2014年高考数学（文科）真题分类汇编C单元　三角函数 32页

‎ 数 学 ‎ ‎ C单元　三角函数 ‎ C1 角的概念及任意角的三角函数 ‎2．C1[2014·全国卷] 已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎2．D　[解析] 根据题意，cos α＝＝－.‎ C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 ‎18．C2，C4，C6[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)．‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎18．解：方法一：‎ ‎(1)f＝2cos ‎＝－2cos＝2.‎ ‎(2)因为f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x ‎＝sin 2x＋cos 2x＋1‎ ‎＝sin＋1，‎ 所以T＝＝π，故函数f(x)的最小正周期为π.‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ 方法二：f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x ‎＝sin 2x＋cos 2x＋1‎ ‎＝sin＋1.‎ ‎(1)f＝sin＋1‎ ‎＝sin＋1‎ ‎＝2.‎ ‎(2)因为T＝＝π，所以函数f(x)的最小正周期为π.‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎2．C2 、C6[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则(　　)‎ A．sin α＞0 B．cos α＞0‎ C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0‎ ‎2．C　[解析] ‎ 因为sin 2α＝＝>0，所以选C.‎ ‎17．C2，C5，C8[2014·山东卷] △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cos A＝，B＝A＋.‎ ‎(1)求b的值；‎ ‎(2)求△ABC的面积．‎ ‎17．解：(1)在△ABC中，‎ 由题意知，sin A＝＝.‎ 又因为B＝A＋，‎ 所以sin B＝sin＝cos A＝.‎ 由正弦定理可得，b＝＝＝3.‎ ‎(2)由B＝A＋得cos B＝cos＝－sin A＝－.‎ 由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)，‎ 所以sin C＝sin[π－(A＋B)]‎ ‎＝sin(A＋B)‎ ‎＝sin Acos B＋cos Asin B ‎＝×＋× ‎＝.‎ 因此△ABC的面积S＝absin C＝×3×3×＝.‎ C3 三角函数的图象与性质 ‎16．C8、C3[2014·安徽卷] 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为.求cos A与a的值．‎ ‎16．解： 由三角形面积公式，得 ×3×1·sin A＝，故sin A＝.‎ 因为sin‎2A＋cos‎2A＝1，‎ 所以cos A＝±＝±＝±.‎ ‎①当cos A＝时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×＝8，‎ 所以a＝2 .‎ ‎②当cos A＝－时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×＝12，所以a＝2 .‎ ‎7．C3[2014·福建卷] 将函数y＝sin x的图像向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图像，则下列说法正确的是(　　)‎ A．y＝f(x)是奇函数 ‎ B．y＝f(x)的周期为π C．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称 ‎ D．y＝f(x)的图像关于点对称 ‎7．D　[解析] 将函数y＝sin x的图像向左平移个单位后，得到函数y＝f(x)＝sin的图像，即f(x)＝cos x．由余弦函数的图像与性质知，f(x)是偶函数，其最小正周期为2π，且图像关于直线x＝kπ(k∈Z)对称，关于点(k∈Z)对称，故选D.‎ 图12‎ ‎5．C3、C7[2014·江苏卷] 已知函数y＝cos x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．‎ ‎5.　[解析] 将x＝分别代入两个函数，得到sin＝，解得π＋φ＝＋2kπ(k∈‎ Z)或π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，化简解得φ＝－＋2kπ(k∈Z)或φ＝＋2kπ(k∈Z)．又φ∈[0，π)，故φ＝.‎ ‎7．C‎3 C4[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y＝‎ cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)‎ A．①②③ B．①③④‎ C．②④ D．①③‎ ‎7．A　[解析] 函数y＝cos|2x|＝cos 2x，其最小正周期为π，①正确；将函数y＝cos x的图像中位于x轴上方的图像不变，位于x轴下方的图像对称地翻转至x轴上方，即可得到y＝|cos x|的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y＝cos的最小正周期为π，③正确；函数y＝tan的最小正周期为，④不正确．‎ C4　函数的图象与性质 ‎8．C4[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为(　　)‎ A. B. C．π D．2π ‎8．C　[解析] ∵f(x)＝2sin＝1，‎ ‎∴sin＝，∴ωx1＋＝＋2k1π(k1∈Z)或 ωx2＋＝＋2k2π(k2∈Z)，则ω(x2－x1)＝＋2(k2－k1)π.又∵相邻交点距离的最小值为，∴ω＝2，∴T＝π.‎ ‎7．C4[2014·安徽卷] 若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎7．C　[解析] 方法一：将f(x)＝sin的图像向右平移φ个单位，得到y＝sin的图像，由所得图像关于y轴对称，可知sin＝±1，即sin＝±1，故2φ－＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，又φ>0，所以φmin＝.‎ ‎13．C4[2014·重庆卷] 将函数f(x)＝sin(ωx＋φ) 图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图像，则f＝________．‎ ‎13.　[解析] 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，得到y＝sin(2ωx＋φ)的图像，再向右平移个单位长度，得到y＝sin2ωx－＋φ＝sin的图像．由题意知sin＝sin x，所以2ω＝1，－＋φ＝2kπ(k∈Z)，又－≤φ≤，所以ω＝，φ＝，所以f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin＝.‎ ‎16．C4[2014·北京卷] 函数f(x)＝3sin的部分图像如图14所示．‎ 图14‎ ‎(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．‎ ‎16．解：(1)f(x)的最小正周期为π.‎ x0＝，y0＝3.‎ ‎(2)因为x∈，所以2x＋∈.‎ 于是，当2x＋＝0，‎ 即x＝－时，f(x)取得最大值0；‎ 当2x＋＝－，‎ 即x＝－时，f(x)取得最小值－3.‎ ‎18．C2，C4，C6[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)．‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎18．解：方法一：‎ ‎(1)f＝2cos ‎＝－2cos＝2.‎ ‎(2)因为f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x ‎＝sin 2x＋cos 2x＋1‎ ‎＝sin＋1，‎ 所以T＝＝π，故函数f(x)的最小正周期为π.‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ 方法二：f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x ‎＝sin 2x＋cos 2x＋1‎ ‎＝sin＋1.‎ ‎(1)f＝sin＋1‎ ‎＝sin＋1‎ ‎＝2.‎ ‎(2)因为T＝＝π，所以函数f(x)的最小正周期为π.‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎9．C4、C5[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　)‎ A．l1⊥l4 ‎ B．l1∥l4‎ C．l1与l4既不垂直也不平行 ‎ D．l1与l4的位置关系不确定 ‎9．D　[解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．‎ 如图所示，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，设BB1是直线l1，BC是直线l2，AD是直线l3，则DD1是直线l4，此时l1∥l4；设BB1是直线l1，BC是直线l2，A1D1是直线l3，则C1D1是直线l4，此时l1⊥l4.故l1与l4的位置关系不确定．‎ ‎18．C4、C5、C7、C9[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：‎ f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24)．‎ ‎(1)求实验室这一天上午8时的温度；‎ ‎(2)求实验室这一天的最大温差．‎ ‎18．解：(1)f(8)＝10－cos－sin＝10－cos－sin＝10－×－＝10.‎ 故实验室上午8时的温度为‎10 ℃‎.‎ ‎(2)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，‎ 又0≤t<24，‎ 所以≤t＋<，所以－1≤sin≤1.‎ 当t＝2时，sin＝1；‎ 当t＝14时，sin＝－1.‎ 于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，最小值8.‎ 故实验室这一天最高温度为‎12 ℃‎，最低温度为‎8 ℃‎，最大温差为‎4 ℃‎.‎ ‎11．C4[2014·辽宁卷] 将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数(　　)‎ A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 ‎11．B　[解析] 将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，得到y＝3sin的图像 ，函数单调递增，则－＋2kπ≤2x－π≤＋2kπ，k∈Z，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数y＝3sin的单调递增区间为，k∈Z，当k＝0时，可知函数在区间上单调递增．‎ ‎14．C‎4 C5[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为________．‎ ‎14．1　[解析] f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x＝sin xcos φ＋cos xsin φ－2sin φcos x＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x－φ)，其最大值为1.‎ ‎7．C‎3 C4[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y＝‎ cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)‎ A．①②③ B．①③④‎ C．②④ D．①③‎ ‎7．A　[解析] 函数y＝cos|2x|＝cos 2x，其最小正周期为π，①正确；将函数y＝cos x的图像中位于x轴上方的图像不变，位于x轴下方的图像对称地翻转至x轴上方，即可得到y＝|cos x|的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y＝cos的最小正周期为π，③正确；函数y＝tan的最小正周期为，④不正确．‎ ‎12．C4，C7[2014·山东卷] 函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________．‎ ‎12．π　[解析] 因为y＝sin 2x＋＝‎ sin＋，所以该函数的最小正周期T＝＝π .‎ ‎2．C4[2014·陕西卷] 函数f(x)＝cos的最小正周期是(　　)‎ A. B．π C．2π D．4π ‎2．B　[解析] T＝＝π.‎ ‎4．C4[2014·浙江卷] 为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图像，可以将函数y＝cos 3x的图像(　　)‎ A．向右平移个单位 ‎ B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 ‎ D．向左平移个单位 ‎4．A　[解析] y＝sin 3x＋cos 3x＝cos＝cos，故将函数y＝cos 3x的图像向右平移个单位可以得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图像，故选A.‎ ‎3．C4[2014·四川卷] 为了得到函数y＝sin(x＋1)的图像，只需把函数y＝sin x的图像上所有的点(　　)‎ A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度 C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度 ‎3．A　[解析] 由函数y＝sin x的图像变换得到函数y＝sin(x＋1)的图像，应该将函数y＝sin x图像上所有的点向左平行移动1个单位长度，故选A.‎ ‎17．C4、C5、C6、C7[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝sin.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，求cos α－sin α的值．‎ ‎17．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，‎ 由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)由已知，得sin＝cos(cos2α－sin2α)．‎ 所以sin αcos＋cos αsin＝‎ (cos2α－sin2α)，‎ 即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．‎ 当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝＋2kπ，k∈Z.‎ 此时，cos α－sin α＝－.‎ 当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝.‎ 由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－.‎ 综上所述，cos α－sin α＝－或－.‎ C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 ‎9．C4、C5[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　)‎ A．l1⊥l4 ‎ B．l1∥l4‎ C．l1与l4既不垂直也不平行 ‎ D．l1与l4的位置关系不确定 ‎9．D　[解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．‎ 如图所示，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，设BB1是直线l1，BC是直线l2，AD是直线l3，则DD1是直线l4，此时l1∥l4；设BB1是直线l1，BC是直线l2，A1D1是直线l3，则C1D1是直线l4，此时l1⊥l4.故l1与l4的位置关系不确定．‎ ‎16．C5、C7[2014·广东卷] 已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.‎ ‎(1)求A的值；‎ ‎(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.‎ ‎18．C4、C5、C7、C9[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：‎ f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24)．‎ ‎(1)求实验室这一天上午8时的温度；‎ ‎(2)求实验室这一天的最大温差．‎ ‎18．解：(1)f(8)＝10－cos－sin＝10－cos－sin＝10－×－＝10.‎ 故实验室上午8时的温度为‎10 ℃‎.‎ ‎(2)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，‎ 又0≤t<24，‎ 所以≤t＋<，所以－1≤sin≤1.‎ 当t＝2时，sin＝1；‎ 当t＝14时，sin＝－1.‎ 于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，最小值8.‎ 故实验室这一天最高温度为‎12 ℃‎，最低温度为‎8 ℃‎，最大温差为‎4 ℃‎.‎ ‎19．C8、C5、C9[2014·湖南卷] 如图14所示，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，∠ADC＝，∠BEC＝.‎ ‎(1)求sin∠CED的值；‎ ‎(2)求BE的长．‎ 图14‎ ‎19．解：设∠CED＝α.‎ ‎(1)在△CDE中，由余弦定理，得 EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，‎ 于是由题设知，7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－‎ ‎6＝0，解得CD＝2(CD＝－3舍去)．‎ 在△CDE中，由正弦定理，得＝.‎ 于是，sin α＝＝＝，即 sin∠CED＝.‎ ‎(2)由题设知，0＜α＜，于是由(1)知，‎ cos α＝＝＝.‎ 而∠AEB＝－α，所以 cos∠AEB＝cos＝coscos α＋sinsin α ‎＝－cos α＋sin α ‎＝－×＋×＝.‎ 在Rt△EAB中，cos∠AEB＝＝，故 BE＝＝＝4.‎ ‎16．C5、C7[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．‎ ‎(1)求a，θ的值；‎ ‎(2)若f＝－，α∈，求sin的值．‎ ‎16．解：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝，‎ 所以f(x)＝－sin 2x·(a＋2cos2x)．‎ 由f＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1.‎ ‎(2)由(1)得，f(x)＝－sin 4x.‎ 因为f＝－sin α＝－，‎ 所以sin α＝，又α∈，‎ 从而cos α＝－，‎ 所以有sin＝sin αcos＋cos αsin＝.‎ ‎18．C8、C5[2014·全国卷] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2ccos A，tan A＝，求B.‎ ‎18．解：由题设和正弦定理得3sin Acos C＝2sin Ccos A，‎ 故3tan Acos C＝2sin C.‎ 因为tan A＝，‎ 所以cos C＝2sin C，‎ 所以tan C＝，‎ 所以tan B＝tan[180°－(A＋C)]‎ ‎＝－tan(A＋C)‎ ‎＝ ‎＝－1，‎ 所以B＝135°.‎ ‎14．C‎4 C5[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为________．‎ ‎14．1　[解析] f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x＝sin xcos φ＋cos xsin φ－2sin φcos x＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x－φ)，其最大值为1.‎ ‎17．C2，C5，C8[2014·山东卷] △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cos A＝，B＝A＋.‎ ‎(1)求b的值；‎ ‎(2)求△ABC的面积．‎ ‎17．解：(1)在△ABC中，‎ 由题意知，sin A＝＝.‎ 又因为B＝A＋，‎ 所以sin B＝sin＝cos A＝.‎ 由正弦定理可得，b＝＝＝3.‎ ‎(2)由B＝A＋得cos B＝cos＝－sin A＝－.‎ 由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)，‎ 所以sin C＝sin[π－(A＋B)]‎ ‎＝sin(A＋B)‎ ‎＝sin Acos B＋cos Asin B ‎＝×＋× ‎＝.‎ 因此△ABC的面积S＝absin C＝×3×3×＝.‎ ‎8．C5、C8[2014·四川卷] 如图13所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是‎60 m，则河流的宽度BC等于(　　)‎ 图13‎ A．240(－1)m B．180(－1)m C．120(－1)m D．30(＋1)m ‎8．C　[解析] 由题意可知，AC＝＝120.‎ ‎∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，所以sin∠ABC＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝.‎ 在△ABC中，由正弦定理得＝，‎ 于是BC＝＝＝120(－1)(m)．故选C.‎ ‎17．C4、C5、C6、C7[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝sin.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，求cos α－sin α的值．‎ ‎17．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，‎ 由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)由已知，得sin＝cos(cos2α－sin2α)．‎ 所以sin αcos＋cos αsin＝‎ (cos2α－sin2α)，‎ 即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．‎ 当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝＋2kπ，k∈Z.‎ 此时，cos α－sin α＝－.‎ 当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝.‎ 由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－.‎ 综上所述，cos α－sin α＝－或－.‎ ‎18．C5、C8[2014·重庆卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.‎ ‎(1)若a＝2，b＝，求cos C的值；‎ ‎(2)若sin Acos2＋sin Bcos2＝2sin C，‎ 且△ABC的面积S＝sin C，求a和b的值．‎ ‎18．解：(1)由题意可知c＝8－(a＋b)＝.‎ 由余弦定理得cos C＝＝‎ ＝－.‎ ‎(2)由sin Acos2＋sin Bcos2＝2sin C可得 sin A·＋sin B·＝2sin C，‎ 化简得sin A＋sin Acos B＋sin B＋sin Bcos A＝4sin C.‎ 因为sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)＝sin C，所以sin A＋sin B＝3sin C.‎ 由正弦定理可知a＋b＝‎3c.又a＋b＋c＝8，所以a＋b＝6.‎ 由于S＝absin C＝sin C，所以ab＝9，从而a2－‎6a＋9＝0，解得a＝3，所以b＝3.‎ C6 二倍角公式 ‎18．C2，C4，C6[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)．‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎18．解：方法一：‎ ‎(1)f＝2cos ‎＝－2cos＝2.‎ ‎(2)因为f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x ‎＝sin 2x＋cos 2x＋1‎ ‎＝sin＋1，‎ 所以T＝＝π，故函数f(x)的最小正周期为π.‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ 方法二：f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x ‎＝sin 2x＋cos 2x＋1‎ ‎＝sin＋1.‎ ‎(1)f＝sin＋1‎ ‎＝sin＋1‎ ‎＝2.‎ ‎(2)因为T＝＝π，所以函数f(x)的最小正周期为π.‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎14．B5、C6[2014·全国卷] 函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为________．‎ ‎14.　[解析] 因为y＝cos 2x＋2sin x＝1－2sinx2＋2sin x＝－2＋，所以当sin x＝时函数y＝cos 2x＋2sin x取得最大值，最大值为.‎ ‎16．H4、C6[2014·全国卷] 直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．‎ ‎16.　[解析] 如图所示，根据题意知，OA⊥PA，OA＝，OP＝，所以PA＝＝2 ，所以tan ∠OPA＝＝＝，故tan ∠APB＝＝，即l1与l2的夹角的正切值等于.‎ ‎2．C2 、C6[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则(　　)‎ A．sin α＞0 B．cos α＞0‎ C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0‎ ‎2．C　[解析] ‎ 因为sin 2α＝＝>0，所以选C.‎ ‎17．C4、C5、C6、C7[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝sin.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，求cos α－sin α的值．‎ ‎17．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，‎ 由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)由已知，得sin＝cos(cos2α－sin2α)．‎ 所以sin αcos＋cos αsin＝‎ (cos2α－sin2α)，‎ 即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．‎ 当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝＋2kπ，k∈Z.‎ 此时，cos α－sin α＝－.‎ 当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝.‎ 由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－.‎ 综上所述，cos α－sin α＝－或－.‎ C7 三角函数的求值、化简与证明 ‎16．C5、C7[2014·广东卷] 已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.‎ ‎(1)求A的值；‎ ‎(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.‎ ‎18．C4、C5、C7、C9[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：‎ f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24)．‎ ‎(1)求实验室这一天上午8时的温度；‎ ‎(2)求实验室这一天的最大温差．‎ ‎18．解：(1)f(8)＝10－cos－sin＝10－cos－sin＝10－×－ ‎＝10.‎ 故实验室上午8时的温度为‎10 ℃‎.‎ ‎(2)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，‎ 又0≤t<24，‎ 所以≤t＋<，所以－1≤sin≤1.‎ 当t＝2时，sin＝1；‎ 当t＝14时，sin＝－1.‎ 于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，最小值8.‎ 故实验室这一天最高温度为‎12 ℃‎，最低温度为‎8 ℃‎，最大温差为‎4 ℃‎.‎ ‎5．C3、C7[2014·江苏卷] 已知函数y＝cos x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．‎ ‎5.　[解析] 将x＝分别代入两个函数，得到sin＝，解得π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)或π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，化简解得φ＝－＋2kπ(k∈Z)或φ＝＋2kπ(k∈Z)．又φ∈[0，π)，故φ＝.‎ ‎15．C7[2014·江苏卷] 已知α∈，sin α＝.‎ ‎(1)求sin的值；‎ ‎(2)求cos的值．‎ ‎15．解： (1)因为α∈，sin α＝，‎ 所以cos α＝－＝－.‎ 故sin＝sincos α＋cossin α＝‎ ×＋×＝－.‎ ‎(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××‎ ＝－，‎ cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，‎ 所以cos＝coscos 2α＋sinsin 2α＝‎ ×＋×＝－.‎ ‎16．C5、C7[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．‎ ‎(1)求a，θ的值；‎ ‎(2)若f＝－，α∈，求sin的值．‎ ‎16．解：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝，‎ 所以f(x)＝－sin 2x·(a＋2cos2x)．‎ 由f＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1.‎ ‎(2)由(1)得，f(x)＝－sin 4x.‎ 因为f＝－sin α＝－，‎ 所以sin α＝，又α∈，‎ 从而cos α＝－，‎ 所以有sin＝sin αcos＋cos αsin＝.‎ ‎17．C7、C8[2014·辽宁卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c.已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：‎ ‎(1)a和c的值；‎ ‎(2)cos(B－C)的值．‎ ‎17．解：(1)由·＝2，得c·acos B＝2，‎ 又cos B＝，所以ac＝6.‎ 由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B，‎ 又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.‎ 联立得或 因为a＞c，所以a＝3，c＝2.‎ ‎(2)在△ABC中，sin B＝＝＝.‎ 由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.‎ 因为a＝b＞c，所以C为锐角，因此cos C＝＝‎ ＝.‎ 于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝‎ ×＋×＝.‎ ‎21．C7、B14[2014·辽宁卷] 已知函数f(x)＝π(x－cos x)－2sin x－2，g(x)＝(x－π)‎ ＋－1.证明：‎ ‎(1)存在唯一x0∈，使f(x0)＝0；‎ ‎(2)存在唯一x1∈，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1＞π.‎ ‎21．证明：(1)当x∈时，f′(x)＝π＋πsin x－2cos x＞0，所以f(x)在区间上为增函数．又f(0)＝－π－2＜0，f＝－4＞0，所以存在唯一x0∈，使f(x0)＝0.‎ ‎(2)当x∈时，化简得g(x)＝(π－x)·＋－1.‎ 令t＝π－x则t∈.记u(t)＝g(π－t)＝‎ ‎－－t＋1，则u′(t)＝.‎ 由(1)得，当t∈(0，x0)时，u′(t)＜0；当t∈时，u′(t)＞0.所以在上u(t)为增函数，由u＝0知，当t∈时，u(t)＜0，所以u(t)在上无零点．‎ 在(0，x0)上u(t)为减函数，‎ 由u(0)＝1及u(x0)＜0知存在唯一t0∈(0，x0)，使u(t0)＝0.‎ 于是存在唯一t0∈，使u(t0)＝0.‎ 设x1＝π－t0∈，则g(x1)＝g(π－t0)＝u(t0)＝0.因此存在唯一的x1∈，使g(x1)＝0.‎ 由于x1＝π－t0，t0＜x0，所以x0＋x1＞π.‎ ‎12．C4，C7[2014·山东卷] 函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________．‎ ‎12．π　[解析] 因为y＝sin 2x＋＝‎ sin＋，所以该函数的最小正周期T＝＝π .‎ ‎17．C4、C5、C6、C7[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝sin.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，求cos α－sin α的值．‎ ‎17．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，‎ 由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)由已知，得sin＝cos(cos2α－sin2α)．‎ 所以sin αcos＋cos αsin＝‎ (cos2α－sin2α)，‎ 即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．‎ 当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝＋2kπ，k∈Z.‎ 此时，cos α－sin α＝－.‎ 当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝.‎ 由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－.‎ 综上所述，cos α－sin α＝－或－.‎ ‎16．C7[2014·天津卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 a－c＝b，sin B＝sin C.‎ ‎(1)求cos A的值；‎ ‎(2)求cos的值．‎ ‎16．解：(1)在△ABC中，由＝，及sin B＝sin C，可得b＝c.又由a－c＝b，有a＝‎2c.‎ 所以cos A＝＝＝.‎ ‎(2)在△ABC中，由cos A＝，可得sin A＝.于是cos ‎2A＝2cos‎2A－1＝－，sin ‎2A＝2sin A·cos A＝.‎ 所以cos＝cos ‎2A·cos＋sin ‎2A·sin＝.‎ C8　解三角形 ‎ ‎18．C8[2014·浙江卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4sin2＋4sin Asin B＝2＋.‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)已知b＝4，△ABC的面积为6，求边长c的值．‎ ‎18．解：(1)由已知得 ‎2[1－cos(A－B)]＋4sin Asin B＝2＋，‎ 化简得－2cos Acos B＋2sin Asin B＝，‎ 故cos(A＋B)＝－，‎ 所以A＋B＝，从而C＝.‎ ‎(2)因为S△ABC＝absin C，‎ 由S△ABC＝6，b＝4，C＝，得a＝3.‎ 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得c＝.‎ ‎16．C8、C3[2014·安徽卷] 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为.求cos A与a的值．‎ ‎16．解： 由三角形面积公式，得 ×3×1·sin A＝，故sin A＝.‎ 因为sin‎2A＋cos‎2A＝1，‎ 所以cos A＝±＝±＝±.‎ ‎①当cos A＝时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×＝8，‎ 所以a＝2 .‎ ‎②当cos A＝－时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×＝12，所以a＝2 .‎ ‎12．C8[2014·北京卷] 在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝________；sin A＝________．‎ ‎12．2　　[解析] 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－2×2×1×＝4，即c＝2；cos A＝＝＝，∴sin A＝＝.‎ ‎14．C8[2014·福建卷] 在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB等于________．‎ ‎14．1　[解析] 由＝，得sin B＝＝1，‎ 即B＝90°，所以△ABC为以AB，BC为直角边的直角三角形，‎ 则AB＝＝＝1，即AB等于1.‎ ‎7．A2、C8[2014·广东卷] 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的(　　)‎ A．充分必要条件 ‎ B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 ‎ D．非充分非必要条件 ‎7．A　[解析] 设R是三角形外切圆的半径，R＞0，由正弦定理，得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B．故选A.‎ ‎∵sin≤A sin B，∴2Rsin A≤2Rsin B，∴a≤b.同理也可以由a≤b推出sin A≤sin B.‎ ‎13．C8[2014·湖北卷] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________．‎ ‎13.或　[解析] 由正弦定理得＝，即＝，解得sin B＝.‎ 又因为b>a，所以B＝或.‎ ‎19．C8、C5、C9[2014·湖南卷] 如图14所示，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，∠ADC＝，∠BEC＝.‎ ‎(1)求sin∠CED的值；‎ ‎(2)求BE的长．‎ 图14‎ ‎19．解：设∠CED＝α.‎ ‎(1)在△CDE中，由余弦定理，得 EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，‎ 于是由题设知，7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－‎ ‎6＝0，解得CD＝2(CD＝－3舍去)．‎ 在△CDE中，由正弦定理，得＝.‎ 于是，sin α＝＝＝，即 sin∠CED＝.‎ ‎(2)由题设知，0＜α＜，于是由(1)知，‎ cos α＝＝＝.‎ 而∠AEB＝－α，所以 cos∠AEB＝cos＝coscos α＋sinsin α ‎＝－cos α＋sin α ‎＝－×＋×＝.‎ 在Rt△EAB中，cos∠AEB＝＝，故 BE＝＝＝4.‎ ‎14．C8、E6[2014·江苏卷] 若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是______．‎ ‎14.　[解析] 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则由正弦定理得a＋b＝‎2c.故 cos C＝＝＝＝－≥－＝，‎ 当且仅当‎3a2＝2b2，即＝时等号成立．‎ ‎18．C8、H2、H3、H4[2014·江苏卷] 如图16所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于‎80 m．经测量，点A位于点O正北方向‎60 m处，点C位于点O正东方向‎170 m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝.‎ ‎(1)求新桥BC的长．‎ ‎(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？‎ 图16‎ ‎18．解： 方法一：‎ ‎(1)如图所示， 以O为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy.‎ 由条件知A(0, 60), C(170，0)，‎ 直线 BC 的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－.‎ 又因为 AB⊥BC, 所以直线AB的斜率kAB＝.‎ 设点 B 的坐标为(a，b)，‎ 则kBC＝＝－， kAB＝＝，‎ 解得a＝80, b＝120，‎ 所以BC＝＝150.‎ 因此新桥BC的长是‎150 m.‎ ‎(2)设保护区的边界圆M的半径为r m, OM＝d m (0≤d≤60)．‎ 由条件知， 直线BC的方程为y＝－(x－170)，‎ 即4x＋3y－680＝0.‎ 由于圆M与直线BC相切， 故点 M(0, d)到直线BC的距离是r，‎ 即r＝＝.‎ 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于‎80 m，所以 即 解得10≤d≤35.‎ 故当d＝10时， r ＝最大， 即圆面积最大，‎ 所以当OM＝‎10 m时， 圆形保护区的面积最大．‎ 方法二：‎ ‎(1)如图所示， 延长 OA, CB 交于点F.‎ 因为 tan∠FCO＝，‎ 所以sin∠FCO＝， cos∠FCO＝.‎ 因为OA＝60，OC＝170，‎ 所以OF＝OC tan∠FCO＝， CF＝＝， 从而AF＝OF－OA＝.‎ 因为OA⊥OC, 所以cos∠AFB ＝sin∠FCO＝.‎ 又因为 AB⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝， 从而BC＝CF－BF＝150.‎ 因此新桥BC的长是‎150 m.‎ ‎(2)设保护区的边界圆 M与BC的切点为D，连接 MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD＝r m，OM＝d m (0≤d≤60)．‎ 因为OA⊥OC, 所以sin∠CFO＝cos∠FCO.‎ 故由(1)知sin∠CFO＝＝＝＝， 所以r＝.‎ 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于‎80 m，‎ 所以 即 解得10≤d≤35.‎ 故当d＝10时， r＝最大，即圆面积最大，‎ 所以当OM＝‎10 m时， 圆形保护区的面积最大．‎ ‎5．C8[2014·江西卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若‎3a＝2b，则的值为(　　)‎ A．－ B. C．1 D. ‎5．D　[解析] 由正弦定理得，原式＝＝2－1＝2×－1＝.‎ ‎17．C7、C8[2014·辽宁卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c.已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：‎ ‎(1)a和c的值；‎ ‎(2)cos(B－C)的值．‎ ‎17．解：(1)由·＝2，得c·acos B＝2，‎ 又cos B＝，所以ac＝6.‎ 由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B，‎ 又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.‎ 联立得或 因为a＞c，所以a＝3，c＝2.‎ ‎(2)在△ABC中，sin B＝＝＝.‎ 由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.‎ 因为a＝b＞c，所以C为锐角，因此cos C＝＝‎ ＝.‎ 于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝‎ ×＋×＝.‎ ‎18．C8、C5[2014·全国卷] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2ccos A，tan A＝，求B.‎ ‎18．解：由题设和正弦定理得3sin Acos C＝2sin Ccos A，‎ 故3tan Acos C＝2sin C.‎ 因为tan A＝，‎ 所以cos C＝2sin C，‎ 所以tan C＝，‎ 所以tan B＝tan[180°－(A＋C)]‎ ‎＝－tan(A＋C)‎ ‎＝ ‎＝－1，‎ 所以B＝135°.‎ ‎17．C8 [2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.‎ ‎(1)求C和BD；‎ ‎(2)求四边形ABCD的面积．‎ ‎17．解：(1)由题设及余弦定理得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C ‎＝13－12cos C，①‎ BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcos A ‎＝5＋4cos C．②‎ 由①②得cos C＝，故C＝60°，BD＝.‎ ‎(2)四边形ABCD的面积 S＝AB·DAsin A＋BC·CDsin C ‎＝sin 60°＝2.‎ ‎16．C8[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图13，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°，以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝‎100 m，则山高MN＝________m.‎ 图13‎ ‎16．150　[解析] 在Rt△ABC中，BC＝100，∠CAB＝45°，所以AC＝100.在△MAC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，所以∠AMC＝45°，由正弦定理有＝ ‎，即AM＝×100 ＝100，于是在Rt△AMN中，有MN＝sin 60°×100＝150 .‎ ‎17．C2，C5，C8[2014·山东卷] △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cos A＝，B＝A＋.‎ ‎(1)求b的值；‎ ‎(2)求△ABC的面积．‎ ‎17．解：(1)在△ABC中，‎ 由题意知，sin A＝＝.‎ 又因为B＝A＋，‎ 所以sin B＝sin＝cos A＝.‎ 由正弦定理可得，b＝＝＝3.‎ ‎(2)由B＝A＋得cos B＝cos＝－sin A＝－.‎ 由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)，‎ 所以sin C＝sin[π－(A＋B)]‎ ‎＝sin(A＋B)‎ ‎＝sin Acos B＋cos Asin B ‎＝×＋× ‎＝.‎ 因此△ABC的面积S＝absin C＝×3×3×＝.‎ ‎16．D2、D3、C8[2014·陕西卷] △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.‎ ‎(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；‎ ‎(2)若a，b，c成等比数列，且c＝‎2a，求cos B的值．‎ ‎16．解： (1)∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B.‎ ‎∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，‎ ‎∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．‎ ‎(2)由题设有b2＝ac，c＝‎2a，‎ ‎∴b＝a.‎ 由余弦定理得cos B＝＝＝.‎ ‎8．C5、C8[2014·四川卷] 如图13所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是‎60 m，则河流的宽度BC等于(　　)‎ 图13‎ A．240(－1)m B．180(－1)m C．120(－1)m D．30(＋1)m ‎8．C　[解析] 由题意可知，AC＝＝120.‎ ‎∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，所以sin∠ABC＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝.‎ 在△ABC中，由正弦定理得＝，‎ 于是BC＝＝＝120(－1)(m)．故选C.‎ ‎18．C5、C8[2014·重庆卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.‎ ‎(1)若a＝2，b＝，求cos C的值；‎ ‎(2)若sin Acos2＋sin Bcos2＝2sin C，‎ 且△ABC的面积S＝sin C，求a和b的值．‎ ‎18．解：(1)由题意可知c＝8－(a＋b)＝.‎ 由余弦定理得cos C＝＝‎ ＝－.‎ ‎(2)由sin Acos2＋sin Bcos2＝2sin C可得 sin A·＋sin B·＝2sin C，‎ 化简得sin A＋sin Acos B＋sin B＋sin Bcos A＝4sin C.‎ 因为sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)＝sin C，所以sin A＋sin B＝3sin C.‎ 由正弦定理可知a＋b＝‎3c.又a＋b＋c＝8，所以a＋b＝6.‎ 由于S＝absin C＝sin C，所以ab＝9，从而a2－‎6a＋9＝0，解得a＝3，所以b＝3.‎ ‎ C9 单元综合 ‎18．C4、C5、C7、C9[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：‎ f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24)．‎ ‎(1)求实验室这一天上午8时的温度；‎ ‎(2)求实验室这一天的最大温差．‎ ‎18．解：(1)f(8)＝10－cos－sin＝10－cos－sin＝10－×－＝10.‎ 故实验室上午8时的温度为‎10 ℃‎.‎ ‎(2)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，‎ 又0≤t<24，‎ 所以≤t＋<，所以－1≤sin≤1.‎ 当t＝2时，sin＝1；‎ 当t＝14时，sin＝－1.‎ 于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，最小值8.‎ 故实验室这一天最高温度为‎12 ℃‎，最低温度为‎8 ℃‎，最大温差为‎4 ℃‎.‎ ‎19．C8、C5、C9[2014·湖南卷] 如图14所示，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，∠ADC＝，∠BEC＝.‎ ‎(1)求sin∠CED的值；‎ ‎(2)求BE的长．‎ 图14‎ ‎19．解：设∠CED＝α.‎ ‎(1)在△CDE中，由余弦定理，得 EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，‎ 于是由题设知，7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－‎ ‎6＝0，解得CD＝2(CD＝－3舍去)．‎ 在△CDE中，由正弦定理，得＝.‎ 于是，sin α＝＝＝，即 sin∠CED＝.‎ ‎(2)由题设知，0＜α＜，于是由(1)知，‎ cos α＝＝＝.‎ 而∠AEB＝－α，所以 cos∠AEB＝cos＝coscos α＋sinsin α ‎＝－cos α＋sin α ‎＝－×＋×＝.‎ 在Rt△EAB中，cos∠AEB＝＝，故 BE＝＝＝4.‎ ‎5．[2014·温州十校期末] 若sin α＋cos α＝(0<α<π)，则tan α＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎5．C　[解析] 由sin α＋cos α＝(0<α<π)，得1＋2sin αcos α＝，即sin αcos α＝－.又0<α<π，所以sin α>0，cos α<0，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，所以sin α－cos α＝，所以sin α＝，cos α＝－，故tan α＝－.‎ ‎4．[2014·成都一诊] 如图X121所示，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点．若点A，B的坐标分别为和，则cos(α＋β)的值为(　　)‎ 图X121‎ A．－ B．－ C．0 D. ‎4．A　[解析] 由题意知sin α＝，cos α＝，sin β＝，cos β＝－，∴cos(α＋β)＝－－＝－.‎ ‎3．[2014·岳阳一中模拟] 设函数f(x)＝cos＋2sin2.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和对称轴方程；‎ ‎(2)当x∈时，求f(x)的值域．‎ ‎3．解：(1)易知f(x)＝cos 2x＋sin 2x＋1－cos(2x＋π)＝cos 2x＋sin 2x＋1＝sin2x＋＋1，‎ 所以f(x)的最小正周期T＝π.‎ 由2x＋＝kπ＋，k∈Z，得对称轴方程为x＝＋，k∈Z.‎ ‎(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，‎ 所以f(x)的值域为.‎ ‎7．[2014·福建周宁一中、政和一中两校联考] 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像如图X132所示，则f(x)的解析式及S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值分别为(　　)‎ 图X132‎ A．f(x)＝sin 2πx＋1，S＝2013‎ B．f(x)＝sin 2πx＋1，S＝2013 C．f(x)＝sinx＋1，S＝2014‎ D．f(x)＝sinx＋1，S＝2014 ‎7．D　[解析] 由题意知，A＝＝，b＝＝1.因为函数f(x)的周期是4，所以ω＝.由五点法作图知，×0＋φ＝0，所以φ＝0，故函数的解析式为f(x)＝·sin x＋1.‎ 因为f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝4，所以S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f(0)＋f(1)＋503×4＝2014.‎ ‎5．[2014·江西七校联考] 在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是(　　)‎ A．等边三角形 ‎ B．不含60°的等腰三角形 C．钝角三角形 ‎ D．直角三角形 ‎5．D　[解析] 由题意得，1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)＝1－2cos Asin B，又sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B，‎ 所以sin Acos B＋cos Asin B＝1，即sin(A＋B)＝1，所以A＋B＝，故△ABC一定为直角三角形．‎ ‎17．[2014·浙江金华十校联考] 已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，‎ b，c，且tan A＋tan B＝.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若＋＝3，求sin Asin C的值．‎ ‎17．解：(1)易知tan A＋tan B＝＋＝＝＝.‎ ‎∵tan A＋tan B＝，∴＝，‎ ‎∴cos B＝.又∵0