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  • 2021-06-24 发布

2020届二轮复习数列求和(含通项公式与求和习题教案(全国通用)

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微专题54 数列求和问题 数列求和问题是高考数列中的一个易考类型,在已知通项公式的前提下,要通过观察通项公式(或者项)的特点决定选择哪种方法进行求和。考查学生的观察能力与辨析能力。所以在复习的过程中要抓住每种求和方法相对应的通项公式特点,并在练习中熟悉解法 一、基础知识:‎ ‎1、根据通项公式的特点求和:‎ ‎(1)等差数列求和公式: ‎ ‎ ‎ ‎(2)等比数列求和公式: ‎ ‎(3)错位相减法:‎ 通项公式特点:等差等比,比如,其中代表一个等差数列的通项公式(关于的一次函数),代表一个等比数列的通项公式(关于的指数型函数),那么便可以使用错位相减法 方法详解:以为例,设其前项和为 ‎ ‎① 先将写成项和的形式 ‎ ‎② 两边同时乘以等比部分的公比,得到一个新的等式,与原等式上下排列 ‎ ‎ ‎ ,发现乘完公比后,对比原式项的次数,新等式的每项向后挪了一位。‎ ‎③ 然后两式相减: 除了首项与末项,中间部分呈等比数列求和特点,代入公式求和,再解出即可 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 对“错位相减法”的深层理解:通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用?通过解题过程我们可以发现:等比的部分使得每项的次数逐次递增,才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果。而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致(其系数即为等差部分的公差),从而可圈在一起进行等比数列求和。体会到“错位”与“相减”所需要的条件,则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和 ‎(4)裂项相消:‎ 通项公式特点:的表达式能够拆成形如的形式(),从而在求和时可以进行相邻项(或相隔几项)的相消。从而结果只存在有限几项,达到求和目的。其中通项公式为分式和根式的居多 方法详解:以为例 ‎① 裂项:考虑(这里),在裂项的过程中把握两点:一是所裂两项要具备“依序同构”的特点,比如这里的结构相同,且分母为相邻的两个数;二是可以先裂再调:先大胆的将分式裂成两项的差,在将结果通分求和与原式进行比较并调整(调整系数),比如本题中,在调整系数使之符合通项公式即可 ‎② 求和:设前项和为 ‎ ‎,求和的关键在于确定剩下的项。通过观察可发现正项中没有消去,负项中没有消去。‎ 所以 一般来说,裂开的项中有个正项,个负项,且由于消项的过程中是成对消掉。所以保留项中正负的个数应该相同。‎ ‎(5)分类求和:如果通项公式是前几种可求和形式的和与差,那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和后,再将结果进行相加。‎ 例: ‎ 可知通项公式为,那么在求和的过程中可拆成3部分:分别求和后再相加 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2、根据项的特点求和:‎ ‎ 如果数列无法求出通项公式,或者无法从通项公式特点入手求和,那么可以考虑观察数列中的项,通过合理的分组进行求和 ‎(1)利用周期性求和:如果一个数列的项按某个周期循环往复,则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和,再统计前项和中含多少个周期即可 ‎(2)通项公式为分段函数(或含有 ,多为奇偶分段。若每段的通项公式均可求和,则可以考虑奇数项一组,偶数项一组分别求和,但要注意两点:一是序数的间隔(等差等比求和时会影响公差公比),二是要对项数的奇偶进行分类讨论(可见典型例题);若每段的通项公式无法直接求和,则可以考虑相邻项相加看是否存在规律,便于求和 ‎(3)倒序相加:若数列中的第项与倒数第项的和具备规律,在求和时可以考虑两项为一组求和,如果想避免项数的奇偶讨论,可以采取倒序相加的特点,即:‎ ‎ ‎ ‎ 两式相加可得:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二、典型例题 例1:已知函数,求:‎ ‎ ‎ 思路:观察可发现头尾的自变量互为倒数,所以考虑其函数值的和是否具备特点。即,所以考虑第个与倒数第个放在一起求和,可用倒序相加法 解: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 小炼有话说:此类问题要抓自变量之间的联系,并尝试发现其函数值的和是否有特点(常数或者与相关),本题求和的项就呈现出倒数关系。另外在求和过程中倒序相加的方法可以有效地避免项数的奇偶讨论。‎ 例2:设数列满足 ‎ ‎(1)求数列的通项公式 ‎(2)令,求数列的前项和 ‎ 解:(1)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)思路:由(1)可得:,尽管整个通项公式不符合任何一种求和特征,但可以拆成,在求和的过程中分成三组分别求和,再汇总到一起。‎ 解: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例3:已知数列满足,且对于,设的前项和为,则_________‎ 思路:原递推公式很难再有变化,考虑向后再写一个式子进行变形。,两式相减可得: ,由可得:,为周期是3的数列,所以求和时可先求出一个周期中项的和,再看中含多少周期即可。‎ 解:①‎ ‎②‎ ‎①②得:‎ ‎ ‎ 为周期是3的数列 在①中令 解得: ‎ ‎ ‎ 而 ‎ 答案: ‎ 例4:已知是等差数列,其前项和为,是等比数列,且 ‎(1)求数列与的通项公式 ‎(2)记,求证: ‎ 解:(1)设的公差为,的公比为 则 ‎ ‎ ‎ 即,解得: ‎ ‎ ‎ ‎(2)思路:虽然所涉及数列通项公式不是“”形式,但观察到中的项具备“等差等比”的特点,所以考虑利用错位相减法求出 ,再证明等式即可 解: ①‎ ‎ ②‎ ‎②①‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所证恒等式左边 ‎ 右边 即左边右边 所以不等式得证 例5:已知数列为等差数列,其前项和为,且,数列 ‎ ‎(1)求的通项公式 ‎(2)求数列的前项和 ‎ 解:(1) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)思路:由(1)可得:,所以在求和时首先要考虑项数是否大于5,要进行分类讨论,其次当,求和可分成组分别求和再汇总 解:‎ 当时, ‎ 当时, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例6:(2018,桐乡市校级期中):设数列,其前项和,为单调递增的等比数列,, ‎ ‎(1)求数列的通项公式 ‎(2)若,求数列的前项和 ‎ 解:(1)时, ‎ 时,符合上式 ‎ ‎ 为等比数列 ‎ ‎ 设的公比为,则 ‎ 而 ‎ 解得:或 单调递增 ‎ ‎(2)思路:由(1)可得:,观察到分母为两项乘积,且具备“依序同构”的特点,所以联想到进行裂项相消,考虑,刚好为,所以直接裂项然后相消求和即可 解:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例7:已知等差数列的首项,公差,前项和为 ‎ ‎(1)若成等比数列,求数列的前项和 ‎ ‎(2)若对一切恒成立,求的取值范围 ‎(1)思路:先利用已知条件求出的通项公式,然后用错位相减法求和 解:成等比数列 ‎,代入可得:‎ ‎ 由可得: ‎ ‎ ‎ ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎①②‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)思路:虽然不知道的通项公式,但根据其等差数列特征可得: ‎ 所以,从而可将不等式的左边通过裂项相消求和,然后根据不等式恒成立解的范围即可 解:‎ ‎ ‎ 对一切均成立 ‎ 设,由可得:为增函数 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例8:已知数列,其中相邻的两个被隔开,第对之间有个,则该数列的前项的和为__________‎ 思路:本题求和的关键是要统计一共有多少个1,多少个2相加。那么首先应该确定第的位置,(即位于第几对1中的第几个2),可将1个与之后个划为一组,则第组数中含有个数。即,可估算出,所以即该数列的第项位于第组第10个数。可分析前48组中含有48个1,含有个,在第49组中有1个1,9个2,所以前项和为 ‎ 答案:2419‎ 小炼有话说:对于这种“规律性”(不含通项公式)的数列,首先要抓住此数列中数排列的规律,并根据规律确定出所求和的最后一项的位置。再将求和中的项进行合理分组使之可以进行求和,再汇总即可。‎ 例9:已知是数列的前项和,且 ‎(1)求证:数列为等比数列 ‎(2)设,求数列的前项和 解:(1) ①‎ ‎ ②‎ ‎①②可得: ‎ 即 为的等比数列 ‎(2)思路:若要求和,需要先求出的通项公式。所以先利用(1)构造等比数列求出,从而得到,对于,处理方式既可以将进行奇偶分类,进而分组求和,也可放入到通项公式中进行求和 解:由(1)可得:‎ 令代入 ‎ ‎ ‎ ‎ 方法一:直接求和 ‎ 设 小炼有话说:本题虽然可以直接求和,但是过程和结果相对形式比较复杂 方法二:分组求和 当为偶数时 当为奇数时 ‎ ‎ 小炼有话说:本题在分组求和时要注意以下几点 ‎(1)相邻两项一组,如果项数为奇数,那么会留出一项,项数为偶数,那么刚好分组。所以要对项数进行奇偶的分类讨论 ‎(2)在项数为偶数的求和过程中要注意的取值变化不再是,而是所以求和时的公比和求和的项数会对应发生改变。‎ ‎(3)在项数为奇数的求和中可利用前面的结论,简化求和过程 方法三:分奇数项偶数项分别求和 当为偶数时:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 同理:当为奇数时 ‎ ‎ 例10:已知等差数列的公差为,前项和为,且成等比数列 ‎(1)求的通项公式 ‎(2)令,求数列的的前项和 解:(1)成等比数列 ‎ 即 解得: ‎ ‎(2)思路:由第(1)问可得:,考虑相邻项作和观察规律:为偶数时,‎ ‎,然后再进行求和即可 解:‎ 为偶数时,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 为奇数时:‎ ‎ ‎ 综上所述:‎ 小炼有话说:本题还可以直接从入手:‎ 尽管裂开不是两项作差,但依靠在求和过程中也可达到相邻项相消的目的。进而根据项数的奇偶进行讨论求和。‎ 三、历年好题精选 ‎1、把等差数列依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,第四个括号一个数……,循环分为则第个括号内各数之和为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2、数列满足,则的前60项和为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3、(2018,山东青岛12月月考)设,则在中,正数的个数是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4、(2018,长沙一中月考)已知数列是等差数列,数列是等比数列,公比为,数列中,,是数列的前项和。若(为正偶数),则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5、若数列满足,则数列的通项公式为____‎ ‎6、(2018,新课标II)设是数列的前项和,且,则____‎ ‎7、(2018,江苏)数列满足,且,则数列的前 项和为_________‎ ‎8、在等差数列中,,其前项和为,等比数列的各项均为正数,,公比为,且 ‎(1)求 ‎(2)设数列满足,求的前项和 ‎9、(2018,广东文)设数列的前项和为,已知,且当时, ‎ ‎(1)求的值 ‎(2)证明:为等比数列 ‎(3)求数列的通项公式 ‎10、(2018,天津)已知数列满足,,且成等差数列 ‎(1)求的值和的通项公式 ‎(2)设,求数列的前项和 ‎11、(2018,湖南)已知数列满足 ‎ ‎(1)若是递增数列,且成等差数列,求的值 ‎(2)若,且是递增数列,是递减数列,求数列的通项公式 ‎12、(2018,全国卷)等差数列的前项和为,已知为整数,且 ‎ ‎(1)求的通项公式 ‎(2)设,求数列的前项和 ‎ ‎13、(2018,山东)设数列的前项和为,已知 ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若数列满足,求数列的前项和.‎ ‎14、(2018,山东潍坊中学高三期末)在数列,中,已知,,且,,成等差数列,,,也成等差数列.‎ ‎(1)求证:是等比数列;‎ ‎(2)若,求数列的前项和.‎ ‎15、定义数列,且时,‎ ‎(1)当时,,求 ‎(2)若,求证:‎ 习题答案:‎ ‎1、答案:B 解析:由前面几组可得,组中项个数的循环周期为3,因为,所以第50组数含有两个元素。可知在一个周期中将占有中的6项,所以16个周期共占有96项,从而第49个括号里为 ,第50个括号里含有的项为 ,因为,所以,则 ‎2、答案:D 解析:时,‎ 时,‎ ‎ 可得:‎ ‎3、答案:D 解析:的周期,结合正弦函数性质可知:,且,因为单调递减,所以 则为正,,同理可得:也均为正数,以此类推,可知均为正数,共个 ‎4、答案:B 解析:令 ‎,为的公差 同理 代入可得:‎ ‎,解得或 设,同理可知,代入可得:‎ ‎5、答案:‎ 解析:‎ 设,即 为等差数列 ‎ ‎ ‎ ‎6、答案: ‎ 解析:,即,所以为公差是的等差数列,所以,即 ‎7、答案: ‎ 解析:,可得:,进行累加可得:,所以,即,故 ‎ ‎8、解析:(1)设的公差和公比分别为 ‎,所以解得:或(舍)‎ ‎(2)‎ 当时,‎ 当时,‎ ‎ ‎ ‎9、解析:(1)令,则 ‎ ‎,解得: ‎ ‎(2)‎ 即 ‎ ‎ ‎ 时,是公比为的等比数列 当时,由可验证得: ‎ 综上可得:是公比为的等比数列 ‎(3)由(2)以及可得:‎ ‎ ‎ 为公差是4的等差数列 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎10、解析:(1)依题意可知: ‎ 成等差数列 即 ‎ 或(舍)‎ ‎ ‎ 当时, ‎ ‎,即 ‎ 当时, ‎ ‎,即 ‎ 综上所述: ‎ ‎(2)由(1)可得: ‎ 设的前项和为 ‎ ‎ ‎ 两式相减可得: ‎ ‎11、解析:(1)因为是递增数列 ‎ ,其中 ‎ 由可得:,‎ 成等差数列 ‎ 代入可得: ‎ 解得:或(舍)‎ ‎(2)因为为递增数列 ‎ ①‎ 因为 ‎ ‎ ②‎ 由①②可得:‎ ‎ ③‎ 同理:因为为递增数列 ‎ ‎ 因为 ‎ ‎ ‎ ‎ ④‎ 综合③④可得: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎12、解析:(1)由可知:,即 ‎ 为整数 ‎ 结合不等式可解得: ‎ ‎ ‎ ‎(2)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎13、解析:(1)由可得,‎ 而,则 ‎(2)由及可得 ‎.‎ ‎14、解析:(1)由,,成等差数列,,,也成等差数列可得:‎ 是公比为的等比数列 ‎(2)由(1)可知 ‎,整理可得:‎ 是公比为的等比数列 若为偶数,则 若为奇数,则为偶数 ‎15、解析:当时,‎ ‎,‎ 均为等比数列 由可得 为偶数时 为奇数时,‎ ‎(2)由可得:‎ ‎ 为公比是2的等比数列 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎