2020届二轮复习数列学案（全国通用） 13页

高考冲刺：数列 ‎ ‎ ‎【高考展望】‎ ‎1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.‎ ‎2.数列中与之间的互化关系是高考解答题的一个热点.‎ ‎3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.‎ ‎4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.‎ ‎【知识升华】‎ ‎1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.‎ ‎2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、（或），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.‎ ‎3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意和两种情况等等.‎ ‎4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如与的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.‎ ‎5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.‎ ‎6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.‎ ‎7.数列应用题也是命题点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.‎ ‎8.本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：正确理解和运用数列的概念与通项公式 例1．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．‎ 第1行　　　　　 1 1‎ 第2行 1 0 1‎ 第3行 1 1 1 1‎ 第4行 1 0 0 0 1‎ 第5行 1 1 0 0 1 1‎ ‎…… …………………………………‎ ‎【思路点拨】计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。‎ ‎【解析】第1次全行的数都为1的是第=1行，‎ 第2次全行的数都为1的是第=3行，‎ 第3次全行的数都为1的是第=7行，‎ ‎······，‎ 第次全行的数都为1的是第行；‎ 第61行中1的个数是=32．‎ 举一反三 ‎【变式1】已知数列的前项和为，且满足 ‎（1）证明：数列为等差数列； ‎ ‎（2）求及. ‎ ‎【解析】（1）当时， ‎ ‎∴ ‎ ‎∴是以为首项，2为公差的等差数列 ‎ ‎（2），∴‎ 当时， ‎ ‎∴ ‎ 考点二：数列递推关系式的理解与应用 例2．数列满足，，…．若，则( )‎ ‎（Ａ） （Ｂ） ３ （Ｃ） ４ （Ｄ） ５‎ ‎【思路点拨】对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用.‎ ‎【解析1】，.‎ 相叠加得.‎ ‎， .‎ ‎，， ，.‎ ‎【解析2】由得：‎ ‎，‎ ‎，因为，所以.‎ ‎【解析3】由得：‎ 从而；；…；.‎ 叠加得：.‎ ‎，‎ ‎， 从而.‎ ‎【总结升华】数列递推关系是近几年高考数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。‎ 对连续两项递推，可转化为；‎ 对连续三项递推的关系，如果方程有两个根，则上递推关系式可化为或.‎ 举一反三 ‎【变式1】设有唯一解，‎ ‎（1）问数列是否是等差数列？‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由，‎ 由已知得，∴‎ ‎∴‎ 又因为.‎ ‎∴数列是首项为1002，公差等于的等差数列.‎ ‎ （2）由（1）知∴‎ 考点三：数列的通项与前n项和之间的关系与应用 例3（2017 沈阳一模）设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+3，则S4=　　．‎ ‎【思路点拨】转化为只含或者只含的递推关系式.‎ ‎【答案】66‎ ‎【解析】∵an+1=2Sn+3，‎ ‎∴an=2Sn﹣1+3（n≥2），‎ 可得an+1﹣an=2an，即an+1=3an，n≥2，‎ ‎∴数列{an}从第二项起是公比为3的等比数列，a2=5，‎ ‎∴=66．‎ 举一反三 ‎【变式1】（2017 广州模拟）设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有4Sn=an2+2an，其中Sn为数列{an}的前n项和，则数列{an}的通项公式为an=　　．‎ ‎【答案】2n ‎【解析】当n=1时，由4S1=a12+2a1，a1＞0，得a1=2，‎ 当n≥2时，由4an=4Sn﹣4Sn﹣1=（an2+2an）﹣（an﹣12+2an﹣1），‎ 得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，‎ 因为an+an﹣1＞0，所以an﹣an﹣1=2，‎ 故an=2+（n﹣1）×2=2n．‎ 考点四：数列中与n有关的等式的理解与应用 例4．已知数列满足()‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足(),证明:是等差数列;‎ ‎【思路点拨】本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。把递推关系式变形转化。‎ ‎【解析】（I）解：∵ ，∴‎ ‎ 是以为首项，2为公比的等比数列。‎ ‎ ∴ 即　（）‎ ‎ （II）证法一：∵，‎ ‎ ∴即 ‎ ∴　　　　　　　　①‎ ‎ 　　　　②‎ ‎ ②－①，得，‎ 即 　③‎ ‎　 ④‎ ‎　 ③－④，得　 ， 即 故是等差数列.‎ 举一反三 ‎【变式1】设正项数列{an}的前n项和为Sn，且存在正数t，使得对所有正整数n，t与an的等差中项和t与Sn的等比中项相等。‎ ‎（1）求证数列{}为等差数列；‎ ‎（2）求{an}通项公式．‎ ‎【解析】（1）由题意：即 ‎ 当n=1时， ∴‎ 当n≥2时，‎ ‎∴。‎ 因为{an}为正项数列，故Sn递增，不能对正整数n恒成立，‎ ‎∴，即数列{}为等差数列，公差为 ‎（2），‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 考点五：等差、等比数列前n项和的理解与应用 例5．已知数列和满足:且是以q为公比的等比数列.‎ ‎ （Ⅰ）证明：；‎ ‎ （Ⅱ）若证明数列是等比数列；‎ ‎ （Ⅲ）求和：.‎ ‎【思路点拨】本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．‎ ‎【解析1】（I）证：由，有，‎ ‎．‎ ‎（II）证：，，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎∴是首项为5，以为公比的等比数列．‎ ‎（III）由（II）得，，于是 ‎．‎ 当时，．‎ 当时，‎ ‎．‎ 故 ‎【解析2】（I）同解法1（I）．‎ ‎（II）证：，‎ 又，‎ 是首项为5，以为公比的等比数列．‎ ‎（III）由（II）的类似方法得，‎ ‎，‎ ‎，．‎ ‎．下同解法1．‎ 举一反三 ‎【变式1】某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 , 因此，历年所交纳的储备金数目, ， … 是一个公差为 的等差数列. 与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为（）,那么, 在第年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就变成，……. 以表示到第年末所累计的储备金总额.‎ ‎（Ⅰ）写出与（）的递推关系式；‎ ‎（Ⅱ）求证，其中{}是一个等比数列，{}是一个等差数列.‎ ‎【解析】（I）我们有 ‎ （II），对反复使用上述关系式，得 ‎=…= ①‎ 在①式两端同乘1+r，得 ‎ ②‎ ‎②－①，得 即 记，，则 ‎，其中{}是等比数列，且首项为，公比为；是等差数列，且首项为，公比为.‎ 考点六：数列与函数的迭代问题 等差、等比数列369154 例2】‎ 例6.已知函数，数列是公差为d的等差数列，数列是公比为q(q∈R且q≠1)的等比数列，若，，，。‎ ‎（1）求数列、的通项公式；‎ ‎（2）设数列对任意自然数n都有成立，求的值；‎ ‎（3）比较的大小。+‎ ‎【解析】（1），‎ 所以 解得 所以 ‎，‎ 所以 解得 所以 ‎（2）时 ‎，‎ 两式相减并整理，得 所以 ‎（3）比较的大小。+‎ ‎，‎ 时，‎ 时，，所以.‎ 举一反三 ‎【变式1】已知各项全不为零的数列的前k项和为，且（），其中 ‎ （Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎ （II）对任意给定的正整数 ，数列满足.‎ 求.‎ ‎【解析】（Ⅰ）当，由及，得．‎ 当时，由，得．‎ 因为，所以．从而 ‎，．故．‎ ‎（Ⅱ）因为，所以．‎ 所以 故 考点七：数列综合应用与创新问题 例7．设是定义在上的单调可导函数.已知对于任意正数，都有，且.‎ ‎（Ⅰ）求，并求的值；‎ ‎（Ⅱ）令，证明数列是等差数列；‎ ‎（Ⅲ）设是曲线在点处的切线的斜率（），数列的前项和为，求证：.‎ ‎【思路点拨】根据已知条件求出函数的关系式，求出的递推关系式然后可求解题中要求．‎ ‎【解析】（Ⅰ）取，；‎ 再取，则，‎ 即，‎ ‎∵是定义在上的单调函数 ‎∴，解得，或（舍去）.‎ ‎（Ⅱ）设，则，‎ 再令，则，‎ 即 ‎∵是定义在上的单调函数 ‎∴，即，解得：或，‎ 又，则，，‎ 由，所以是等差数列. ‎ ‎（3）由（2）得，，则 所以；‎ 又当时，，‎ 则，‎ 故. ‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】在（）个不同数的排列中，若时（即前面某数大于后面某数），则称与构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为，如排列21的逆序数，排列321的逆序数.则= ，= ，的表达式为 ；‎ ‎【解析】由已知得，，.‎ ‎【变式2】已知函数，是方程的两个根，是的导数；设，（n=1,2,……）‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）证明：对任意的正整数n，都有；‎ ‎（3）记（n=1,2,……），求数列{}的前n项和．‎ ‎【解析】（1）∵，是方程的两个根，‎ ‎∴，．‎ ‎ （2）， ‎ ‎，∵，‎ ‎∴由基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴‎ 同样，…，（n=1,2,……）．‎ ‎ （3），‎ 而，即， ，‎ 同理，，‎ 又，‎ ‎.‎