高考数学复习专题练习第5讲 抛物线 9页

第5讲 抛物线 一、选择题 ‎1．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为 (　　)．‎ A. B．‎1 ‎ C. D. 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝3，∵p＝，∴x1＋x2＝，∴线段AB的中点的横坐标为＝.‎ 答案　C ‎2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为(　　)‎ A. B．1‎ C．2 D．4‎ 解析 由y2＝2px，得抛物线准线方程x＝－，‎ 圆x2＋y2－6x－7＝0可化为(x－3)2＋y2＝16，‎ 由圆心到准线的距离等于半径得：3＋＝4，所以p＝2.‎ 答案 C ‎3．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝ (　　)．‎ A. B. C．－ D．－ 解析　由得x2－5x＋4＝0，∴x＝1或x＝4.不妨设A(4,4)，B(1，－2)，则||＝5，||＝2，·＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos∠AFB＝＝＝－ ‎.故选D.‎ 答案　D ‎4．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)．‎ A．x2＝y B．x2＝y C．x2＝8y D．x2＝16y 解析　∵－＝1的离心率为2，∴＝2，即＝＝4，∴＝.x2＝2py的焦点坐标为，－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.由题意，得＝2，∴p＝8.故C2：x2＝16y，选D.‎ 答案　D ‎5． 设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)‎ A．(0,2) B．[0,2]‎ C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)‎ 解析 设圆的半径为r，‎ 因为F(0,2)是圆心，抛物线C的准线方程为y＝－2，‎ 由圆与准线相交知4＜r，‎ 因为点M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，‎ 所以有x＝8y0，‎ 又点M(x0，y0)在圆x2＋(y－2)2＝r2上，‎ 所以x＋(y0－2)2＝r2＞16，‎ 所以8y0＋(y0－2)2＞16，‎ 即有y＋4y0－12＞0，‎ 解得y0＞2或y0＜－6，‎ 又因为y0≥0，所以y0＞2.‎ 答案 C ‎6．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为(　　)‎ A. B. C. D．2 解析 由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＞0，y2＜0)，如图所示，|AF|＝x1＋1＝3，∴x1＝2，y1＝2.‎ 设AB的方程为x－1＝ty，由消去x得y2－4ty－4＝0.‎ ‎∴y1y2＝－4.∴y2＝－，x2＝，∴S△AOB＝×1×|y1－y2|＝，故选C.‎ 答案 C 二、填空题 ‎7．设斜率为1的直线l过抛物线y2＝ax(a>0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为8，则a的值为________．‎ 解析　依题意，有F，直线l为y＝x－，所以A，△OAF的面积为××＝8.解得a＝±16，依题意，只能取a＝16.‎ 答案　16‎ ‎8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面‎2米，水面宽‎4米．水位下降‎1米后，水面宽________米．‎ 解析　如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py.由题意A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2‎ ‎＝－2y中，得x＝，故水面宽为‎2‎米．‎ 答案　2 ‎9．过抛物线y＝8x2的焦点作直线交抛物线于A，B两点，线段AB的中点M的纵坐标为2，则线段AB的长为________．‎ 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4.‎ 又∵y＝8x2即x2＝y，∴2p＝，p＝，‎ ‎∴|AB|＝y1＋y2＋p＝.[来源:Zxxk.Com]‎ 答案 ‎10．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B为该抛物线上两点，若＋2＝0，则||＋2||＝________.‎ 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由焦点弦性质，y1y2＝－p2(*)，由题＋2＝0，得(x1－1，y1)＋2(x2－1，y2)＝(0,0)，∴y1＋2y2＝0，代入(*)式得－＝－p2，‎ ‎∴y＝2p2，‎ ‎∴x1＝＝2，∴||＝x1＋＝3，‎ 又∵||＝2||，∴2||＝3，∴||＋2||＝6.[来K]‎ 答案 6‎ 三、解答题 ‎11．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切．‎ ‎(1)求a与b；‎ ‎(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型．‎ 解　(1)由e＝＝ ＝，得＝.‎ 又由原点到直线y＝x＋2的距离等于椭圆短半轴的长，得b＝，则a＝.‎ ‎(2)法一　由c＝＝1，得F1(－1,0)，F2(1,0)．‎ 设M(x，y)，则P(1，y)．‎ 由|MF1|＝|MP|，得(x＋1)2＋y2＝(x－1)2，即y2＝－4x，所以所求的M的轨迹方程为y2＝－4x，该曲线为抛物线．‎ 法二　因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以|MF1|＝|MP|，即M到F1的距离等于M到l1的距离．此轨迹是以F1(－1,0)为焦点，l1：x＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝－4x.‎ ‎12．已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设＝λ.‎ ‎(1)若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；‎ ‎(2)若λ∈，求|PQ|的最大值．‎ ‎ (1)证明　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)．‎ ‎∵＝λ，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2，‎ ‎∴y＝λ2y，y＝4x1，y＝4x2，x1＝λ2x2，‎ ‎∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1)，λx2(λ－1)＝λ－1，‎ ‎∵λ≠1，∴x2＝，x1＝λ，又F(1,0)，‎ ‎∴＝(1－x1，y1)＝(1－λ，λy2)‎ ‎＝λ＝λ，‎ ‎∴直线MQ经过抛物线C的焦点F.‎ ‎(2)由(1)知x2＝，x1＝λ，‎ 得x1x2＝1，y·y＝16x1x2＝16，‎ ‎∵y1y2>0，∴y1y2＝4，‎ 则|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2‎ ‎＝x＋x＋y＋y－2(x1x2＋y1y2)‎ ‎＝2＋4－12‎ ‎＝2－16，‎ λ∈，λ＋∈，‎ 当λ＋＝，即λ＝时，|PQ|2有最大值，|PQ|的最大值为.‎ ‎13．设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．‎ ‎(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4 ，求p的值及圆F的方程；‎ ‎(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．‎ 解　(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝p.‎ 由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝ p.‎ 因为△ABD的面积为4 ，所以|BD|·d＝4 ，‎ 即·2p· p＝4 ，解得p＝－2(舍去)或p＝2.‎ 所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.‎ ‎(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.‎ 由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝|AB|.‎ 所以∠ABD＝30°，m的斜率为或－.‎ 当m的斜率为时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x2＝2py得x2－px－2pb＝0.‎ 由于n与C只有一个公共点，故Δ＝p2＋8pb＝0，‎ 解得b＝－.‎ 因为m的纵截距b1＝，＝3，‎ 所以坐标原点到m，n距离的比值为3.‎ 当m的斜率为－时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.‎ 综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.‎ ‎14．如图，过抛物线x2＝4y的对称轴上任一点P(0，m)(m＞0)作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点．‎ ‎(1)设点P满足＝λ(λ为实数)，证明：⊥(－λ)；‎ ‎(2)设直线AB的方程是x－2y＋12＝0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．‎ 解 (1)证明：依题意，可设直线AB的方程为y＝kx＋m，代入抛物线方程x2＝4y，得：x2－4kx－‎4m＝0①‎ 设A、B两点的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，‎ 所以，x1x2＝－‎4m.由点P满足＝λ(λ为实数，λ≠－1)，得＝0，即λ＝－.‎ 又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是(0，－m)，从而＝(0,‎2m)．‎ －λ·＝(x1，y1＋m)－λ(x2，y2＋m)＝(x1－λx2，y1－λy2＋(1－λ)m)．‎ ·(－λ)＝‎2m[y1－λy2＋(1－λ)m]‎ ‎＝‎2m ‎＝‎2m(x1＋x2)· ‎＝‎2m(x1＋x2)·＝0，‎ 所以⊥(－λ)．‎ ‎(2)由得点A、B的坐标分别是(6,9)，(－4,4)．‎ 由x2＝4y得y＝x2，y′＝x，‎ 所以，抛物线x2＝4y在点A处切线的斜率为y′|x＝6＝3.‎ 设圆C的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，‎ 则 解得：a＝－，b＝，r2＝(a＋4)2＋(b－4)2＝.‎ 所以，圆C的方程是2＋2＝.‎