2019衡水名师原创理科数学专题卷：专题十一《立体几何》 23页

‎2018衡水名师原创理科数学专题卷 专题十一 立体几何 考点33：空间几何体的结构特征、三视图、直观图表面积和体积(1-8题,13-15题，17-19题)‎ 考点34：空间点、线、面的位置关系（9,10题）‎ 考点35：直线、平面平行的判定与性质(16,20题）‎ 考点36：直线、平面垂直的判定与性质（17-19,21,22题）‎ 考点37：与空间角和距离有关的计算（11,12题，20-22题）‎ 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。）‎ ‎1．【来源】2017届湖南省衡阳市高三上学期期末考试 考点33 易 若正三棱锥的正视图与俯视图如下图所示，则它的侧视图的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.【2017课标3，理8】考点33 中难 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．【2017课标1，理7】考点33 中难 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）‎ A．10 B．12 C．14 D．16‎ 4． ‎【2017课标II，理4】考点33 中难 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）‎ A． ‎ B． C． D． ‎ ‎5．【来源】2017届山西省五校联考 考点33 中难 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎6．【来源】2017届河北省衡水中学高三上学期六调 考点33 难 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱长等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．【来源】2017届湖南长沙雅礼中学高三理月考四 难 如图，正方体的棱长为，以顶点为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交得到的两段弧长之和等于（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎8．【来源】2015仿照新课标卷一 冲刺卷理科数学1试卷 考点33 难.‎ 已知几何体的三视图（单位：cm）如图所示，‎ 则该几何体的内切球的半径为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．【来源】2016届浙江省宁波市高三上学期期末考试数学试卷 考点34 易 已知m,n是两条不同的直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若 ，则 ‎10．【来源】2016届浙江省宁波市高三上学期期末考试 考点34 难 如图，在正方形ABCD中，点E,F分别为边BC,AD的中点，将沿BF所在直线进行翻折，将沿DE所在直线进行翻折，在翻折过程中（ ）‎ A. 点A与点C在某一位置可能重合 B. 点A与点C的最大距离为 C. 直线AB与直线CD可能垂直 D. 直线AF与直线CE可能垂直 11. ‎【2017课标II，理10】 考点37 易 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.【来源】2012-2013学年福建省师大附中高二上学期期末考试 考点37 中难 如图，已知正方形的边长为，分别是的中点，⊥平面，且，则点到平面的距离为 （ ）‎ A． ‎ B． C． D．1‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．【2017山东，理13】考点33 易 由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .‎ ‎14．【来源】2016-2017学年江苏扬州中学高二上开学考试 考点33 中难 在棱长为1的正方体中，为的中点，在面中取一点，使最小，则最小值为__________． ‎ 15． ‎【2017课标1，理16】考点33 难 如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.‎ ‎16．【来源】2017届安徽师大附中学高三上学期期中 考点35 难 正方体中, 是棱的中点, 是侧面内的动点,且平面,若正方体的棱长是2,则的轨迹被正方形截得的线段长是________.‎ 三.解答题（共70分）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ ‎【来源】2017届广东省高三上学期阶段性测评一 考点33 考点36 易 如图，三棱锥中，，底面为正三角形．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若平面，，，求三棱锥的体积．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎【来源】2016-2017学年河北枣强中学高二12月月考 考点33 考点36 中难 菱形的边长为3，与交于，且，将菱形沿对角线折起得到三棱锥（如图），点是棱的中点，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎【来源】2017届福建连城县二中高三理上学期期中 考点33 考点36 中难 如图，已知中，，，平面，，、分别是、上的动点，且（）．‎ ‎（1）判断与平面的位置关系并证明；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎【2017课标II，理19】考点35 考点37 易 如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点。‎ ‎（1）证明：直线平面PAB；‎ ‎（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值。‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎【2017课标1，理18】考点36 考点37 中难 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ ‎【2017课标3，理19】 考点36 考点37 中难 如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．‎ ‎（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；‎ ‎（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.‎ 参考答案 ‎1．D ‎【解析】由题意，此物体的侧视图如图．根据三视图间的关系可得侧视图中底，高为， ∴，故选D.‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】‎ ‎3.【答案】B ‎【解析】‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】由题意知该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积为，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积为，该组合体体积为：，故选B.‎ ‎5．A ‎【解析】该几何体为长方体挖去了一个圆锥，圆锥的底面半径为1，母线长为2，几何体的表面积为，故选A.‎ ‎6．B ‎【解析】由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，‎ 由直观图可知，最长的棱为. ‎ ‎7．A ‎【解析】如图，球面于正方体的两个面都相交，所得的交线分别为两类，一类在顶点 所在的是三个面上，即、面和面上，另一类在不过顶点的三个面上，即、面和面上，在面上，交线为弧且过球心的大圆上，因为，则，同理，所以，所以弧的长为，而这样的弧共有三条，在面上，交线为弧且在距离球心为的平面上与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为，半径为，所以，所以弧的长为，于是所得曲线的长为，故选A.‎ ‎8. B ‎【解析】：由三视图知：几何体为棱锥，如图 可知，四棱锥的全面积为，设四棱锥的内切球的半径为，可知 ‎9．D ‎【解析】A不正确，因为垂直于同一条直线的两个平面平行；B 不正确，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交；C 平行于同一条直线的两个平面平行或相交；D正确.‎ ‎10．D ‎【解析】A不正确，点A,C恒不重合；B不成立，点A和点C的最大距离是正方形ABCD的对角线；C不正确，不可能垂直；D.当平面平面时，平面平面，直线和直线垂直，故选D.‎ ‎11.【答案】C ‎【解析】如图所示，补成四棱柱,‎ 则所求角为 ‎ 因此，故选C。‎ ‎12.B ‎【解析】以C为原点CD为x轴CB为y轴CG为z轴建立空间坐标系， 所以平面的一个法向量为 ‎13．【答案】‎ ‎14． ‎ ‎【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则，因关于平面的对称点为，由题设可知当三点共线时，最小，其最小值为,故应填答案.‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】如下图所示，设正三角形边长为，则，，‎ 三棱锥体积 通过求导可知 当时，.‎ ‎16． ‎ ‎【解析】如下图所示，设平面与直线交与点，连接，则为的中点，分别取的中点，连接，因为,则平面,同理可得平面,所以平面平面,由于平面，所以平面,所以点的轨迹被正方形截得的线段是其长度是 ‎17．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明：取的中点，连接，，‎ ‎∵，AC⊥BO,PO∩BO=O ∴，‎ 又，∴，∴． ……………………(5分)‎ ‎（Ⅱ）平面且交于，，‎ ‎∴，即为三棱锥的高．‎ 又，，，∴，‎ ‎∴．则三棱锥的体积为．…………………(10分)‎ ‎18．（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）证明：由题意，，‎ 因为，所以，，‎ 又因为菱形，所以，‎ 因为，所以平面，‎ 因为平面，所以平面平面．……………………(6分)‎ ‎（2）解：三棱锥的体积等于三棱锥的体积，‎ 由（1）知，平面，‎ 所以为三棱锥的高，的面积为，‎ 所求体积等于．……………………(12分)‎ ‎19．（1）平面，证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）平面．‎ 证明：因为平面，所以，‎ 又在中，，所以，又，‎ 所以平面，……………………(4分)‎ 又在中，、分别是、上的动点，且（），‎ 所以，‎ 因为平面，所以平面，‎ 所以，不论为何值，总有平面．……………………(6分)‎ ‎（2）解：在中，，，所以，‎ 又平面，所以，，‎ 又在中，，所以，……………………(8分)‎ 由（1）知平面，……………………(9分)‎ 所以，‎ 所以，三棱锥的体积是． ……………………(12分)‎ ‎20.【答案】(1)证明略；(2) 。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）取的中点，连结，。‎ 因为是的中点，所以∥, ,由得∥，又,所以。四边形为平行四边形，∥。‎ 又平面，平面，故平面。‎ ‎（2）由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，,，‎ 设则，‎ 因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，‎ 所以，，‎ 即。 ①‎ 又M在棱PC上，设,则 ‎ ‎。 ②‎ ‎21.（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.‎ 由于AB∥CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD.‎ 又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.……………………(4分)‎ 由（1）及已知可得，，，.‎ 所以，，，.‎ 设是平面的法向量，则 ‎，即，‎ 可取.‎ 设是平面的法向量，则 ‎，即，‎ 可取.‎ 则，‎ 所以二面角的余弦值为.………………(12分）‎ ‎21．(1)证明见解析；(2) .‎ ‎【解析】（1）证明：在矩形中，连线和交于点，连接，则是的中点，由于是的中点，所以是的中位线，则，‎ 又平面，平面，所以平面，‎ 又，同理得平面，‎ 因为，所以平面平面.……………………(6分)‎ ‎（2）∵平面，∴.‎ 在中，∵，，∴，‎ ‎∴，∴，∴.‎ 过作交于，则.……………………(8分)‎ ‎∵底面，∴底面，……………………(9分)‎ ‎∴.……………………(12分)‎ ‎22．【答案】(1)证明略；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎ ……………………(4分)‎ ‎（2）‎ 由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则 ‎ ‎ 由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得.故 ‎………………(12分)‎