2020届二轮复习数列求和（含通项公式与求和习题教案（全国通用） 26页

微专题54 数列求和问题 数列求和问题是高考数列中的一个易考类型，在已知通项公式的前提下，要通过观察通项公式（或者项）的特点决定选择哪种方法进行求和。考查学生的观察能力与辨析能力。所以在复习的过程中要抓住每种求和方法相对应的通项公式特点，并在练习中熟悉解法 一、基础知识：‎ ‎1、根据通项公式的特点求和：‎ ‎（1）等差数列求和公式： ‎ ‎ ‎ ‎（2）等比数列求和公式： ‎ ‎（3）错位相减法：‎ 通项公式特点：等差等比，比如，其中代表一个等差数列的通项公式（关于的一次函数），代表一个等比数列的通项公式（关于的指数型函数），那么便可以使用错位相减法 方法详解：以为例，设其前项和为 ‎ ‎① 先将写成项和的形式 ‎ ‎② 两边同时乘以等比部分的公比，得到一个新的等式，与原等式上下排列 ‎ ‎ ‎ ，发现乘完公比后，对比原式项的次数，新等式的每项向后挪了一位。‎ ‎③ 然后两式相减： 除了首项与末项，中间部分呈等比数列求和特点，代入公式求和，再解出即可 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 对“错位相减法”的深层理解：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果。而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和。体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和 ‎（4）裂项相消：‎ 通项公式特点：的表达式能够拆成形如的形式（），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。从而结果只存在有限几项，达到求和目的。其中通项公式为分式和根式的居多 方法详解：以为例 ‎① 裂项：考虑（这里），在裂项的过程中把握两点：一是所裂两项要具备“依序同构”的特点，比如这里的结构相同，且分母为相邻的两个数；二是可以先裂再调：先大胆的将分式裂成两项的差，在将结果通分求和与原式进行比较并调整（调整系数），比如本题中，在调整系数使之符合通项公式即可 ‎② 求和：设前项和为 ‎ ‎，求和的关键在于确定剩下的项。通过观察可发现正项中没有消去，负项中没有消去。‎ 所以 一般来说，裂开的项中有个正项，个负项，且由于消项的过程中是成对消掉。所以保留项中正负的个数应该相同。‎ ‎(5）分类求和：如果通项公式是前几种可求和形式的和与差，那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和后，再将结果进行相加。‎ 例： ‎ 可知通项公式为，那么在求和的过程中可拆成3部分：分别求和后再相加 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2、根据项的特点求和：‎ ‎ 如果数列无法求出通项公式，或者无法从通项公式特点入手求和，那么可以考虑观察数列中的项，通过合理的分组进行求和 ‎（1）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前项和中含多少个周期即可 ‎（2）通项公式为分段函数（或含有 ，多为奇偶分段。若每段的通项公式均可求和，则可以考虑奇数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是序数的间隔（等差等比求和时会影响公差公比），二是要对项数的奇偶进行分类讨论（可见典型例题）；若每段的通项公式无法直接求和，则可以考虑相邻项相加看是否存在规律，便于求和 ‎（3）倒序相加：若数列中的第项与倒数第项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如果想避免项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点，即：‎ ‎ ‎ ‎ 两式相加可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二、典型例题 例1：已知函数，求：‎ ‎ ‎ 思路：观察可发现头尾的自变量互为倒数，所以考虑其函数值的和是否具备特点。即，所以考虑第个与倒数第个放在一起求和，可用倒序相加法 解： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 小炼有话说：此类问题要抓自变量之间的联系，并尝试发现其函数值的和是否有特点（常数或者与相关），本题求和的项就呈现出倒数关系。另外在求和过程中倒序相加的方法可以有效地避免项数的奇偶讨论。‎ 例2：设数列满足 ‎ ‎（1）求数列的通项公式 ‎（2）令，求数列的前项和 ‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）思路：由（1）可得：，尽管整个通项公式不符合任何一种求和特征，但可以拆成，在求和的过程中分成三组分别求和，再汇总到一起。‎ 解： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例3：已知数列满足，且对于，设的前项和为，则_________‎ 思路：原递推公式很难再有变化，考虑向后再写一个式子进行变形。，两式相减可得： ，由可得：，为周期是3的数列，所以求和时可先求出一个周期中项的和，再看中含多少周期即可。‎ 解：①‎ ‎②‎ ‎①②得：‎ ‎ ‎ 为周期是3的数列 在①中令 解得： ‎ ‎ ‎ 而 ‎ 答案： ‎ 例4：已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且 ‎（1）求数列与的通项公式 ‎（2）记，求证： ‎ 解：（1）设的公差为，的公比为 则 ‎ ‎ ‎ 即，解得： ‎ ‎ ‎ ‎（2）思路：虽然所涉及数列通项公式不是“”形式，但观察到中的项具备“等差等比”的特点，所以考虑利用错位相减法求出 ，再证明等式即可 解： ①‎ ‎ ②‎ ‎②①‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所证恒等式左边 ‎ 右边 即左边右边 所以不等式得证 例5：已知数列为等差数列，其前项和为，且，数列 ‎ ‎（1）求的通项公式 ‎（2）求数列的前项和 ‎ 解：（1） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）思路：由（1）可得：，所以在求和时首先要考虑项数是否大于5，要进行分类讨论，其次当，求和可分成组分别求和再汇总 解：‎ 当时， ‎ 当时， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例6：（2018，桐乡市校级期中）：设数列，其前项和，为单调递增的等比数列，， ‎ ‎（1）求数列的通项公式 ‎（2）若，求数列的前项和 ‎ 解：（1）时， ‎ 时，符合上式 ‎ ‎ 为等比数列 ‎ ‎ 设的公比为，则 ‎ 而 ‎ 解得：或 单调递增 ‎ ‎（2）思路：由（1）可得：，观察到分母为两项乘积，且具备“依序同构”的特点，所以联想到进行裂项相消，考虑，刚好为，所以直接裂项然后相消求和即可 解：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例7：已知等差数列的首项，公差，前项和为 ‎ ‎（1）若成等比数列，求数列的前项和 ‎ ‎（2）若对一切恒成立，求的取值范围 ‎（1）思路：先利用已知条件求出的通项公式，然后用错位相减法求和 解：成等比数列 ‎，代入可得：‎ ‎ 由可得： ‎ ‎ ‎ ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎①②‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）思路：虽然不知道的通项公式，但根据其等差数列特征可得： ‎ 所以，从而可将不等式的左边通过裂项相消求和，然后根据不等式恒成立解的范围即可 解：‎ ‎ ‎ 对一切均成立 ‎ 设，由可得：为增函数 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例8：已知数列，其中相邻的两个被隔开，第对之间有个，则该数列的前项的和为__________‎ 思路：本题求和的关键是要统计一共有多少个1，多少个2相加。那么首先应该确定第的位置，（即位于第几对1中的第几个2），可将1个与之后个划为一组，则第组数中含有个数。即，可估算出，所以即该数列的第项位于第组第10个数。可分析前48组中含有48个1，含有个，在第49组中有1个1，9个2，所以前项和为 ‎ 答案：2419‎ 小炼有话说：对于这种“规律性”（不含通项公式）的数列，首先要抓住此数列中数排列的规律，并根据规律确定出所求和的最后一项的位置。再将求和中的项进行合理分组使之可以进行求和，再汇总即可。‎ 例9：已知是数列的前项和，且 ‎（1）求证：数列为等比数列 ‎（2）设，求数列的前项和 解：（1） ①‎ ‎ ②‎ ‎①②可得： ‎ 即 为的等比数列 ‎（2）思路：若要求和，需要先求出的通项公式。所以先利用（1）构造等比数列求出，从而得到，对于，处理方式既可以将进行奇偶分类，进而分组求和，也可放入到通项公式中进行求和 解：由（1）可得：‎ 令代入 ‎ ‎ ‎ ‎ 方法一：直接求和 ‎ 设 小炼有话说：本题虽然可以直接求和，但是过程和结果相对形式比较复杂 方法二：分组求和 当为偶数时 当为奇数时 ‎ ‎ 小炼有话说：本题在分组求和时要注意以下几点 ‎（1）相邻两项一组，如果项数为奇数，那么会留出一项，项数为偶数，那么刚好分组。所以要对项数进行奇偶的分类讨论 ‎（2）在项数为偶数的求和过程中要注意的取值变化不再是，而是所以求和时的公比和求和的项数会对应发生改变。‎ ‎（3）在项数为奇数的求和中可利用前面的结论，简化求和过程 方法三：分奇数项偶数项分别求和 当为偶数时：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 同理：当为奇数时 ‎ ‎ 例10：已知等差数列的公差为，前项和为，且成等比数列 ‎（1）求的通项公式 ‎（2）令，求数列的的前项和 解：（1）成等比数列 ‎ 即 解得： ‎ ‎（2）思路：由第（1）问可得：，考虑相邻项作和观察规律：为偶数时，‎ ‎，然后再进行求和即可 解：‎ 为偶数时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 为奇数时：‎ ‎ ‎ 综上所述：‎ 小炼有话说：本题还可以直接从入手：‎ 尽管裂开不是两项作差，但依靠在求和过程中也可达到相邻项相消的目的。进而根据项数的奇偶进行讨论求和。‎ 三、历年好题精选 ‎1、把等差数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数……，循环分为则第个括号内各数之和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2、数列满足，则的前60项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3、（2018，山东青岛12月月考）设，则在中，正数的个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4、（2018，长沙一中月考）已知数列是等差数列，数列是等比数列，公比为，数列中，，是数列的前项和。若（为正偶数），则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5、若数列满足，则数列的通项公式为____‎ ‎6、（2018，新课标II）设是数列的前项和，且，则____‎ ‎7、（2018，江苏）数列满足，且，则数列的前 项和为_________‎ ‎8、在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且 ‎（1）求 ‎（2）设数列满足，求的前项和 ‎9、（2018，广东文）设数列的前项和为，已知，且当时， ‎ ‎（1）求的值 ‎（2）证明：为等比数列 ‎（3）求数列的通项公式 ‎10、（2018，天津）已知数列满足，，且成等差数列 ‎（1）求的值和的通项公式 ‎（2）设，求数列的前项和 ‎11、（2018，湖南）已知数列满足 ‎ ‎（1）若是递增数列，且成等差数列，求的值 ‎（2）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式 ‎12、（2018，全国卷）等差数列的前项和为，已知为整数，且 ‎ ‎（1）求的通项公式 ‎（2）设，求数列的前项和 ‎ ‎13、（2018，山东）设数列的前项和为，已知 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求数列的前项和.‎ ‎14、（2018，山东潍坊中学高三期末）在数列，中，已知，，且，，成等差数列，，，也成等差数列．‎ ‎（1）求证：是等比数列；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎15、定义数列，且时，‎ ‎（1）当时，，求 ‎（2）若，求证：‎ 习题答案：‎ ‎1、答案：B 解析：由前面几组可得，组中项个数的循环周期为3，因为，所以第50组数含有两个元素。可知在一个周期中将占有中的6项，所以16个周期共占有96项，从而第49个括号里为 ，第50个括号里含有的项为 ，因为，所以，则 ‎2、答案：D 解析：时，‎ 时，‎ ‎ 可得：‎ ‎3、答案：D 解析：的周期，结合正弦函数性质可知：，且，因为单调递减，所以 则为正，，同理可得：也均为正数，以此类推，可知均为正数，共个 ‎4、答案：B 解析：令 ‎，为的公差 同理 代入可得：‎ ‎，解得或 设，同理可知，代入可得：‎ ‎5、答案：‎ 解析：‎ 设，即 为等差数列 ‎ ‎ ‎ ‎6、答案： ‎ 解析：，即，所以为公差是的等差数列，所以，即 ‎7、答案： ‎ 解析：，可得：，进行累加可得：，所以，即，故 ‎ ‎8、解析：（1）设的公差和公比分别为 ‎，所以解得：或（舍）‎ ‎（2）‎ 当时，‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎9、解析：（1）令，则 ‎ ‎，解得： ‎ ‎（2）‎ 即 ‎ ‎ ‎ 时，是公比为的等比数列 当时，由可验证得： ‎ 综上可得：是公比为的等比数列 ‎（3）由（2）以及可得：‎ ‎ ‎ 为公差是4的等差数列 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎10、解析：（1）依题意可知： ‎ 成等差数列 即 ‎ 或（舍）‎ ‎ ‎ 当时， ‎ ‎，即 ‎ 当时， ‎ ‎，即 ‎ 综上所述： ‎ ‎（2）由（1）可得： ‎ 设的前项和为 ‎ ‎ ‎ 两式相减可得： ‎ ‎11、解析：（1）因为是递增数列 ‎ ，其中 ‎ 由可得：，‎ 成等差数列 ‎ 代入可得： ‎ 解得：或（舍）‎ ‎（2）因为为递增数列 ‎ ①‎ 因为 ‎ ‎ ②‎ 由①②可得：‎ ‎ ③‎ 同理：因为为递增数列 ‎ ‎ 因为 ‎ ‎ ‎ ‎ ④‎ 综合③④可得： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎12、解析：（1）由可知：，即 ‎ 为整数 ‎ 结合不等式可解得： ‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎13、解析：（1）由可得，‎ 而，则 ‎（2）由及可得 ‎.‎ ‎14、解析：（1）由，，成等差数列，，，也成等差数列可得：‎ 是公比为的等比数列 ‎（2）由（1）可知 ‎，整理可得：‎ 是公比为的等比数列 若为偶数，则 若为奇数，则为偶数 ‎15、解析：当时，‎ ‎，‎ 均为等比数列 由可得 为偶数时 为奇数时，‎ ‎（2）由可得：‎ ‎ 为公比是2的等比数列 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎