2019届二轮复习利用数轴解决集合运算问题学案（全国通用） 10页

第 3 炼 利用数轴解决集合运算问题 数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些 结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题。在集合的运算中，涉及到单 变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本文将以一些题目为例，来介绍如何使用 数轴快速的进行集合的交并运算。 一、基础知识： 1、集合运算在数轴中的体现： :A B 在数轴上表示为 ,A B 表示区域的公共部分 :A B 在数轴上表示为 ,A B 表示区域的总和 :UC A 在数轴上表示为U 中除去 A 剩下的部分（要注意边界值能否取到） 2、问题处理时的方法与技巧： （1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数 的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系 （2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的 区域。 （3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和 集合包含区域。交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域 （4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放 置参数即可 3、作图时要注意的问题： （1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实 心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察 （2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意。 二、例题精析： 例 1：（2009 安徽）集合   2 12 1 3 , 03 xA x x B x x         ， 则 A B =_______ 思路：先解出 ,A B 的解集，    11,2 , , 3,2A B           ， 作出数轴，则 A B 即为它们的公共部分。 11, 2A B       答案： 11, 2A B       例 2：设集合    2 3 , | 8 ,S x x T x a x a S T R        ，则 a 的取值范围是____ 思路：可解出    , 1 5,S     ，而T 集合含有参数，作出数轴，先从容易作图的 集合做起，即画出 S 的范围，由于 S T R ，而数轴上有一部分区域没有被 S 包含，那说 明T 集合负责补 S 空缺的部分，由于参数决定其端点位置，所以画出图像，有图像观察可 得只需要： 1 8 5 a a      即可，解得： 3 1a    答案： 3 1a    小炼有话说：（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的 作用，在本题中参数决定T 区间的端点 （2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图像，再按要求放置含参的集合 （3）注意考虑端点处是否可以重合，通常采取验证的方法，本题若 3a   或 1a   ，则 端点处既不在 S 里，也不在T 里，不符题意。 例 3：对于任意的 x R ，满足   22 2 2 4 0a x a x     恒成立的所有实数 a 构成集合 A ， 使 不 等 式 4 3x x a    的 解 集 是 空 集 的 所 有 实 数 a 构 成 集 合 B ， 则  RA C B  ______ 思路：先利用已知条件求出 ,A B ，再利用数轴画出 RA C B 的范围即可 解：由   22 2 2 4 0a x a x     ① 恒成立，可得： 当 2 0a   即 2a  时，①变为： 4 0  恒成立 当 2a  时，若要①恒成立，则    2 2 0 2 2 4 2 16 2 0 a a a a             2,2A   4 3x x a    解集为空等价于： , 4 3x R x x a       min4 3a x x    设   2 7, 4 4 3 1, 3 4 7 2 , 3 x x f x x x x x x              min 1f x  1a  即  ,1B    1,RC B    1,2RA C B  小炼有话说：本题更多考察的地方在于 ,A B 集合的求解。 A 集合要注意 2 0a   的情况， 而不能默认为二次不等式， B 集合涉及解集与不等式恒成立问题之间的转化。在集合进行 交并运算时，数轴将成为一个非常直观的工具，作图时要注意端点值的开闭。 例 4：已知集合    0)12(,311 22  mmxmxxBxxxA ，若 A B   ，则实数 m 的取值范围为 思路：先解出 ,A B 的解集，A B   意味着 ,A B 有公共部分，利用数轴可标注集合 B 两 端点的位置，进而求出 m 的范围 解： 1 1 3x x    当 1x  时， 31 1 3 2x x x      31 2x   当 1 1x   时，1 1 3 2 3x x      恒成立 当 1x   时， 31 1 3 2x x x       3 12 x    3 3,2 2A       2 2(2 1) 0x m x m m        1 0x m x m     1m x m    A B    31 2m    且 3 2m  5 3,2 2m       例 5：已知     2| 5 2 1 , |A x x x B x x ax x a        ，当“ x A ”是“ x B ” 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是__________ 思路： ,A B 为两个不等式的解集，因为“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件，所以 A 是 B 的真子集。考虑解出两个不等式的解集，然后利用数轴求出 a 的范围即可 解：      2 5 0 5 2 1 1 0 1 3 5 2 1 x x x x x x x                 1,3A   2 2 1 0x ax x a x a x a          1 0x x a    由 A 是 B 的真子集可得： 3a  答案：  3,a  小炼有话说：1、熟悉充分必要条件与集合的联系： p 是 q 的充分不必要条件  p 对应集 合 P 是 q 对应集合Q 的真子集 2、处理含参问题时，秉承“先常数再参数”的顺序分析，往往可利用所得条件对参数范围 加以限制，减少分类讨论的情况。例如在本题中，若先处理 B ，则解不等式面临着分类讨 论的问题。但先处理 A 之后，结合数轴会发现只有图中一种情况符合，减掉了无谓的讨论。 例 6：已知函数   2 2 1,0 2( ) 1, , 2 0 x xg x ax f x x x           ，对    1 22,2 , 2,2x x      ， 使得    1 2g x f x 成立，则实数 a 的取值范围是__________ 思路：任取  1 2,2x   ，则  1g x 取到  g x 值域中的每一个元素，依题意，存在 2x 使得    1 2g x f x ，意味着  g x 值域中的每一个元素都在  f x 的值域中，即  g x 的值域为  f x 的值域的子集，分别求出两个函数值域，再利用子集关系求出 a 的范围 解：  2 0,2x  时，    2 0,3f x   2 2,0x   时，    2 4,0f x      2 4,3f x   对于  g x ，分三种情况讨论 当 0a  时，    2 1,2 1g x a a    2 1 4 12 1 3 a aa          0,1a  当 0a  时，   1g x  ，符合题意 当 0a  时，    2 1, 2 1g x a a    2 1 4 12 1 3 a aa          1,0a   综上所述：  1,1a  答案：  1,1a  例 7：已知集合    | 2 1 , |A x x x B x a x b      或 ，若  , 2,4A B R A B   ， 则 b a  ________ 思路：本题主要考察如何根据所给条件，在数轴上标好集合 B 的范围。从而确定出 ,a b 的值， 如图所示：可得 1, 4a b   ，所以 4b a   答案： 4 例8：设        2 2| 2 1 0 , | 0 , | 2 0A x x x x B x x ax b A B x x            ，  |1 3A B x x   ，求 ,a b 思路：A 集合的不等式解集为    2, 1 1,   ，集合 B 为 一 元 二 次 不 等 式 的 解 集 ， 由 题 意 可 知 B   ， 设 2 0x ax b   的两根为  1 2 1 2,x x x x ，则  1 2,B x x ， 在数轴上作图并分析后两个条件：  | 2 0A B x x   说明 B 将 A 集合覆盖数轴的漏洞 堵上了，  |1 3A B x x   说明 B 与 A 的公共部分仅有  1,3 ，左侧没有公共部分，从 而  1 2,B x x 的位置只能如此（如图），可得： 1 21, 3x x   ，由韦达定理可得： 2, 3a b    例 9：在 R 上定义运算 : 2 xx y y     ，若关于 x 的不等式 ( 1 ) 0x x a    的解集是 { | 2 2, }x x x R    的子集，则实数 a 的取值范围是（ ） A． 2 2a   B． 1 2a   C． 3 1a    或 1 1a   D． 3 1a   思路：首先将 ( 1 ) 0x x a    变为传统不等式：    1 0 01 xx x a x a        ， 不等式含有参数 a ，考虑根据条件对 a 进行分类讨论。设解集为 A ，因为  2,2A   ，所 以首先解集要分空集与非空两种情况：当 A   时，则 1a   ；当 A   时，根据 a 的取 值分类讨论计算出解集后再根据数轴求出 a 的范围即可 解：      1 0 0 02 1 1 x xx x a x a x a             设解集为 A 当 A   时，则 1a   当 A   时： 若 1 0 1a a     时，    0, 1 2,2A a    1 2a   1a  1 1a   若 1 0 1a a     时，    1,0 2,2A a    1 2a    3a   3 1a    综上所述：  3,1a  答案：D 例 10：已知   (0 1 )f x mx x n n m      ，若关于 x 的不等式   0f x  的解集中的 整数恰有 3 个，则实数 m 的取值范围是（ ） A. 3 6m  B. 1 3m  C. 0 1m  D. 1 0m   解：所解不等式为 mx x n  ，可以考虑两边平方 后 去 掉 绝 对 值 ， 因 式 分 解 可 得 ：    1 1 0m x n m x n           ，由题意中含 3 个 整数解可得：解集应该为封闭区间，所以 x 的系数均 大于零，即 1 0 11 0 m mm       ，另一方面，解集区间内有 3 个整数，从端点作为突破口分 析 ， 两 个 端 点 为 ,1 1 n nx xm m     ， 因 为 0 1n m   ，所以  0,11 nx m   ，进而结合数轴分 析可得三个整数解为 0, 1, 2  ，所以另一个端点的取值 范围为    3 2 2 1 3 11 n m n mm           ①，而 0 1n m   ②，所以只要① ②有交集，则可找到符合条件的 ,n m ，结合数轴可得：  2 1 1m m   ，求出  1,3m 答案：  1,3m 三、近年模拟题题目精选： 1 、 （ 2016 四 川 高 三 第 一 次 联 考 ） 已 知 集 合    | 2, , | 1 ,M x x x R N x x a a R       ，若 N M ，则 a 的取值范围是（ ） A. 0 1a  B. 1a  C. 1a  D. 0 1a  2、（2014 吉林九校二模，1）已知    | 1 2 , | 3M x x N x x      ，则  RC M N  （ ） A. 2,3 B.  2,3 C.    , 1 2,3   D.    , 1 2,3   3、（重庆八中半月考，1）设全集为 R ，集合   12 , 01A x x B x x        ，则 A B  （ ） A.  2,2 B.  2,1 C.  1,2 D.  2,  4、已知函数   22 xf x x   的定义域为 M ，    ln 1g x x  的定义域为 N ，则  RM C N  （ ） A.  , 2 B. 2,  C.  2,  D.  , 2  5、（2014，浙江）已知集合    2| 2 0 , |1 2P x x x Q x x      ，则 RC P Q  （ ） A.  0,1 B.  0,2 C.  1,2 D.  1,2 6、（2014，山东）设集合     | 1 2 , | 2 , 0,2xA x x B y y x      ，则 A B  （ ） A.  0,2 B.  1,3 C.  1,4 D.  1,3 7、设集合    | 2 3 7 , | 1 2 1A x x B x m x m        ，若 A B A ，则实数 m 的 取值范围是_________ 8、已知全集U R ，集合    2| 3 4 0 , | 2 8xA x x x B x      ，那么集合  UC A B  （ ） A.  3,4 B.  4, C.  3,4 D.  3,4 9、若关于 x 的不等式 22)12( axx  的解集中整数恰好有 3 个，则实数 a 的取值范围是 _______. 习题答案： 1、答案：B 解析：若 0a  ，则 N   符合题意，若 0a  ，则  1N  符合题意，当 0a  时，解得：    2,2 , 1, 1M N a a     ，由 N M 可知： 1 2 0 11 2 a aa         ，综上可得： 1a  2、答案：D 解析：    , 1 2,RC M     ，在数轴上标出 ,RC M N 的区域即可得出 RC M N 3、答案：C 解析：分别解出 ,A B 中的不等式， : 2 2, : 1A x B x    ，所以  1,2A B  4、答案：A 解 析 ：  f x 的 定 义 域 ：  22 0 2, 2x M     ，  g x 的 定 义 域 ：  1 0 1,x N      ，所以  , 1RC N    ，    , 2RM C N   5、答案：C 解析：解出 P 中不等式： 0x  或 2x  ，所以  0,2RC P  ，则    1,2RC P Q  6、答案：D 解析：集合 A 为解不等式：  1 2 2 1 2 1,3x x x          ，集合 B 为函数的值 域，由  0,2x  可知  1,4y  ，所以  1,3A B  7、答案： 3m  解 析 ： A 集 合 为  2,5 ， 由 A B A 可 知 B A ； 当 B   时 ， 可 得 1 2 1 2m m m     ，当 B   时，结合数轴可得： 1 2 1 2 1 2 3 2 1 5 3 m m m m m m m                   即 2 3m  ，综上可得： m 的取值范围是 3m  8、答案：C 解析： 2 3 4 0 4x x x     或 1x      , 1 4,A      1,4UC A   2 8 3x x    3,B      3,4UC A B  9、答案： 25 49,9 16a     解析：因为不等式等价于 014)4( 2  xxa ，其中 014)4( 2  xxa 中的 04  a ，且有 04  a ，故 40  a ，不等式的解集为 a x a    2 1 2 1 ， 2 1 2 1 4 1    a 则一定有 1，2，3 为所求的整数解集。所以 4 2 13    a ，解得 a 的范 围为 )16 49,9 25(