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- 2021-06-24 发布
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2018衡水名师原创理科数学专题卷
专题八 平面向量
考点21:平面向量的概念、线性运算与基本定理(1-5题,13,14题,17,18题)
考点22:平面向量的数量积及其应用(6-9题,15题,19,20题)
考点23:平面向量的综合应用(10-12题,16题,21,22题)
考试时间:120分钟 满分:150分
说明:请将选择题正确答案填写在答题卡上,主观题写在答题纸上
第I卷(选择题)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的。)
1.【来源】2017届河北定州中学高三高补班周练 考点21 易
已知是的边上的中线,若、,则等于( )
A. B.
C. D.
2.【来源】2017届河北衡水中学高三文上学期四调考 考点21 易
设向量,若向量与平行,则( )
A. B. C. D.
3.【来源】2017届湖北省部分重点中学届高三理联考一 考点21 中难
已知是所在平面内一点,若,则与的面积的比为( )
A. B. C. D.
4.【来源】2017届四川绵阳市高三一诊考试 考点21 难
如图,矩形中,,,是对角线上一点,,过点的直线分别交的延长线,,于.若, ,则的最小值是( )
A. B. C. D.
5.【2017课标3,理12】 考点21 难
在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若= +则+的最大值为( )
A.3 B.2 C. D.2
6.【2017北京,理6】 考点22 易
设m,n为非零向量,则“存在负数,使得”是“”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
7.【来源】2017届福建龙岩市五校高三文上学期期中联考 考点22 易
已知向量与的夹角为,则在方向上的投影为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.【2017课标II,理12】 考点22 中难
已知是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小是( )
A. B. C. D.
9.【来源】2017届黑吉两省八校高三上学期期中 考点22 中难
已知非零向量,的夹角为,且满足,则的最大值为( )
A. B. C. D.
10.【来源】2017届河南豫北名校联盟高三文上精英对抗赛 考点23 中难
已知的外接圆半径为1,圆心为点,且,则的面积为( )
A. B. C. D.
11.【来源】2017届浙江杭州地区四校高三上学期联考 考点23 难
已知向量,,满足,,若,则的最小值是( )
A. B. C.1 D.2
12.【来源】2016-2017学年江西赣州市十三县十四校高二文上期中联考 考点23 难
已知,若P点是△ABC所在平面内一点,且,则的最大值等于( ).
A.13 B.15 C.19 D.21
第Ⅱ卷(非选择题)
二.填空题(每题5分,共20分)
13.【来源】2017届河南新乡一中高三9月月考 考点21 易
已知是所在平面内一点,为的中点,若,且与的面积相等,则实数的值为___________.
14.【来源】2017届河北衡水中学高三上学期第二次调研 考点21 易
如图,正方形中,分别是的中点,若,则 .
15. 【2017课标1,理13】 考点22 易
已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则| a +2 b |= .
16.【来源】2016届江西新余市高三第二次模拟 考点23 难
在等腰直角中,,,为边上两个动点,且满足,则的取值范围为 .
三.解答题(共70分)
17.(本小题满分10分)
【来源】2016届吉林省实验中学高三第五次模拟考试 考点21 易
已知,其中,,.
(Ⅰ)求的单调递减区间;
(Ⅱ)在中,角所对的边分别为,,,且向量与共线,求边长和的值.
18.(本小题满分12分)
【来源】2016届安徽省六安市一中高三上学期第四次月考 考点21 中难
在直角坐标系中,已知点,点在中三边围成的区域(含边界)上,且.
(1)若,求;
(2)用表示并求的最大值.
19.(本小题满分12分)
【来源】2016届甘肃省定西市通渭县榜罗中学高三上学期期末 考点22 易
(2013•辽宁)设向量,,.
(1)若,求x的值;
(2)设函数,求f(x)的最大值.
20.(本小题满分12分)
【来源】2016届辽宁省实验中学分校高三上学期期中 考点22 中难
如图,在平面直角坐标系中,点A在轴的正半轴上,直线AB的倾斜角为,设.
(Ⅰ)用表示点的坐标及||;
(Ⅱ)若的值.
21.(本小题满分12分)
【来源】2016届河北省武邑中学高三上学期期末考试 考点23 中难
已知的面积为,且.
(1)求的值;
(2)若,,求的面积.
22.(本小题满分12分)
【来源】2016届江西省吉安市一中高三第二次质检 考点23 难
已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)设轨迹上一动点满足:,其中是轨迹上的点,直线与的斜率之积为,若为一动点,,为两定点,求的值.
参考答案
1.C
【解析】以为邻边作平行四边形,则,因为是中点,所以是的中点,则,故选C.
2.B
【解析】,因为向量与平行,所以,解之得,故选B.
3.A
【解析】在线段上取使,则,过作直线使,在上取点使,过作的平行线,过作的平行线,设交点为,则由平行四边形法则可得,设的高线为,的高线,由三角形相似可得,∵与有公共的底边,∴与的面积的比为,故选:A.
4.C
【解析】,设,则,又,所以,因此
,
当且仅当且,即时取等号,选C.
5.【答案】A
【解析】如图所示,建立平面直角坐标系
6.【答案】A
【解析】若,使,即两向量反向,夹角是,那么,若,那么两向量的夹角为,并不一定反向,即不一定存在负数,使得,所以是充分不必要条件,故选A.
7.A
【解析】∵向量与的夹角为,∴,∴在方向上的投影为.故选:A.
8. 9.B
【解析】因为向量的夹角为,且,
所以,
即,即的最大值为,故选B.
10.C
【解析】,由得,两边平方得,同理,由得,和,两个式子平方可得.所以,所以.
11.A.
【解析】由题意得,,故如下图建立平面直角坐标系,设,,,
∴,其几何意义为以点为圆心,为半径的圆,故其到点的距离的最小值是,故选A.
12.A
【解析】由题意建立如图所示的坐标系,
可得A(0,0),B(,0),C(0,t),
∵,∴P(1,4),∴,
∴,
由基本不等式可得,∴,
当且仅当即时取等号,∴的最大值为13
13.
【解析】因为为的中点,所以,又因为,,又与的面积相等,为的中点,即,故答案为.
14.
【解析】设正方形边长为,以为坐标原点建立平面直角坐标系,,故,解得.
15.【答案】
【解析】
所以.
16.
【解析】如图,分别以所在边的直线为轴, 轴建立直角坐标系,则,直线的方程为,设,,则,所以, ,由于,所以当时有最小值为,或时有最大值为,故答案为.
17.(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)由题意知.
在上单调递减,
令,得
的单调递减区间………………………(5分)
(Ⅱ),,又,
即.
,由余弦定理得=7.
因为向量与共线,所以,
由正弦定理得..………………………(10分)
18.(1);(2)的最大值为1.
【解析】
(1)由已知,所以,。………………………(4分)
(2)由已知得,∴,,
………………………(8分)
∴.由简单线性规划的思想可得的最大值为1.………………………(12分)
19.(1)x=.(2)
【解析】(1)由题意可得 =+sin2x=4sin2x, =cos2x+sin2x=1,
由,可得 4sin2x=1,即sin2x=.
∵x∈[0,],∴sinx=,即x=.………………………(4分)
(2)∵函数=(sinx,sinx)•(cosx,sinx)=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin(2x﹣)+.………………………(8分)
x∈[0,],∴2x﹣∈[﹣,],
∴当2x﹣=,sin(2x﹣)+取得最大值为1+=.………………………(12分)
20.(Ⅰ)点的坐标为 ;(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)由三角函数的定义,得点的坐标为
在
由正弦定理,得 即,所以
注:若用直线方程求得也得分.………………………(6分)
(Ⅱ)由(1)得
因为,所以
又
所以………………………(12分)
21.(1);(2)
【解析】(1)设的角所对应的边分别为,
∵,∴,∴,∴.
∴.………………………(6分)
(2),即,
∵,,∴,.
∴.…………(8分)
由正弦定理知:, ………………………(10分)
. ………………………(12分)
22.(1);(2).
【解析】(1)点到直线的距离是到点的距离的倍,则
,化简得.………………………(4分)
(2)设,,,则由得,
,
因为点在椭圆上,所以,,,
故
设,分别为直线,的斜率,
由题意知,,因此,………………………(10分)
所以,所以点是椭圆上的点,而,恰为该椭圆的左右焦点,所以由椭圆的定义,.………………………(12分)