2020-2021学年高二数学上册同步练习：圆的标准方程 10页

2020-2021 学年高二数学上册同步练习：圆的标准方程 一、单选题 1．以  2 , 1 为圆心，4 为半径的圆的方程为（ ） A． 22(2)(1)4xy B． 22(2)(1)4xy C． 22( 2) ( 1) 16xy    D． 22( 2) ( 1) 16xy    【答案】C 【解析】以 为圆心，4 为半径的圆的方程为： ． 故选 C． 2．圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点  12， 的圆的方程是（ ） A．   22 21xy   B．   22 21xy   C．   22131xy D．  22 31xy 【答案】A 【解析】因为圆心在 轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为  0, b ，则圆的方程为 22()1xyb ， 又点 在圆上，所以  2121 b ，解得 2b  . 故选 A 3．以点 P(2，－3)为圆心，并且与 y 轴相切的圆的方程是（ ） A．   22234xy B．   22239xy C．   22234xy D．   22239xy 【答案】C 【解析】圆心为(2，－3)并且与 y 轴相切 所以半径 2r = 所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4 故选 C 4．过点    1, 1 , 1,1AB，且圆心在直线 20xy   上的圆的方程是（ ） A．    22314xy B．    22314xy C．    22114xy D．    22114xy 【答案】C 【解析】本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线 20xy   上，排除 B、D， 点  1,1B  在圆上，排除 A 故选 C 5．圆   2 211xy   的圆心到直线 3 3yx 的距离是（ ） A． 1 2 B． 3 2 C．1 D． 3 【答案】A 【解析】圆 2 211xy 的圆心坐标为（1，0），∴圆心到直线 的距离为 2 3 3 1 231 3 d    ， 故选 A． 6．以点  31A ， 和  55B ， 为直径端点的圆的方程是（ ） A． 22(1)(2)25xy B． 22(1)(2)25xy C． 22(1)(2)100xy D． 22(1)(2)100xy 【答案】A 【解析】由中点坐标公式可得， 圆心为线段 AB 的中点  1,2C ， 半径为 22118 6 522r AB    ， 故所求的圆的方程为   221 + 2 25xy   ， 故选 A. 7．过点  1,1C  和  1,3D ，圆心在 x 轴上的圆的方程为（ ） A．   22 210xy B．   22 210xy C．   2 2210xy D．   2 2210xy 【答案】D 【解析】设圆心坐标为：  ,0x 则：        2222101103xx ，解得： 2x   圆心为  2 ,0 ，半径 223110r  所求圆的方程为： 故选 D 8．经过点    5 ,2 , 3 ,2AB，圆心在直线 2 3 0xy   上的圆的方程为（ ） A．   224510xy B．   224510xy C．   224510xy D．   224510xy 【答案】A 【解析】因为 ， 所以直线 AB 的斜率为 0， 所以直线 AB 垂直平分线与 x 轴垂直，其方程为 4x  与 联立解得： 4,5xy， 所以圆心坐标为  4,5M ， 所求圆的半径为    225 4 2 5 10r AM      ， 所以所求圆的方程为 . 故选 A 9．已知直线l 过圆 22( 1) ( 2) 1xy    的圆心，当原点到直线 距离最大时，直线 的方程为（ ） A． 2y  B． 2 5 0xy   C． 2 3 0xy   D． 2 5 0xy   【答案】D 【解析】由题意，圆 22(1)(2)1xy 的圆心为 (1,2 )A ，设原点为 O ， 则当直线 l 与直线 AO 垂直时，原点到直线 的距离最大， 此时直线 的斜率为 20 210AOk  ， 所以直线 的斜率为 1 2lk  ， 则直线 的方程为 12 ( 1 ) 2yx- = - - ，即 . 故选 D． 10．若直线 y a x b经过第一、二、四象限，则圆 22()()1xayb 的圆心位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由题,因为直线 经过第一、二、四象限, 所以 0a  , 0b  , 因为圆的方程为 , 所以圆心为  ,ab ,则 0a , 0b , 所以圆心位于第四象限, 故选 D 11．下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个圆的圆拱跨度 40AB  米，拱高 10OP  米，建造时每隔 8 米需要用一根支柱支撑，则支柱 22AP 的高度大约是（ ） A．9.7 米 B．9.1 米 C．8.7 米 D．8.1 米 【答案】A 【解析】由图以 为原点、以 AB 为 x 轴，以OP 为 y 轴建立平面直角坐标系， 设圆心坐标为  0, a ，  0 ,10P ，  20 ,0A  ， 则圆拱所在圆的方程为   222x y a r   ，  2 2 22 10 400 ar ar    ，解得 15a  ， 25r  ， 圆的方程为  22 15 625xy   ， 将 4x  代入圆的方程，得 22 9 . 7y A P m . 故选 A 12．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765 年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的 外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.若已知 ABC 的顶点  4,0A  ，  0,4B ， 其欧拉线方程为 20xy，则顶点 C 的坐标可以是（ ） A．  1,3 B．  3 ,1 C．  2 ,0 D．  0 , 2 【答案】D 【解析】 (4,0)A ， (0 ,4 )B ， AB 的垂直平分线方程为 0xy， 又外心在欧拉线 上， 联立 0 20 xy xy    ，解得三角形 ABC 的外心为 (1,1)G  ， 又 22| | ( 1 4) (1 0) 10r GA       ， ABC 外接圆的方程为 22(1)(1)10xy ． 设 ( , )C x y ，则三角形 的重心 44,33 xy  在欧拉线上，即 442033 xy   ． 整理得 20xy   ． 联立 22(1)(1)10 20 xy xy     ，解得 0 2 x y    或 2 0 x y    ． 所以顶点 C 的坐标可以是 (0 , 2 ) ． 故选 D ． 二、填空题 13．已知两点 (0,2), (2, 2)MN ，以线段 MN 为直径的圆的方程为___________. 【答案】 22( 1 ) 5xy 【解析】由题得圆心的坐标为（1,0），|MN|= 222(22)25, 所以圆的半径为 5, 所以圆的方程为   2 215xy   . 故填 14．圆 22(2)(1)1xy 关于 ( 1,2 )A 对称的圆的方程为________. 【答案】 22(3)1xy 【解析】圆 的圆心为 (2 ,1) ，半径为 1r  ， 又圆心 关于 对称的点为 ( , )xy ，则 2 12 1 22 x y     ，得 0, 3xy， 故所求圆的方程为 . 故填 15．记圆   22122xy 的圆心坐标为 ,ab ，半径为 r ，则 a b r   _________ 【答案】 21 【解析】∵   221 2 2xy    ∴ 1 2 2 a b r       ∴ 21a b r    故填 21 16．若  2 ,2P 在圆   2 21 25xy   的直径 AB 上,则直线 的方程是_______. 【答案】x-y-1=0 【解析】设圆心为 C,则 C(1,0),由直线 AB 经过圆心 C(1,0)及点 ，可得直线 AB 斜率为 20 121   ， 所以直线 AB 方程为 1yx , 即 10xy   . 故填 . 17．圆心在直线 20xy上，并且经过原点和  3 , 1 的圆的方程为_____________. 【答案】   22510125xy 或 2210200xyxy （两个任写一个都对） 【解析】 圆心在直线 上，可设圆心为  ,2Caa ， 圆经过原点和 ，      2222 2321aaaa ，解得 5a  ， 所以，圆心坐标为  5 ,10 ，半径长为 2251055r  ， 因此，所求圆的方程为 . 故填 . 18．古希腊数学家同波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点 ( ,0), ( ,0)A a B a ，动点 P 满足 || || PA PB  （其中a 和  是正常数，且 1  ），则 的轨迹是一个圆，这 个圆称之为“阿波罗尼斯圆”.若 ( 1,0)A  ， (1,0)B ，动点 满足 ||1 ||2 PA PB  ，则该圆的圆心坐标为_______. 【答案】 5 ,03  【解析】设点 P 为  ,xy , 因为 | | 1 | | 2 PA PB  ,所以     2 2 2 2 1 1 21 xy xy    , 整理可得 2210 103xyx ,即 2 2516 39xy , 则圆心为 5 ,03  , 故填 三、解答题 19．已知圆过两点  1, 4A 、  3 ,2B ，且圆心在直线 0y  上. （1）求圆的标准方程； （2）判断点  2,4P 与圆的关系. 【解析】（1） 圆心在直线 上，  设圆心坐标为  ,0Ca ， 则 ACBC ， 即    2211634aa ， 即   2211634aa ， 解得 1a  ，即圆心为  1 ,0 ， 半径 rAC  21 1 16    20 25 则圆的标准方程为 2 21 20xy   （2）    221 2 0 4PC      916 25 5 r 点 在圆的外面. 20．已知 M（2，0），N（10，0），P（11，3），Q（6，1）四点，试判断它们是否共圆，并说明理由． 【解析】设 M，N，P 三点确定的圆的标准方程为（x–a）2+（y–b）2=r2， ∴ 222 222 222 2 10 113 abr abr abr       （ ） （ ） （ ） （ ） ，解得 2 6 3 25 a b r       ． ∴过点 M，N，P 的圆的方程为（x–6）2+（y–3）2=25． 将点 Q 的坐标（6，1）代入方程左端，得（6–6）2+（1–3）2=4<25， ∴点 Q 不在圆（x–6）2+（y–3）2=25 上， ∴M，N，P，Q 四点不共圆． 21．直角三角形 ABC 的顶点坐标  2,0A  ，直角顶点  0 , 2 2B  ，顶点 C 在 x 轴上. （1）求 BC 边所在直线的方程； （2）圆 M 是三角形 的外接圆，求圆 的方程. 【解析】（1）直线 AB 的斜率为 022 220ABk  ， 由题意可知 A B B C ，则直线 的斜率为 12 2BC AB k k   . 因此， 边所在直线的方程为 222 2yx ，即 240xy ； （2）直线 的方程为 ，由于点 在 轴上，则点  4 ,0C . 由于 ABC 是以 ABC 为直角的直角三角形，则该三角形的外接圆圆心为线段 的中点， 则  1 ,0M ，所以，圆 的半径为 3MA  . 因此，圆 的标准方程为 2 219xy   . 22．已知圆 C 关于 x 轴对称，且在 轴上截得的线段长为 2 1 3 ，在 y 轴上截得线段长为 43． （1）求圆 的方程； （2）已知圆 的圆心在 轴的左侧，若斜率为 1 的直线l 与圆 交于点 A ， B ，且以线段 AB 为直径 的圆经过坐标原点，求直线 的方程． 【解析】（1）因为圆 关于 轴对称，所以圆心 在 轴上， 设圆心  ,0Cc ，半径为 R ，则 13R  ， 由   22223Rc，得 1c  ． 所以圆 的方程为   2 21 13xy   ． （2）由题可知圆 的方程：   2 21 13xy   ． 设 :l y x b ，则线段 的中垂线（过圆心 ）为 10xy   ， 联立方程组 10 yxb xy    ，解得 1 2 1 2 bx by     ， 即线段 的中点坐标为 11,22 bb ． 由于  2 22 1 11313222 b bAB       ， 因此，以线段 为直径的圆的方程为  222111132 2 2 bbbxy               ， 因为该圆过原点，则  22 1110 0 132 2 2 bbb               ，解得 4b  或 3 ， 所以直线 :40lxy 或 30xy .