,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是π
4.
16.G5、G7、G9、G10[2012·北京卷] 如图 1-9(1),在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC
=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,且 DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到
△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 1-8(2).
(1)求证:A1C⊥平面 BCDE;
(2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小;
(3)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由.
图 1-9
16.解:(1)证明:因为 AC⊥BC,DE∥BC,
所以 DE⊥AC,
所以 DE⊥A1D,DE⊥CD,
所以 DE⊥平面 A1DC,
所以 DE⊥A1C.
又因为 A1C⊥CD,
所以 A1C⊥平面 BCDE.
(2)如右图,以 C 为坐标原点,建立空间直角坐标系 C-xyz,
则 A1(0,0,2 3),D(0,2,0),M(0,1, 3),B(3,0,0),E(2,2,0).
设平面 A1BE 的法向量为 n=(x,y,z),则
n·A1B→ =0,n·BE→=0.
又A1B→ =(3,0,-2 3),BE→=(-1,2,0),
所以 3x-2 3z=0,
-x+2y=0.
令 y=1,则 x=2,z= 3,
所以 n=(2,1, 3).
设 CM 与平面 A1BE 所成的角为θ,
因为CM→ =(0,1, 3),
所以 sinθ=|cos(n,CM→ )|=| n·CM→
|n||CM||= 4
8× 4
= 2
2 .
所以 CM 与平面 A1BE 所成角的大小为π
4.
(3)线段 BC 上不存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直,理由如下:
假设这样的点 P 存在,设其坐标为(p,0,0),其中 p∈[0,3].
设平面 A1DP 的法向量为 m=(x,y,z),则
m·A1D→ =0,m·DP→ =0.
又A1D→ =(0,2,-2 3),DP→ =(p,-2,0),
所以 2y-2 3z=0,
px-2y=0.
令 x=2,则 y=p,z= p
3
.
所以 m= 2,p, p
3 .
平面 A1DP⊥平面 A1BE,当且仅当 m·n=0,
即 4+p+p=0.
解得 p=-2,与 p∈[0,3]矛盾.
所以线段 BC 上不存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直.
12.G2、G7[2012·安徽卷] 某几何体的三视图如图 1-3 所示,该几何体的表面积是
________.
图 1-3
12.92 [解析] 本题考查三视图的识别,四棱柱等空间几何体的表面积.
如图根据三视图还原的实物图为底面是直角梯形的直四棱柱,其表面积为
S=1
2
×(2+5)×4×2+4×2+5×4+4×4+5×4=92.
7.G2、G7[2012·北京卷] 某三棱锥的三视图如图 1-4 所示,该三棱锥的表面积是( )
图 1-4
A.28+6 5 B.30+6 5
C.56+12 5 D.60+12 5
7.B [解析] 本题考查的三棱锥的三视图与表面积公式.由三视图可知,几何体为一
个侧面和底面垂直的三棱锥,如图所示,可知 S 底面=1
2
×5×4=10,
S 后=1
2
×5×4=10,
S 左=1
2
×6×2 5=6 5,
S 右=1
2
×4×5=10,
所以 S 表=10×3+6 5=30+6 5.
18.G4、G7、G11[2012·全国卷] 如图 1-1,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,
PA⊥底面 ABCD,AC=2 2,PA=2,E 是 PC 上的一点,PE=2EC.
(1)证明:PC⊥平面 BED;
(2)设二面角 A-PB-C 为 90°,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小.
图 1-1
18.解:方法一:(1)因为底面 ABCD 为菱形,所以 BD⊥AC,
又 PA⊥底面 ABCD,所以 PC⊥BD.
设 AC∩BD=F,连结 EF.因为 AC=2 2,
PA=2,PE=2EC,故 PC=2 3,EC=2 3
3
,FC= 2,
从而PC
FC
= 6,AC
EC
= 6.
因为PC
FC
=AC
EC
,∠FCE=∠PCA,
所以△FCE∽△PCA,∠FEC=∠PAC=90°,
由此知 PC⊥EF.
PC 与平面 BED 内两条相交直线 BD,EF 都垂直,所以 PC⊥平面 BED.
(2)在平面 PAB 内过点 A 作 AG⊥PB,G 为垂足.
因为二面角 A-PB-C 为 90°,所以平面 PAB⊥平面 PBC.
又平面 PAB∩平面 PBC=PB,
故 AG⊥平面 PBC,AG⊥BC.
BC 与平面 PAB 内两条相交直线 PA,AG 都垂直,故 BC⊥平面 PAB,于是 BC⊥AB,所
以底面 ABCD 为正方形,AD=2,PD= PA2+AD2=2 2.
设 D 到平面 PBC 的距离为 d.因为 AD∥BC,且 AD⊄平面 PBC,BC⊂平面 PBC,故 AD
∥平面 PBC,A、D 两点到平面 PBC 的距离相等,即 d=AG= 2.
设 PD 与平面 PBC 所成的角为α,则 sinα= d
PD
=1
2.
所以 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°.
方法二:(1)以 A 为坐标原点,射线 AC 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标
系 A-xyz.
设 C(2 2,0,0),D( 2,b,0),其中 b>0,则 P(0,0,2),E
4 2
3
,0,2
3 ,B( 2,-b,0).
于是PC→=(2 2,0,-2),
BE→=
2
3
,b,2
3 ,DE→ =
2
3
,-b,2
3 ,
从而PC→·BE→=0,PC→·DE→ =0,
故 PC⊥BE,PC⊥DE.
又 BE∩DE=E,所以 PC⊥平面 BDE.
(2)AP→=(0,0,2),AB→=( 2,-b,0).
设 m=(x,y,z)为平面 PAB 的法向量,
则 m·AP→=0,m·AB→=0,
即 2z=0,且 2x-by=0,
令 x=b,则 m=(b,2,0).
设 n=(p,q,r)为平面 PBC 的法向量,则
n·PC→=0,n·BE→=0,
即 2 2p-2r=0 且 2p
3
+bq+2
3r=0,
令 p=1,则 r= 2,q=- 2
b
,n= 1,- 2
b
, 2 .
因为面 PAB⊥面 PBC,故 m·n=0,即 b-2
b
=0,故 b= 2,于是 n=(1,-1, 2),DP→
=(- 2,- 2,2),
cos〈n,DP→ 〉= n·DP→
|n||DP→ |
=1
2
,〈n,DP→ 〉=60°.
因为 PD 与平面 PBC 所成角和〈n,DP→ 〉互余,故 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°.
19.B12、G7、G11[2012·湖北卷] 如图 1-7 所示,∠ACB=45°,BC=3,过动点 A 作
AD⊥BC,垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B,连结 AB,沿 AD 将△ABD 折起,使∠BDC=90°(如
图 1-8).
(1)当 BD 的长为多少时,三棱锥 A-BCD 的体积最大?
(2)当三棱锥 A-BCD 的体积最大时,设点 E,M 分别为棱 BC,AC 的中点,试在棱 CD
上确定一点 N,使得 EN⊥BM,并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小.
图 1-7 图 1-8
19.解:(1)方法 1:在题图所示的△ABC 中,设 BD=x(0<x<3),则 CD=3-x.
由 AD⊥BC,∠ACB=45°知,△ADC 为等腰直角三角形,所以 AD=CD=3-x.
由折起前 AD⊥BC 知,折起后,AD⊥DC,AD⊥BD,且 BD∩DC=D,所以 AD⊥平面
BCD.
又∠BDC=90°,所以 S△BCD=1
2BD·CD=1
2x(3-x).
于 是 VA - BCD = 1
3 AD·S △ BCD = 1
3 (3 - x)· 1
2 x(3 - x) = 1
12 ·2x(3 - x)(3 -
x)≤ 1
12
2x+3-x+3-x
3 3=2
3.
当且仅当 2x=3-x,即 x=1 时,等号成立,
故当 x=1,即 BD=1 时,三棱锥 A-BCD 的体积最大.
方法 2:同方法 1,得 VA-BCD=1
3AD·S△BCD=1
3(3-x)·1
2x(3-x)=1
6(x3-6x2+9x).
令 f(x)=1
6(x3-6x2+9x),由 f′(x)=1
2(x-1)(x-3)=0,且 0<x<3,解得 x=1.
当 x∈(0,1)时,f′(x)>0,当 x∈(1,3)时,f′(x)<0,所以当 x=1 时,f(x)取得最大值.
故当 BD=1 时,三棱锥 A-BCD 的体积最大.
(2)方法 1:以点 D 为原点,建立如图(a)所示的空间直角坐标系 D-xyz.
由(1)知,当三棱锥 A-BCD 的体积最大时,BD=1,AD=DC=2.
于是可得 D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),M(0,1,1),E
1
2
,1,0 ,且BM→ =(-1,1,1).
设 N(0,λ,0),则EN→= -1
2
,λ-1,0 .
因为 EN⊥BM 等价于EN→·BM→ =0,
即 -1
2
,λ-1,0 ·(-1,1,1)=1
2
+λ-1=0,故λ=1
2
,N 0,1
2
,0 .
所以当 DN=1
2(即 N 是 CD 的靠近点 D 的一个四等分点)时,EN⊥BM.
设平面 BMN 的一个法向量为 n=(x,y,z),由
n⊥BN→,
n⊥BM→ ,
及BN→= -1,1
2
,0 ,
得 y=2x,
z=-x.
可取 n=(1,2,-1).
设 EN 与平面 BMN 所成角的大小为θ,
则由EN→= -1
2
,-1
2
,0 ,n=(1,2,-1),可得
sinθ=cos(90°-θ)=| n·EN→
|n|·|EN→||=
|-1
2
-1|
6× 2
2
= 3
2
,即θ=60°.
故 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60°.
方法 2:由(1)知,当三棱锥 A-BCD 的体积最大时,BD=1,AD=CD=2.
如图(b),取 CD 的中点 F,连结 MF,BF,EF,则 MF∥AD.
由(1)知 AD⊥平面 BCD,所以 MF⊥平面 BCD.
如图(c),延长 FE 至 P 点使得 FP=DB,连 BP,DP,则四边形 DBPF 为正方形,
所以 DP⊥BF.取 DF 的中点 N,连结 EN,又 E 为 FP 的中点,则 EN∥DP,
所以 EN⊥BF,因为 MF⊥平面 BCD,又 EN⊂平面 BCD,所以 MF⊥EN.
又 MF∩BF=F,所以 EN⊥面 BMF,又 BM⊂面 BMF,所以 EN⊥BM.
因为 EN⊥BM 当且仅当 EN⊥BF,而点 F 是唯一的,所以点 N 是唯一的.
即当 DN=1
2(即 N 是 CD 的靠近点 D 的一个四等分点),EN⊥BM.
连结 MN,ME,由计算得 NB=NM=EB=EM= 5
2
,
所以△NMB 与△EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形.
如图(d)所示,取 BM 的中点 G.连结 EG,NG,
则 BM⊥平面 EGN,在平面 EGN 中,过点 E 作 EH⊥GN 于 H,
则 EH⊥平面 BMN.故∠ENH 是 EN 与平面 BMN 所成的角.
在△EGN 中,易得 EG=GN=NE= 2
2
,所以△EGN 是正三角形,
故∠ENH=60°,即 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60°.
7.G2、G7[2012·课标全国卷] 如图 1-2,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的
是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )
图 1-2
A.6 B.9 C.12 D.18
7.B [解析] 由三视图可知,该几何体是三棱锥,其底面是斜边长为 6 的等腰直角三
角形,有一条长为 3 的侧棱垂直于底面(即三棱锥的高是 3),可知底面等腰直角三角形斜边
上的高为 3,故该几何体的体积是 V=1
3
×1
2
×6×3×3=9,故选 B.
G8 多面体与球
16.G8[2012·辽宁卷] 已知正三棱锥 P-ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3的球面上.若
PA,PB,PC 两两相互垂直,则球心到截面 ABC 的距离为________.
16. 3
3 [解析] 本小题主要考查球的概念与性质.解题的突破口为解决好点 P 到截面
ABC 的距离.
由已知条件可知,以 PA,PB,PC 为棱可以补充成球的内接正方体,故而 PA2+PB2+
PC2=(2R)2, 由已知 PA=PB=PC, 得到 PA=PB=PC=2, 因为 VP-ABC=VA-PBC⇒1
3h·S△ABC=
1
3PA·S△PBC, 得到 h=2
3 3,故而球心到截面 ABC 的距离为 R-h= 3
3 .
10.G8[2012·湖北卷] 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,
以十六乘之,九而一.所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体
积 V,求其直径 d 的一个近似公式 d≈3 16
9 V.人们还用过一些类似的近似公式.根据π=
3.14159…判断,下列近似公式中最精确的一个是( )
A.d≈3 16
9 V B.d≈3 2V
C.d≈3 300
157V D.d≈3 21
11V
10.D [解析] 设球的直径为 d,则球的体积为 V=4
3π
d
2 3,所以 d=3 6
πV≈3 1.909 9V.A
项 中 , d≈ 3 16
9 V ≈ 3 1.78V ; C 项 中 , d≈ 3 300
157V ≈ 3 1.910 8V ; D 项 中 ,
d≈3 21
11V≈3 1.909 0V;比较各选项可知, D 项中的 d 与 d=3 6
πV≈3 1.909 9V最接近,故
选 D.
G9 空间向量及运算
16.G5、G7、G9、G10[2012·北京卷] 如图 1-9(1),在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC
=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,且 DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到
△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 1-8(2).
(1)求证:A1C⊥平面 BCDE;
(2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小;
(3)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由.
图 1-9
16.解:(1)证明:因为 AC⊥BC,DE∥BC,
所以 DE⊥AC,
所以 DE⊥A1D,DE⊥CD,
所以 DE⊥平面 A1DC,
所以 DE⊥A1C.
又因为 A1C⊥CD,
所以 A1C⊥平面 BCDE.
(2)如右图,以 C 为坐标原点,建立空间直角坐标系 C-xyz,
则 A1(0,0,2 3),D(0,2,0),M(0,1, 3),B(3,0,0),E(2,2,0).
设平面 A1BE 的法向量为 n=(x,y,z),则
n·A1B→ =0,n·BE→=0.
又A1B→ =(3,0,-2 3),BE→=(-1,2,0),
所以 3x-2 3z=0,
-x+2y=0.
令 y=1,则 x=2,z= 3,
所以 n=(2,1, 3).
设 CM 与平面 A1BE 所成的角为θ,
因为CM→ =(0,1, 3),
所以 sinθ=|cos(n,CM→ )|=| n·CM→
|n||CM||= 4
8× 4
= 2
2 .
所以 CM 与平面 A1BE 所成角的大小为π
4.
(3)线段 BC 上不存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直,理由如下:
假设这样的点 P 存在,设其坐标为(p,0,0),其中 p∈[0,3].
设平面 A1DP 的法向量为 m=(x,y,z),则
m·A1D→ =0,m·DP→ =0.
又A1D→ =(0,2,-2 3),DP→ =(p,-2,0),
所以 2y-2 3z=0,
px-2y=0.
令 x=2,则 y=p,z= p
3
.
所以 m= 2,p, p
3 .
平面 A1DP⊥平面 A1BE,当且仅当 m·n=0,
即 4+p+p=0.
解得 p=-2,与 p∈[0,3]矛盾.
所以线段 BC 上不存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直.
G10 空间向量解决线面位置关系
18.G5、G10、G11[2012·湖南卷] 如图 1-6,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,
AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E 是 CD 的中点.
(1)证明:CD⊥平面 PAE;
(2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求四棱锥 P-
ABCD 的体积.
图 1-6
18.解:解法 1:(1)如下图(1),连结 AC.由 AB=4,BC=3,∠ABC=90°得 AC=5.又
AD=5,E 是 CD 的中点,所以 CD⊥AE.因为 PA⊥平面 ABCD,CD⊂平面 ABCD,所以 PA
⊥CD.而 PA,AE 是平面 PAE 内的两条相交直线,所以 CD⊥平面 PAE.
(2)过点 B 作 BG∥CD,分别与 AE、AD 相交于点 F,G,连结 PF.
由(1)CD⊥平面 PAE 知,BG⊥平面 PAE.于是∠BPF 为直线 PB 与平面 PAE 所成的角,
且 BG⊥AE.
由 PA⊥平面 ABCD 知,∠PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角.
由题意∠PBA=∠BPF,因为 sin∠PBA=PA
PB
,sin∠BPF=BF
PB
,所以 PA=BF.
由∠DAB=∠ABC=90°知,AD∥BC,又 BG∥CD,
所以四边形 BCDG 是平行四边形.故 GD=BC=3.
于是 AG=2.
在 Rt△BAG 中,AB=4,AG=2,BG⊥AF,所以
BG= AB2+AG2=2 5,BF=AB2
BG
= 16
2 5
=8 5
5 .
于是 PA=BF=8 5
5 .
又梯形 ABCD 的面积为 S=1
2
×(5+3)×4=16,所以四棱锥 P-ABCD 的体积为 V=
1
3
×S×PA=
1
3
×16×8 5
5
=128 5
15 .
解法 2:如上图(2),以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴
建立空间直角坐标系.设 PA=h,则相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),
E(2,4,0),P(0,0,h).
(1)易知CD→ =(-4,2,0),AE→=(2,4,0),AP→=(0,0,h).
因为CD→ ·AE→=-8+8+0=0,CD→ ·AP→=0,所以 CD⊥AE,CD⊥AP.而 AP,AE 是平面
PAE 内的两条相交直线,所以 CD⊥平面 PAE.
(2)由题设和(1)知,CD→ ,PA→分别是平面 PAE,平面 ABCD 的法向量.而 PB 与平面 PAE
所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,所以|cos〈CD→ ,PB→〉|=|cos〈PA→,PB→〉|,即
| CD→ ·PB→
|CD→ |·|PB→||=| PA→·PB→
|PA→|·|PB→||.
由(1)知,CD→ =(-4,2,0),PA→=(0,0,-h),
又PB→=(4,0,-h),
故| -16+0+0
2 5· 16+h2|=| 0+0+h2
h· 16+h2|.
解得 h=8 5
5 .
又梯形 ABCD 的面积为 S=1
2
×(5+3)×4=16,所以四棱锥 P-ABCD 的体积为 V=
1
3
×S×PA=1
3
×16×8 5
5
=128 5
15 .
16.G5、G7、G9、G10[2012·北京卷] 如图 1-9(1),在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC
=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,且 DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到
△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 1-8(2).
(1)求证:A1C⊥平面 BCDE;
(2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小;
(3)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由.
图 1-9
16.解:(1)证明:因为 AC⊥BC,DE∥BC,
所以 DE⊥AC,
所以 DE⊥A1D,DE⊥CD,
所以 DE⊥平面 A1DC,
所以 DE⊥A1C.
又因为 A1C⊥CD,
所以 A1C⊥平面 BCDE.
(2)如右图,以 C 为坐标原点,建立空间直角坐标系 C-xyz,
则 A1(0,0,2 3),D(0,2,0),M(0,1, 3),B(3,0,0),E(2,2,0).
设平面 A1BE 的法向量为 n=(x,y,z),则
n·A1B→ =0,n·BE→=0.
又A1B→ =(3,0,-2 3),BE→=(-1,2,0),
所以 3x-2 3z=0,
-x+2y=0.
令 y=1,则 x=2,z= 3,
所以 n=(2,1, 3).
设 CM 与平面 A1BE 所成的角为θ,
因为CM→ =(0,1, 3),
所以 sinθ=|cos(n,CM→ )|=| n·CM→
|n||CM||= 4
8× 4
= 2
2 .
所以 CM 与平面 A1BE 所成角的大小为π
4.
(3)线段 BC 上不存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直,理由如下:
假设这样的点 P 存在,设其坐标为(p,0,0),其中 p∈[0,3].
设平面 A1DP 的法向量为 m=(x,y,z),则
m·A1D→ =0,m·DP→ =0.
又A1D→ =(0,2,-2 3),DP→ =(p,-2,0),
所以 2y-2 3z=0,
px-2y=0.
令 x=2,则 y=p,z= p
3
.
所以 m= 2,p, p
3 .
平面 A1DP⊥平面 A1BE,当且仅当 m·n=0,
即 4+p+p=0.
解得 p=-2,与 p∈[0,3]矛盾.
所以线段 BC 上不存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直.
18.G5、G10、G11[2012·安徽卷] 平面图形 ABB1A1C1C 如图 1-4(1)所示,其中 BB1C1C
是矩形,BC=2,BB1=4,AB=AC= 2,A1B1=A1C1= 5.
图 1-4
现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠,使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C
垂直,再分别连接 A1A,A1B,A1C,得到如图 1-4(2)所示的空间图形.对此空间图形解答
下列问题.
(1)证明:AA1⊥BC;
(2)求 AA1 的长;
(3)求二面角 A-BC-A1 的余弦值.
18.解:(向量法):(1)证明:取 BC,
B1C1 的中点分别为 D 和 D1,连接 A1D1,DD1,AD.
由 BB1C1C 为矩形知,
DD1⊥B1C1,
因为平面 BB1C1C⊥平面 A1B1C1,
所以 DD1⊥平面 A1B1C1,
又由 A1B1=A1C1 知,
A1D1⊥B1C1.
故以 D1 为坐标原点,可建立如图所示的空间直角坐标系 D1-xyz.
由题设,可得 A1D1=2,AD=1.
由以上可知 AD⊥平面 BB1C1C,A1D1⊥平面 BB1C1C,于是 AD∥A1D1.
所以 A(0,-1,4),B(1,0,4),A1(0,2,0),C(-1,0,4),D(0,0,4).
故AA1
→ =(0,3,-4),BC→=(-2,0,0),AA1
→ ·BC→=0,
因此AA1
→ ⊥BC→,即 AA1⊥BC.
(2)因为AA1
→ =(0,3,-4),
所以|AA1
→ |=5,即 AA1=5.
(3)连接 A1D,由 BC⊥AD,BC⊥AA1,可知 BC⊥平面 A1AD,BC⊥A1D,所以∠ADA1
为二面角 A-BC-A1 的平面角.
因为DA→ =(0,-1,0),DA1
→ =(0,2,-4),所以
cos〈DA→ ,DA1
→ 〉=- 2
1× 22+-42
=- 5
5 .
即二面角 A-BC-A1 的余弦值为- 5
5 .
(综合法)(1)证明:取 BC,B1C1 的中点分别为 D 和 D1,连接 A1D1,DD1,AD,A1D.
由条件可知,BC⊥AD,B1C1⊥A1D1,
由上可得 AD⊥面 BB1C1C,A1D1⊥面 BB1C1C.
因此 AD∥A1D1,即 AD,A1D1 确定平面 AD1A1D.
又因为 DD1∥BB1,BB1⊥BC,所以 DD1⊥BC.
又考虑到 AD⊥BC,所以 BC⊥平面 AD1A1D,
故 BC⊥AA1.
(2)延长 A1D1 到 G 点,使 GD1=AD,连接 AG.
因为 AD 綊 GD1,所以 AG 綊 DD1 綊 BB1.
由于 BB1⊥平面 A1B1C1,所以 AG⊥A1G.
由条件可知,A1G=A1D1+D1G=3,AG=4,
所以 AA1=5.
(3)因为 BC⊥平面 AD1A1D,所以∠ADA1 为二面角 A-BC-A1 的平面角.
在 Rt△A1DD1 中,DD1=4,A1D1=2,解得
sin∠D1DA1= 5
5
,
cos∠ADA1=cos
π
2
+∠D1DA1 =- 5
5 .
即二面角 A-BC-A1 的余弦值为- 5
5 .
19.G5、G6、G10、G11[2012·重庆卷] 如图 1-2,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB
=4,AC=BC=3,D 为 AB 的中点.
(1)求点 C 到平面 A1ABB1 的距离;
(2)若 AB1⊥A1C,求二面角 A1-CD-C1 的平面角的余弦值.
图 1-2
19.解:(1)由 AC=BC,D 为 AB 的中点,得 CD⊥AB.又 CD⊥AA1,故 CD⊥面 A1ABB1,
所以点 C 到平面 A1ABB1 的距离为
CD= BC2-BD2= 5.
(2)解法一:如图,取 D1 为 A1B1 的中点,连结 DD1,则 DD1∥AA1∥CC1.又由(1)知 CD
⊥面 A1ABB1,故 CD⊥A1D,CD⊥DD1,所以∠A1DD1 为所求的二面角 A1-CD-C1 的平面
角.
因 A1D 为 A1C 在面 A1ABB1 上的射影,又已知 AB1⊥A1C,由三垂线定理的逆定理得 AB1
⊥A1D,从而∠A1AB1、∠A1DA 都与∠B1AB 互余,因此∠A1AB1=∠A1DA,所以 Rt△A1AD
∽Rt△B1A1A.因此AA1
AD
=A1B1
AA1
,即 AA21=AD·A1B1=8,得 AA1=2 2.
从而 A1D= AA21+AD2=2 3.
所以,在 Rt△A1DD1 中,
cos∠A1DD1=DD1
A1D
=AA1
A1D
= 6
3 .
解法二:如图,过 D 作 DD1∥AA1 交 A1B1 于点 D1,在直三棱柱中,易知 DB,DC,DD1
两两垂直.以 D 为原点,射线 DB,DC,DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直
角坐标系 D-xyz.
设直三棱柱的高为 h,则 A(-2,0,0),A1(-2,0,h),B1(2,0,h),C(0,5,0),C1(0,5,
h),从而AB1
→ =(4,0,h),A1C→ =(2,5,-h).
由AB1
→ ⊥A1C→ ,有 8-h2=0,h=2 2.
故DA1
→ =(-2,0,2 2),CC1
→ =(0,0,2 2),DC→ =
(0,5,0).
设平面 A1CD 的法向量为 m=(x1,y1,z1),则 m⊥DC→ ,m⊥DA1
→ ,即
5y1=0,
-2x1+2 2z1=0,
取 z1=1,得 m=( 2,0,1),
设平面 C1CD 的法向量为 n=(x2,y2,z2),则 n⊥DC→ ,n⊥CC1
→ ,即
5y2=0,
2 2z2=0,
取 x2=1,得 n=(1,0,0),所以
cos〈m,n〉= m·n
|m||n|
= 2
2+1·1
= 6
3 .
所以二面角 A1-CD-C1 的平面角的余弦值为 6
3 .
G11 空间角与距离的求法
16.G11[2012·全国卷] 三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=
∠CAA1=60°,则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为________.
16. 6
6 [解析] 由题意知,AB1
→ =AB→+AA1
→ ,BC1
→ =BB1
→ +BC→=BA→+AC→+AA1
→ .
又∠CAA1=∠BAA1=∠BAC=60°,
设边长、侧棱长为 1,
则 AB1
→ 2=(AB→+AA1
→ )2=AB→ 2+AA1
→ 2+2AB→·AA1
→ =3,所以|AB1
→ |= 3,同理可得|BC1
→ |= 2.
AB1
→ ·BC1
→ =AB→·BA→+AB→·AC→+AB→·AA1
→ +AA1
→ ·BA→+AA1
→ ·AC→+AA1
→ 2=1,
所以 cos〈AB1
→ ·BC1
→ 〉= AB1
→ ·BC1
→
|AB1
→ |·|BC1
→ |
= 1
3· 2
= 6
6 .
4.G11[2012·全国卷] 已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,CC1=2 2,E 为 CC1
的中点,则直线 AC1 与平面 BED 的距离为( )
A.2 B. 3 C. 2 D.1
4.D [解析] 本小题主要考查正四棱柱的性质以及直线到平面的距离的概念.解题的
突破口为直线到平面的距离的转化.
由已知可得 AC1=4,取 AC 与 BD 的中点 O,连 OE,显然有 AC1∥OE 且平面 ACC1A1
⊥平面 BED,∴AC1 与平面 BED 的距离即为 AC1 与 OE 的距离,又∵AB=2,CC1=2 2,
∴AC=2 2,CC1=AC,∴平面 AA1C1 为正方形,∴AC1 与平面 BED 的距离为 1
4CA1=1,故
选 D.
18.G4、G11[2012·辽宁卷] 如图 1-4,直三棱柱 ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,
AB=AC=λAA′,点 M,N 分别为 A′B 和 B′C′的中点.
(1)证明:MN∥平面 A′ACC′;
(2)若二面角 A′-MN-C 为直二面角,求λ的值.
图 1-4
18.解:(1)(证法一)
连结 AB′,AC′,由已知∠BAC=90°,
AB=AC,三棱柱 ABC-A′B′C′为直三棱柱.
所以 M 为 AB′中点.
又因为 N 为 B′C′的中点.
所以 MN∥AC′.
又 MN⊄平面 A′ACC′,
AC′⊂平面 A′ACC′,
因此 MN∥平面 A′ACC′.
(证法二)
取 A′B′中点 P,连结 MP,NP,
M,N 分别为 AB′与 B′C′的中点,所以 MP∥AA′,PN∥A′C′,
所以 MP∥平面 A′ACC′,PN∥平面 A′ACC′,又 MP∩NP=P,
因此平面 MPN∥平面 A′ACC′,而 MN⊂平面 MPN,
因此 MN∥平面 A′ACC′.
(2)以 A 为坐标原点,分别以直线 AB,AC,AA′为 x 轴,y 轴,z 轴建立直角坐标系 O
-xyz,如图 1-5 所示.
图 1-5
设 AA′=1,则 AB=AC=λ,
于是 A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A′(0,0,1),B′(λ,0,1),C′(0,λ,1).
所以 M
λ
2
,0,1
2 ,N
λ
2
,λ
2
,1 .
设 m=(x1,y1,z1)是平面 A′MN 的法向量,
由
m·A′M→ =0,
m·MN→ =0
得
λ
2x1-1
2z1=0,
λ
2y1+1
2z1=0,
可取 m=(1,-1,λ).
设 n=(x2,y2,z2)是平面 MNC 的法向量,
由
n·NC→ =0,
n·MN→ =0
得
-λ
2x2+λ
2y2-z2=0,
λ
2y2+1
2z2=0.
可取 n=(-3,-1,λ).
因为 A′-MN-C 为直二面角,所以 m·n=0.
即-3+(-1)×(-1)+λ2=0,解得λ= 2.
19.G5、G11[2012·课标全国卷] 如图 1-5,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC=1
2AA1,
D 是棱 AA1 的中点,DC1⊥BD.
(1)证明:DC1⊥BC;
(2)求二面角 A1-BD-C1 的大小.
图 1-5
19.解:(1)证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形.
由于 D 为 AA1 的中点,故 DC=DC1.
又 AC=1
2AA1,可得 DC21+DC2=CC21,
所以 DC1⊥DC.
而 DC1⊥BD,DC∩BD=D,所以 DC1⊥平面 BCD.
BC⊂平面 BCD,故 DC1⊥BC.
(2)由(1)知 BC⊥DC1,且 BC⊥CC1,则 BC⊥平面 ACC1,所以 CA,CB,CC1 两两相互
垂直.
以 C 为坐标原点,CA→ 的方向为 x 轴的正方向,|CA→ |为单位长,建立如图所示的空间直
角坐标系 C-xyz.
由题意知 A1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2).
则A1D→ =(0,0,-1),BD→ =(1,-1,1),DC1
→ =(-1,0,1).
设 n=(x,y,z)是平面 A1B1BD 的法向量,则
n·BD→ =0,
n·A1D→ =0,
即 x-y+z=0,
z=0.
可取 n=(1,1,0).
同理,设 m 是平面 C1BD 的法向量,则
m·BD→ =0,
m·DC1
→ =0.
可得 m=(1,2,1).
从而 cos〈n,m〉= n·m
|n|·|m|
= 3
2 .
故二面角 A1-BD-C1 的大小为 30°.
18.G5、G10、G11[2012·湖南卷] 如图 1-6,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,
AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E 是 CD 的中点.
(1)证明:CD⊥平面 PAE;
(2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求四棱锥 P-
ABCD 的体积.
图 1-6
18.解:解法 1:(1)如下图(1),连结 AC.由 AB=4,BC=3,∠ABC=90°得 AC=5.又
AD=5,E 是 CD 的中点,所以 CD⊥AE.因为 PA⊥平面 ABCD,CD⊂平面 ABCD,所以 PA
⊥CD.而 PA,AE 是平面 PAE 内的两条相交直线,所以 CD⊥平面 PAE.
(2)过点 B 作 BG∥CD,分别与 AE、AD 相交于点 F,G,连结 PF.
由(1)CD⊥平面 PAE 知,BG⊥平面 PAE.于是∠BPF 为直线 PB 与平面 PAE 所成的角,
且 BG⊥AE.
由 PA⊥平面 ABCD 知,∠PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角.
由题意∠PBA=∠BPF,因为 sin∠PBA=PA
PB
,sin∠BPF=BF
PB
,所以 PA=BF.
由∠DAB=∠ABC=90°知,AD∥BC,又 BG∥CD,
所以四边形 BCDG 是平行四边形.故 GD=BC=3.
于是 AG=2.
在 Rt△BAG 中,AB=4,AG=2,BG⊥AF,所以
BG= AB2+AG2=2 5,BF=AB2
BG
= 16
2 5
=8 5
5 .
于是 PA=BF=8 5
5 .
又梯形 ABCD 的面积为 S=1
2
×(5+3)×4=16,所以四棱锥 P-ABCD 的体积为 V=
1
3
×S×PA=
1
3
×16×8 5
5
=128 5
15 .
解法 2:如上图(2),以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴
建立空间直角坐标系.设 PA=h,则相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),
E(2,4,0),P(0,0,h).
(1)易知CD→ =(-4,2,0),AE→=(2,4,0),AP→=(0,0,h).
因为CD→ ·AE→=-8+8+0=0,CD→ ·AP→=0,所以 CD⊥AE,CD⊥AP.而 AP,AE 是平面
PAE 内的两条相交直线,所以 CD⊥平面 PAE.
(2)由题设和(1)知,CD→ ,PA→分别是平面 PAE,平面 ABCD 的法向量.而 PB 与平面 PAE
所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,所以|cos〈CD→ ,PB→〉|=|cos〈PA→,PB→〉|,即
| CD→ ·PB→
|CD→ |·|PB→||=| PA→·PB→
|PA→|·|PB→||.
由(1)知,CD→ =(-4,2,0),PA→=(0,0,-h),
又PB→=(4,0,-h),
故| -16+0+0
2 5· 16+h2|=| 0+0+h2
h· 16+h2|.
解得 h=8 5
5 .
又梯形 ABCD 的面积为 S=1
2
×(5+3)×4=16,所以四棱锥 P-ABCD 的体积为 V=
1
3
×S×PA=1
3
×16×8 5
5
=128 5
15 .
19. G7、G11[2012·湖北卷] 如图 1-7 所示,∠ACB=45°,BC=3,过动点 A 作 AD
⊥BC,垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B,连结 AB,沿 AD 将△ABD 折起,使∠BDC=90°(如
图 1-8).
(1)当 BD 的长为多少时,三棱锥 A-BCD 的体积最大?
(2)当三棱锥 A-BCD 的体积最大时,设点 E,M 分别为棱 BC,AC 的中点,试在棱 CD
上确定一点 N,使得 EN⊥BM,并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小.
图 1-7 图 1-8
19.解:(1)方法 1:在题图所示的△ABC 中,设 BD=x(0<x<3),则 CD=3-x.
由 AD⊥BC,∠ACB=45°知,△ADC 为等腰直角三角形,所以 AD=CD=3-x.
由折起前 AD⊥BC 知,折起后,AD⊥DC,AD⊥BD,且 BD∩DC=D,所以 AD⊥平面
BCD.
又∠BDC=90°,所以 S△BCD=1
2BD·CD=1
2x(3-x).
于 是 VA - BCD = 1
3 AD·S △ BCD = 1
3 (3 - x)· 1
2 x(3 - x) = 1
12 ·2x(3 - x)(3 -
x)≤ 1
12
2x+3-x+3-x
3 3=2
3.
当且仅当 2x=3-x,即 x=1 时,等号成立,
故当 x=1,即 BD=1 时,三棱锥 A-BCD 的体积最大.
方法 2:同方法 1,得 VA-BCD=1
3AD·S△BCD=1
3(3-x)·1
2x(3-x)=1
6(x3-6x2+9x).
令 f(x)=1
6(x3-6x2+9x),由 f′(x)=1
2(x-1)(x-3)=0,且 0<x<3,解得 x=1.
当 x∈(0,1)时,f′(x)>0,当 x∈(1,3)时,f′(x)<0,所以当 x=1 时,f(x)取得最大值.
故当 BD=1 时,三棱锥 A-BCD 的体积最大.
(2)方法 1:以点 D 为原点,建立如图(a)所示的空间直角坐标系 D-xyz.
由(1)知,当三棱锥 A-BCD 的体积最大时,BD=1,AD=DC=2.
于是可得 D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),M(0,1,1),E
1
2
,1,0 ,且BM→ =(-1,1,1).
设 N(0,λ,0),则EN→= -1
2
,λ-1,0 .
因为 EN⊥BM 等价于EN→·BM→ =0,
即 -1
2
,λ-1,0 ·(-1,1,1)=1
2
+λ-1=0,故λ=1
2
,N 0,1
2
,0 .
所以当 DN=1
2(即 N 是 CD 的靠近点 D 的一个四等分点)时,EN⊥BM.
设平面 BMN 的一个法向量为 n=(x,y,z),由
n⊥BN→,
n⊥BM→ ,
及BN→= -1,1
2
,0 ,
得 y=2x,
z=-x.
可取 n=(1,2,-1).
设 EN 与平面 BMN 所成角的大小为θ,
则由EN→= -1
2
,-1
2
,0 ,n=(1,2,-1),可得
sinθ=cos(90°-θ)=| n·EN→
|n|·|EN→||=
|-1
2
-1|
6× 2
2
= 3
2
,即θ=60°.
故 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60°.
方法 2:由(1)知,当三棱锥 A-BCD 的体积最大时,BD=1,AD=CD=2.
如图(b),取 CD 的中点 F,连结 MF,BF,EF,则 MF∥AD.
由(1)知 AD⊥平面 BCD,所以 MF⊥平面 BCD.
如图(c),延长 FE 至 P 点使得 FP=DB,连 BP,DP,则四边形 DBPF 为正方形,
所以 DP⊥BF.取 DF 的中点 N,连结 EN,又 E 为 FP 的中点,则 EN∥DP,
所以 EN⊥BF,因为 MF⊥平面 BCD,又 EN⊂平面 BCD,所以 MF⊥EN.
又 MF∩BF=F,所以 EN⊥面 BMF,又 BM⊂面 BMF,所以 EN⊥BM.
因为 EN⊥BM 当且仅当 EN⊥BF,而点 F 是唯一的,所以点 N 是唯一的.
即当 DN=1
2(即 N 是 CD 的靠近点 D 的一个四等分点),EN⊥BM.
连结 MN,ME,由计算得 NB=NM=EB=EM= 5
2
,
所以△NMB 与△EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形.
如图(d)所示,取 BM 的中点 G.连结 EG,NG,
则 BM⊥平面 EGN,在平面 EGN 中,过点 E 作 EH⊥GN 于 H,
则 EH⊥平面 BMN.故∠ENH 是 EN 与平面 BMN 所成的角.
在△EGN 中,易得 EG=GN=NE= 2
2
,所以△EGN 是正三角形,
故∠ENH=60°,即 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60°.
19.G7、G11[2012·上海卷] 如图 1-3 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩
形,PA⊥底面 ABCD.E 是 PC 的中点,已知 AB=2,AD=2 2,PA=2,求:
(1)三角形 PCD 的面积;
(2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.
图 1-3
19.解:(1)因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD.
又 AD⊥CD,所以 CD⊥平面 PAD.
从而 CD⊥PD.
因为 PD= 22+2 22=2 3,CD=2.
所以三角形 PCD 的面积为1
2
×2×2 3=2 3.
(2)解法一:如图所示,建立空间直角坐标系,则 B(2,0,0),C(2,2 2,0),E(1,2,1).
AE→=(1,2,1),BC→=(0,2 2,0),
设AE→与BC→的夹角为θ,则
cosθ= AE→·BC→
|AE→||BC→|
= 4
2×2 2
= 2
2
,
∴θ=π
4.
由此知,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是π
4.
解法二:取 PB 中点 F,连接 EF、AF,则 EF∥BC,从而∠AEF(或其补角)是异面直线
BC 与 AE 所成的角.
在△AEF 中,由 EF= 2、AF= 2、AE=2 知△AEF 是等腰直角三角形,
所以∠AEF=π
4.
因此,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是π
4.
18.G5、G11[2012·广东卷] 如图 1-5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩
形,PA⊥平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面 BDE.
(1)证明:BD⊥平面 PAC;
(2)若 PA=1,AD=2,求二面角 B-PC-A 的正切值.
图 1-5
18.证明:(1)
PC⊥平面 BDE
BD⊂平面 BDE
⇒PC⊥BD.
PA⊥平面 ABCD
BD⊂平面 ABCD
⇒PA⊥BD.
∵PA∩PC=P,PA⊂平面 PAC,PC⊂平面 PAC,
∴BD⊥平面 PAC.
(2)法一:如图所示,记 BD 与 AC 的交点为 F,连接 EF.
由 PC⊥平面 BDE,BE⊂平面 BDE,EF⊂平面 BDE,
∴PC⊥BE,PC⊥EF.
即∠BEF 为二面角 B-PC-A 的平面角.
由(1)可得 BD⊥AC,
所以矩形 ABCD 为正方形,AB=AD=2,
AC=BD=2 2,FC=BF= 2.
在 Rt△PAC 中,PA=1,PC= PA2+AC2=3,
即二面角 B-PC-A 的正切值为 3.
法二:以 A 为原点,AB→、AD→ 、AP→的方向分别作为 x、y、z 轴的正方向建立空间直角坐标
系,如图所示.
设 AB=b,则:
A(0,0,0),B(b,0,0),
C(b,2,0),D(0,2,0),
P(0,0,1).
于是PC→=(b,2,-1),DB→ =(b,-2,0).
因为 PC⊥DB,所以PC→·DB→ =b2-4=0,
从而 b=2.结合(1)可得DB→ =(2,-2,0)是平面 APC 的法向量.
现设 n=(x,y,z)是平面 BPC 的法向量,则
n⊥BC→,n⊥PC→,即 n·BC→=0,n·PC→=0.
因为BC→=(0,2,0),PC→=(2,2,-1),
所以 2y=0,2x-z=0.
取 x=1,则 z=2,n=(1,0,2).
令θ=〈n,DB→ 〉,则
cosθ= n·DB→
|n||DB→ |
= 2
5·2 2
= 1
10
,
sinθ= 3
10
,tanθ=3.
由图可得二面角 B-PC-A 的正切值为 3.
19.G5、G6、G10、G11[2012·重庆卷] 如图 1-2,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB
=4,AC=BC=3,D 为 AB 的中点.
(1)求点 C 到平面 A1ABB1 的距离;
(2)若 AB1⊥A1C,求二面角 A1-CD-C1 的平面角的余弦值.
图 1-2
19.解:(1)由 AC=BC,D 为 AB 的中点,得 CD⊥AB.又 CD⊥AA1,故 CD⊥面 A1ABB1,
所以点 C 到平面 A1ABB1 的距离为
CD= BC2-BD2= 5.
(2)解法一:如图,取 D1 为 A1B1 的中点,连结 DD1,则 DD1∥AA1∥CC1.又由(1)知 CD
⊥面 A1ABB1,故 CD⊥A1D,CD⊥DD1,所以∠A1DD1 为所求的二面角 A1-CD-C1 的平面
角.
因 A1D 为 A1C 在面 A1ABB1 上的射影,又已知 AB1⊥A1C,由三垂线定理的逆定理得 AB1
⊥A1D,从而∠A1AB1、∠A1DA 都与∠B1AB 互余,因此∠A1AB1=∠A1DA,所以 Rt△A1AD
∽Rt△B1A1A.因此AA1
AD
=A1B1
AA1
,即 AA21=AD·A1B1=8,得 AA1=2 2.
从而 A1D= AA21+AD2=2 3.
所以,在 Rt△A1DD1 中,
cos∠A1DD1=DD1
A1D
=AA1
A1D
= 6
3 .
解法二:如图,过 D 作 DD1∥AA1 交 A1B1 于点 D1,在直三棱柱中,易知 DB,DC,DD1
两两垂直.以 D 为原点,射线 DB,DC,DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直
角坐标系 D-xyz.
设直三棱柱的高为 h,则 A(-2,0,0),A1(-2,0,h),B1(2,0,h),C(0,5,0),C1(0,5,
h),从而AB1
→ =(4,0,h),A1C→ =(2,5,-h).
由AB1
→ ⊥A1C→ ,有 8-h2=0,h=2 2.
故DA1
→ =(-2,0,2 2),CC1
→ =(0,0,2 2),DC→ =
(0,5,0).
设平面 A1CD 的法向量为 m=(x1,y1,z1),则 m⊥DC→ ,m⊥DA1
→ ,即
5y1=0,
-2x1+2 2z1=0,
取 z1=1,得 m=( 2,0,1),
设平面 C1CD 的法向量为 n=(x2,y2,z2),则 n⊥DC→ ,n⊥CC1
→ ,即
5y2=0,
2 2z2=0,
取 x2=1,得 n=(1,0,0),所以
cos〈m,n〉= m·n
|m||n|
= 2
2+1·1
= 6
3 .
所以二面角 A1-CD-C1 的平面角的余弦值为 6
3 .
18.G4、G5、G11[2012·福建卷] 如图 1-3,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AD
=1,E 为 CD 中点.
(1)求证:B1E⊥AD1;
(2)在棱 AA1 上是否存在一点 P,使得 DP∥平面 B1AE?若存在,求 AP 的长;若不存在,
说明理由;
(3)若二面角 A-B1E-A1 的大小为 30°,求 AB 的长.
图 1-3
18.解:(1)以 A 为原点,AB→,AD→ ,AA1
→ 的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间
直角坐标系(如图).设 AB=a,则 A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E
a
2
,1,0 ,B1(a,0,1),故
AD1=(0,1,1),B1E→ = -a
2
,1,-1 ,AB1
→ =(a,0,1),AE→=
a
2
,1,0 .
∵AD1
→ ·B1E→ =-a
2
×0+1×1+(-1)×1=0,
∴B1E⊥AD1.
(2)假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0,z0),
使得 DP∥平面 B1AE.此时DP→ =(0,-1,z0).
又设平面 B1AE 的法向量 n=(x,y,z).
∵n⊥平面 B1AE,∴n⊥AB1
→ ,n⊥AE→,得
ax+z=0,
ax
2
+y=0.
取 x=1,得平面 B1AE 的一个法向量 n= 1,-a
2
,-a .
要使 DP∥平面 B1AE,只要 n⊥DP→ ,有a
2
-az0=0,解得 z0=1
2.
又 DP⊄平面 B1AE,∴存在点 P,满足 DP∥平面 B1AE,此时 AP=1
2.
(3)连接 A1D,B1C,由长方体 ABCD-A1B1C1D1 及 AA1=AD=1,得 AD1⊥A1D.
∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C.
又由(1)知 B1E⊥AD1,且 B1C∩B1E=B1,
∴AD1⊥平面 DCB1A1.∴AD1
→ 是平面 A1B1E 的一个法向量,此时AD1
→ =(0,1,1).
设AD1
→ 与 n 所成的角为θ,
则 cosθ= n·AD1
→
|n||AD1
→ |
=
-a
2
-a
2 1+a2
4
+a2
.
∵二面角 A-B1E-A1 的大小为 30°,
∴|cosθ|=cos30°,即
3a
2
2 1+5a2
4
= 3
2
,
解得 a=2,即 AB 的长为 2.
18.G5、G11[2012·山东卷] 在如图 1-5 所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形,
AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面 ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF.
(1)求证:BD⊥平面 AED;
(2)求二面角 F-BD-C 的余弦值.
图 1-5
18.解:(1)证明:因为四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,
所以∠ADC=∠BCD=120°.
又 CB=CD,
所以∠CDB=30°,
因此∠ADB=90°,AD⊥BD,
又 AE⊥BD,
且 AE∩AD=A,AE,AD⊂平面 AED,
所以 BD⊥平面 AED.
(2)解法一:
取 BD 的中点 G,连接 CG,FG,
由于 CB=CD,因此 CG⊥BD,
又 FC⊥平面 ABCD,BD⊂平面 ABCD,
所以 FC⊥BD,
由于 FC∩CG=C,FC,CG⊂平面 FCG,
所以 BD⊥平面 FCG,
故 BD⊥FG,
所以∠FGC 为二面角 F-BD-C 的平面角.
在等腰三角形 BCD 中,由于∠BCD=120°,
因此 CG=1
2CB.
又 CB=CF,
所以 GF= CG2+CF2= 5CG,
故 cos∠FGC= 5
5
,
因此二面角 F-BD-C 的余弦值为 5
5 .
解法二:
由(1)知 AD⊥BD,所以 AC⊥BC.
又 FC⊥平面 ABCD,
因此 CA,CB,CF 两两垂直,
以 C 为坐标原点,分别以 CA,CB,CF
所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
不妨设 CB=1.
则 C(0,0,0),B(0,1,0),D
3
2
,-1
2
,0 ,F(0,0,1).
因此BD→ =
3
2
,-3
2
,0 ,BF→=(0,-1,1).
设平面 BDF 的一个法向量为 m=(x,y,z),
则 m·BD→ =0,m·BF→=0,
所以 x= 3y= 3z,
取 z=1,则 m=( 3,1,1).
由于CF→=(0,0,1)是平面 BDC 的一个法向量,
则 cos〈m,CF→〉= m·CF→
|m||CF→|
= 1
5
= 5
5
,
所以二面角 F-BD-C 的余弦值为 5
5 .
17.G5、G11[2012·天津卷] 如图 1-4 所示,在四棱锥 PABCD 中,PA⊥平面 ABCD,
AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(1)证明 PC⊥AD;
(2)求二面角 A-PC-D 的正弦值;
(3)设 E 与棱 PA 上的点,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30°,求 AE 的长.
17.解:方法一:如图所示,以点 A 为原点建立空间直角坐标系,依题意得 A(0,0,0),
D(2,0,0),C(0,1,0),B
-1
2
,1
2
,0 ,P(0,0,2).
(1)易得PC→=(0,1,-2),AD→ =(2,0,0),于是PC→·AD→ =0,所以 PC⊥AD.
(2)PC→=(0,1,-2),CD→ =(2,-1,0).设平面 PCD 的法向量 n=(x,y,z),
则
n·PC→=0,
n·CD→ =0,
即 y-2z=0,
2x-y=0.
不妨令 z=1,
可得 n=(1,2,1).
可取平面 PAC 的法向量 m=(1,0,0).
于是 cos〈m,n〉= m·n
|m|·|n|
= 1
6
= 6
6
,从而 sin〈m,n〉= 30
6 .所以二面角 A-PC-D
的正弦值为 30
6 .
(3)设点 E 的坐标为(0,0,h),其中 h∈[0,2].由此得BE→=
1
2
,-1
2
,h ,由CD→ =(2,-
1,0),故
cos〈BE→,CD→ 〉= BE→·CD→
|BE→||CD→ |
=
3
2
1
2
+h2× 5
= 3
10+20 h2
,
所以, 3
10+20 h2
=cos30°= 3
2
,解得 h= 10
10
,
即 AE= 10
10 .
方法二:(1)由 PA⊥平面 ABCD,可得 PA⊥AD.
又由 AD⊥AC,PA∩AC=A,故 AD⊥平面 PAC,
又 PC⊂平面 PAC,所以 PC⊥AD.
(2)如图所示,作 AH⊥PC 于点 H,连接 DH.
由 PC⊥AD,PC⊥AH,可得 PC⊥平面 ADH,因此 DH⊥PC,从而∠AHD 为二面角 A
-PC-D 的平面角.
在 Rt△PAC 中,PA=2,AC=1,由此得 AH= 2
5
.
由(1)知AD⊥AH.故在Rt△DAH 中,DH= AD2+AH2=2 30
5 .因此sin∠AHD=AD
DH
= 30
6 .
所以二面角 A-PC-D 的正弦值为 30
6 .
(3)如图所示,因为∠ADC<45°,故过点 B 作 CD 的平行线必与线段 AD 相交,设交点
为 F,连接 BE,EF.故∠EBF 或其补角为异面直线 BE 与 CD 所成的角.
由 BF∥CD,故∠AFB=∠ADC.
在 Rt△DAC 中,CD= 5,sin∠ADC= 1
5
,
故 sin∠AFB= 1
5
.
在△AFB 中,由 BF
sin∠FAB
= AB
sin∠AFB
,AB= 1
2
,
sin∠FAB=sin135°= 2
2
,可得 BF= 5
2 .
由余弦定理,BF2=AB2+AF2-2AB·AF·cos∠FAB,可得 AF=1
2.
设 AE=h.
在 Rt△EAF 中,EF= AE2+AF2= h2+1
4.
在 Rt△BAE 中,BE= AE2+AB2= h2+1
2.
在△EBF 中,因为 EF<BE,从而∠EBF=30°,由余弦定理得 cos30°=BE2+BF2-EF2
2BE·BF
,
可解得 h= 10
10 .
所以 AE= 10
10 .
18.G4、G7、G11[2012·全国卷] 如图 1-1,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,
PA⊥底面 ABCD,AC=2 2,PA=2,E 是 PC 上的一点,PE=2EC.
(1)证明:PC⊥平面 BED;
(2)设二面角 A-PB-C 为 90°,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小.
图 1-1
18.解:方法一:(1)因为底面 ABCD 为菱形,所以 BD⊥AC,
又 PA⊥底面 ABCD,所以 PC⊥BD.
设 AC∩BD=F,连结 EF.因为 AC=2 2,
PA=2,PE=2EC,故 PC=2 3,EC=2 3
3
,FC= 2,
从而PC
FC
= 6,AC
EC
= 6.
因为PC
FC
=AC
EC
,∠FCE=∠PCA,
所以△FCE∽△PCA,∠FEC=∠PAC=90°,
由此知 PC⊥EF.
PC 与平面 BED 内两条相交直线 BD,EF 都垂直,所以 PC⊥平面 BED.
(2)在平面 PAB 内过点 A 作 AG⊥PB,G 为垂足.
因为二面角 A-PB-C 为 90°,所以平面 PAB⊥平面 PBC.
又平面 PAB∩平面 PBC=PB,
故 AG⊥平面 PBC,AG⊥BC.
BC 与平面 PAB 内两条相交直线 PA,AG 都垂直,故 BC⊥平面 PAB,于是 BC⊥AB,所
以底面 ABCD 为正方形,AD=2,PD= PA2+AD2=2 2.
设 D 到平面 PBC 的距离为 d.因为 AD∥BC,且 AD⊄平面 PBC,BC⊂平面 PBC,故 AD
∥平面 PBC,A、D 两点到平面 PBC 的距离相等,即 d=AG= 2.
设 PD 与平面 PBC 所成的角为α,则 sinα= d
PD
=1
2.
所以 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°.
方法二:(1)以 A 为坐标原点,射线 AC 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标
系 A-xyz.
设 C(2 2,0,0),D( 2,b,0),其中 b>0,则 P(0,0,2),E
4 2
3
,0,2
3 ,B( 2,-b,0).
于是PC→=(2 2,0,-2),
BE→=
2
3
,b,2
3 ,DE→ =
2
3
,-b,2
3 ,
从而PC→·BE→=0,PC→·DE→ =0,
故 PC⊥BE,PC⊥DE.
又 BE∩DE=E,所以 PC⊥平面 BDE.
(2)AP→=(0,0,2),AB→=( 2,-b,0).
设 m=(x,y,z)为平面 PAB 的法向量,
则 m·AP→=0,m·AB→=0,
即 2z=0,且 2x-by=0,
令 x=b,则 m=(b,2,0).
设 n=(p,q,r)为平面 PBC 的法向量,则
n·PC→=0,n·BE→=0,
即 2 2p-2r=0 且 2p
3
+bq+2
3r=0,
令 p=1,则 r= 2,q=- 2
b
,n= 1,- 2
b
, 2 .
因为面 PAB⊥面 PBC,故 m·n=0,即 b-2
b
=0,故 b= 2,于是 n=(1,-1, 2),DP→
=(- 2,- 2,2),
cos〈n,DP→ 〉= n·DP→
|n||DP→ |
=1
2
,〈n,DP→ 〉=60°.
因为 PD 与平面 PBC 所成角和〈n,DP→ 〉互余,故 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°.
18.G5、G10、G11[2012·安徽卷] 平面图形 ABB1A1C1C 如图 1-4(1)所示,其中 BB1C1C
是矩形,BC=2,BB1=4,AB=AC= 2,A1B1=A1C1= 5.
图 1-4
现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠,使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C
垂直,再分别连接 A1A,A1B,A1C,得到如图 1-4(2)所示的空间图形.对此空间图形解答
下列问题.
(1)证明:AA1⊥BC;
(2)求 AA1 的长;
(3)求二面角 A-BC-A1 的余弦值.
18.解:(向量法):(1)证明:取 BC,
B1C1 的中点分别为 D 和 D1,连接 A1D1,DD1,AD.
由 BB1C1C 为矩形知,
DD1⊥B1C1,
因为平面 BB1C1C⊥平面 A1B1C1,
所以 DD1⊥平面 A1B1C1,
又由 A1B1=A1C1 知,
A1D1⊥B1C1.
故以 D1 为坐标原点,可建立如图所示的空间直角坐标系 D1-xyz.
由题设,可得 A1D1=2,AD=1.
由以上可知 AD⊥平面 BB1C1C,A1D1⊥平面 BB1C1C,于是 AD∥A1D1.
所以 A(0,-1,4),B(1,0,4),A1(0,2,0),C(-1,0,4),D(0,0,4).
故AA1
→ =(0,3,-4),BC→=(-2,0,0),AA1
→ ·BC→=0,
因此AA1
→ ⊥BC→,即 AA1⊥BC.
(2)因为AA1
→ =(0,3,-4),
所以|AA1
→ |=5,即 AA1=5.
(3)连接 A1D,由 BC⊥AD,BC⊥AA1,可知 BC⊥平面 A1AD,BC⊥A1D,所以∠ADA1
为二面角 A-BC-A1 的平面角.
因为DA→ =(0,-1,0),DA1
→ =(0,2,-4),所以
cos〈DA→ ,DA1
→ 〉=- 2
1× 22+-42
=- 5
5 .
即二面角 A-BC-A1 的余弦值为- 5
5 .
(综合法)(1)证明:取 BC,B1C1 的中点分别为 D 和 D1,连接 A1D1,DD1,AD,A1D.
由条件可知,BC⊥AD,B1C1⊥A1D1,
由上可得 AD⊥面 BB1C1C,A1D1⊥面 BB1C1C.
因此 AD∥A1D1,即 AD,A1D1 确定平面 AD1A1D.
又因为 DD1∥BB1,BB1⊥BC,所以 DD1⊥BC.
又考虑到 AD⊥BC,所以 BC⊥平面 AD1A1D,
故 BC⊥AA1.
(2)延长 A1D1 到 G 点,使 GD1=AD,连接 AG.
因为 AD 綊 GD1,所以 AG 綊 DD1 綊 BB1.
由于 BB1⊥平面 A1B1C1,所以 AG⊥A1G.
由条件可知,A1G=A1D1+D1G=3,AG=4,
所以 AA1=5.
(3)因为 BC⊥平面 AD1A1D,所以∠ADA1 为二面角 A-BC-A1 的平面角.
在 Rt△A1DD1 中,DD1=4,A1D1=2,解得
sin∠D1DA1= 5
5
,
cos∠ADA1=cos
π
2
+∠D1DA1 =- 5
5 .
即二面角 A-BC-A1 的余弦值为- 5
5 .
5.G11[2012·陕西卷] 如图 1-1,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC-A1B1C1,CA
=CC1=2CB,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为( )
图 1-1
A. 5
5 B. 5
3 C.2 5
5 D.3
5
5.A [解析] 本小题主要考查空间向量解决立体几何问题的相关知识,解题的突破口
是写出直线 BC1、AB1 的方向向量.设 CB=1,则 CA=CC1=2,故 B(0,0,1), C1(0,2,0),A(2,0,0),
B1(0,2,1),则直线 BC1 的方向向量为BC1
→ =(0,2,-1),AB1 的方向向量为AB1
→ =(-2,2,1),则
夹角的余弦值为| BC1
→ ·AB1
→
|BC1
→ ||AB1
→ ||=| 3
3 5|= 5
5
,故选 A.
19.G11[2012·江西卷] 如图 1-5,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AB=AC=AA1= 5,
BC=4,点 A1 在底面 ABC 的投影是线段 BC 的中点 O.
(1)证明在侧棱 AA1 上存在一点 E,使得 OE⊥平面 BB1C1C,并求出 AE 的长;
(2)求平面 A1B1C 与平面 BB1C1C 夹角的余弦值.
图 1-5
19.解:(1)证明:连接 AO,在△AOA1 中,作 OE⊥AA1 于点 E,因为 AA1∥BB1,所以
OE⊥BB1.
因为 A1O⊥平面 ABC,所以 A1O⊥BC.
因为 AB=AC,OB=OC,所以 AO⊥BC,
所以 BC⊥平面 AA1O.
所以 BC⊥OE,
所以 OE⊥平面 BB1C1C,又 AO= AB2-BO2=1,AA1= 5,
得 AE=AO2
AA1
= 5
5 .
(2)如图,分别以 OA,OB,OA1 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0),
B(0,2,0),C(0,-2,0),A1(0,0,2),
由AE→=1
5AA1
→ 得点 E 的坐标是
4
5
,0,2
5 ,
由(1)得平面 BB1C1C 的法向量是OE→ =
4
5
,0,2
5 ,设平面 A1B1C 的法向量 n=(x,y,z),
由
n·AB→=0,
n·A1C→ =0
得
-x+2y=0,
y+z=0,
令 y=1,得 x=2,z=-1,即 n=(2,1,-1),所以
cos〈OE→ ,n〉= OE→ ·n
|OE→ |·|n|
= 30
10 .
即平面 BB1C1C 与平面 A1B1C 的夹角的余弦值是 30
10 .
G12 单元综合
10.G12[2012·四川卷] 如图 1-3 所示,半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面α内,过
点 O 作平面α的垂线交半球面于点 A,过圆 O 的直径 CD 作与平面α成 45°角的平面与半球面
相交, 所得交线上到平面α的距离最大的点为 B,该交线上的一点 P 满足∠BOP=60°,则
A、P 两点间的球面距离为( )
图 1-3
A.Rarccos 2
4 B.πR
4
C.Rarccos 3
3 D.πR
3
10.A [解析] 由已知,OA⊥CD,又 B 点到平面α的距离最大,即 B 点在半圆 CBD 的
最高点,即半圆弧 CBD 的中点,于是 BO⊥CD,于是 CD⊥平面 AOB,进而平面 CBD⊥平
面 AOB,
且∠AOB 为二面角 A-CD-B 的平面角,该角等于平面 BCD 与α所成二面角的余角,
为 45°.
于是由公式 cos∠AOP=cos∠AOBcos∠BOP= 2
2 ·1
2
= 2
4
,
即∠AOP=arccos 2
4
,
故 A、P 两点间的球面距离为 Rarccos 2
4 .
19.G12[2012·四川卷] 如图 1-6 所示,在三棱锥 P-ABC 中,∠APB=90°,∠PAB=
60°,AB=BC=CA,平面 PAB⊥平面 ABC.
图 1-6
(1)求直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小;
(2)求二面角 B-AP-C 的大小.
19.解:解法一:
(1)设 AB 的中点为 D,AD 的中点 O,连结 PO、CO、CD.由已知,△PAD 为等边三角
形.
所以 PO⊥AD.
又平面 PAB⊥平面 ABC,平面 PAB∩平面 ABC=AD,所以 PO⊥平面 ABC.
所以∠OCP 为直线 PC 与平面 ABC 所成的角.
不妨设 AB=4,则 PD=2,CD=2 3,OD=1,PO= 3.
在 Rt△OCD 中,CO= OD2+CD2= 13.
所以,在 Rt△POC 中,tan∠OCP=PO
CO
= 3
13
= 39
13 .
故直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小为 arctan 39
13 .
(2)过 D 作 DE⊥AP 于 E,连结 CE.
由已知可得,CD⊥平面 PAB.
根据三垂线定理知,CE⊥PA.
所以∠CED 为二面角 B-AP-C 的平面角.
由(1)知,DE= 3.
在 Rt△CDE 中,tan∠CED=CD
DE
=2 3
3
=2.
故二面角 B-AP-C 的大小为 arctan2.
解法二:(1)设 AB 的中点为 D,作 PO⊥AB 于点 O,连结 CD.
因为平面 PAB⊥平面 ABC,平面 PAB∩平面 ABC=AD,所以 PO⊥平面 ABC.
所以 PO⊥CD.
由 AB=BC=CA,知 CD⊥AB.
设 E 为 AC 中点,则 EO∥CD,从而 OE⊥PO,OE⊥AB.
如图,以 O 为坐标原点,OB、OE、OP 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标
系 O-xyz.不妨设 PA=2,由已知可得,AB=4,OA=OD=1,OP= 3,CD=2 3.
所以 O(0,0,0),A(-1,0,0),C(1,2 3,0),P(0,0, 3).
所以CP→=(-1,-2 3, 3),而OP→ =(0,0, 3)为平面 ABC 的一个法向量.
设α为直线 PC 与平面 ABC 所成的角,
则 sinα=| CP→·OP→
|CP→|·|OP→ ||=|0+0+3
16· 3 |= 3
4 .
故直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小为 arcsin 3
4 .
(2)由(1)有,AP→=(1,0, 3),AC→=(2,2 3,0),
设平面 APC 的一个法向量为 n=(x1,y1,z1),则
n⊥AP→,
n⊥AC→ ⇔
n·AP→=0,
n·AC→=0
⇔ x1,y1,z1·1,0, 3=0,
x1,y1,z1·2,2 3,0=0.
从而 x1+ 3·z1=0,
2x1+2 3·y1=0.
取 x1=- 3,则 y1=1,z1=1,所以 n=(- 3,1,1).
设二面角 B-AP-C 的平面角为β,易知β为锐角.
而面 ABP 的一个法向量为 m=(0,1,0),则
cosβ=| n·m
|n|·|m||=| 1
3+1+1|= 5
5 .
故二面角 B-AP-C 的大小为 arccos 5
5 .
6.G12[2012·四川卷] 下列命题正确的是( )
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
6.C [解析] 对于 A,可以考虑一个圆锥的两条母线与底面所成角都相等,但它们不
平行,A 错.
对于 B,当三个点在同一条直线上,且该直线平行于一个平面时,不能保证两个平面平
行;或者当其中两个点在平面一侧,第三点在平面异侧,且它们到平面距离相等,也不能保
证两个平面平行,故 B 错.
对于 C,记平面外的直线为 a,两平面记为α、β,它们的交线为 l.过 a 作平面γ与平面α
相交于 b,并使得 b 不在β内,由 a∥α,可知 a∥b,又 a∥β,故 b∥β.过 b 的平面α与β相交
于 l,由线面平行的性质定理可得:b∥l,再由公理可得:a∥l.C 正确.
对于 D,观察一个正方体共顶点的三个面,即可知 D 错误.
10.G12[2012·江西卷] 如图 1-2,已知正四棱锥 S-ABCD 所有棱长都为 1,点 E 是侧
棱 SC 上一动点,过点 E 垂直于 SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分,记 SE=x(0
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