【数学】2020届一轮复习人教B版（文）21等比数列作业 8页

天天练21　等比数列 小题狂练 一、选择题 ‎1．[2019·四川成都南充高中模拟]已知等比数列的前3项为x,3x＋3,6x＋6，则其第4项的值为(　　)‎ A．－24 B．－24或0‎ C．12或0 D．24‎ 答案：A 解析：由x,3x＋3,6x＋6成等比数列，得(3x＋3)2＝x(6x＋6)．解得x1＝－3或x2＝－1(此时a2＝a3＝0，不合题意，舍去)．故这个等比数列的首项为－3，公比为2，所以an＝－3·2n－1，所以数列的第4项为a4＝－24.故选A.‎ ‎2．[2019·河北保定一中模拟]若项数为2m(m∈N*)的等比数列的中间两项正好是方程x2＋px＋q＝0的两个根，则此数列的各项积是(　　)‎ A．pm B．p2m C．qm D．q2m 答案：C 解析：由题意得amam＋1＝q，所以由等比数列的性质得此数列各项积为(amam＋1)m＝qm.‎ ‎3．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案：B 解析：显然公比q≠1，‎ 由题意得 解得或(舍去)，‎ ‎∴S5＝＝＝.‎ ‎4．[2019·福建闽侯模拟]已知数列{an}为等比数列，且a1a13＋2a＝5π，则cos(a2a12)的值为(　　)‎ A．－ B. C. D. 答案：D 解析：∵a1a13＋2a＝5π，∴a2a12＋2a2a12＝5π，∴a2a12＝，∴cos(a2a12)＝cos＝.故选D.‎ ‎5．[2019·合肥模拟]已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝(　　)‎ A．4 B. C．2 D. 答案：C 解析：由题意，得解得或(舍去)，故选C.‎ ‎6．[2019·新余调研]已知等比数列{an}中，a2＝2，a6＝8，则a3a4a5＝(　　)‎ A．±64 B．64‎ C．32 D．16‎ 答案：B 解析：由等比数列的性质可知，a2a6＝a＝16，而a2，a4，a6同号，故a4＝4，所以a3a4a5＝a＝64.故选B.‎ ‎7．[2019·辽宁五校联考]各项为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7＋log2a11的值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 答案：C 解析：由题意得a4a14＝(2)2＝8，由等比数列的性质，得a ‎4a14＝a7a11＝8，∴log2a7＋log2a11＝log2(a7a11)＝log28＝3，故选C.‎ ‎8．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝6，S3n＝14，则S4n－Sn的值为(　　)‎ A．18 B．20‎ C．24 D．28‎ 答案：D 解析：由等比数列的性质知，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n构成等比数列，设Sn＝x，则x,6－x,14－6构成等比数列，得到(6－x)2＝8x，即x2－20x＋36＝0，解得x＝2或x＝18(舍去)．从而Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n是以2为首项，＝＝2为公比的等比数列，则S4n－S3n＝24＝16，故S4n＝30，S4n－Sn＝30－2＝28，选D.‎ 二、非选择题 ‎9．[2019·石家庄模拟]在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________.‎ 答案：－ 解析：因为＋＝，＋＝，由等比数列的性质知a7a10＝a8a9，‎ 所以＋＋＋＝＝÷＝－.‎ ‎10．已知数列{cn}，其中cn＝2n＋3n，且数列{cn＋1－pcn}为等比数列，则常数p＝________.‎ 答案：2或3‎ 解析：由数列{cn＋1－pcn}为等比数列，得(c3－pc2)2＝(c2－pc1)(c4－pc3)，即(35－13p)2＝(13－5p)·(97－35p)，解得p＝2或p＝3.‎ ‎11．在等比数列{an}中，公比q>1，a1＋am＝17，a2am－1＝16，且前m项和Sm＝31，则项数m＝________.‎ 答案：5‎ 解析：由等比数列的性质知a1am＝a2am－1＝16，又a1＋am＝17，q>1，所以a1＝1，am＝16，Sm＝＝＝ ‎＝31，解得q＝2，am＝a1qm－1＝2m－1＝16，所以m＝5.‎ ‎12．[2019·内蒙古包钢一中调研]在和之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________．‎ 答案：216‎ 解析：在和之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，设插入的三个正数为a，b，c，则b2＝ac＝×＝36，b＝6，从而abc＝b3＝63＝216.‎ 课时测评 一、选择题 ‎1．[2019·广州综合测试]已知数列{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7(a1＋2a3)＋a3a9的值为(　　)‎ A．10 B．20‎ C．100 D．200‎ 答案：C 解析：a7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝a＋2a4a6＋a＝(a4＋a6)2＝102＝100.‎ ‎2．已知数列{an}的前n项和Sn＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．1 D．4‎ 答案：A 解析：显然数列{an}的公比不等于1，‎ 所以Sn＝＝·qn－＝4n＋b，‎ ‎∴b＝－1.‎ ‎3．[2019·湖北重点中学联考]《九章算术》中：今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等．意思是蒲第一天长3尺，以后逐日减半；莞第一天长1尺，以后逐日增加一倍，则(　　)天后，蒲、莞长度相等？参考数据：lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1，结果精确到0.1(　　)‎ A．2.2 B．2.4‎ C．2.6 D．2.8‎ 答案：C 解析：设蒲每天的长度构成等比数列{an}，其首项a1＝3，公比为，其前n项和为An.设莞每天的长度构成等比数列{bn}，其首项b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn.则An＝，Bn＝.设经过x天后，蒲、莞长度相等，则＝，化简得2x＋＝7，计算得出2x＝6,2x＝1(舍去)．所以x＝＝1＋≈2.6.则估计2.6天后蒲、莞长度相等．故选C.‎ ‎4．[2019·重庆月考]在等比数列{an}中，a1和a2 018是方程2x2＋x－2 018＝0的两个根，则a4·a2 015＝(　　)‎ A．－2 018 B．2 018‎ C．1 009 D．－1 009‎ 答案：D 解析：由题意得a1和a2 018是方程2x2＋x－2 018＝0的两个根，根据根与系数的关系得a1·a2 018＝－1 009.在等比数列{an}中，a4·a2 015＝a1·a2 018＝－1 009.故选D.‎ ‎5．[2019·黑龙江齐齐哈尔模拟]已知Sn是公比为4的等比数列{an}的前n项和，若man－3Sn＝8，则m＝(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ 答案：B 解析：∵man－3Sn＝8，∴man＋1－3Sn＋1＝8，两式相减得man＋1－man－3an＋1＝0，(m－3)an＋1＝man.由条件知m≠3，则an＋1＝an.由已知可得＝4，∴m＝4.故选B.‎ ‎6．在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：当an＝0时，也有an＝2an－1，n＝2,3,4，…，但{an}不是等比数列，因此充分性不成立；当{an}是公比为2的等比数列时，有＝2，n＝2,3,4，…，即an＝2an－1，n＝2,3,4，…，所以必要性成立．故选B.‎ ‎7．已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比q为(　　)‎ A. B. C．2 D．2 答案：C 解析：由奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1·a3·a5·a7·a9＝2，a2·a4·a6·a8·a10＝64，则q5＝＝32，则q＝2，故选C.‎ ‎8．[2019·贵阳模拟]已知数列{an}满足a1＝1，an－1＝3an(n≥2，n∈N*)，其前n项和为Sn，则满足Sn≥的n的最小值为(　　)‎ A．6 B．5‎ C．8 D．7‎ 答案：B 解析：由an－1＝3an(n≥2)可得＝(n≥2)，可得数列{an}是首项为a1＝1，公比为q＝的等比数列，所以Sn＝＝ eq lc[ c](avs4alco1(1－lc( c)(avs4alco1(f(1,3)))n)).由Sn≥可得≥，1－n≥，得n≥5(n∈N*)，故选B.‎ 二、非选择题 ‎9．[2019·衡水模拟]已知在数列{an}中，an＝－4n＋5，等比数列{bn}的公比q满足q＝an－an－1(n≥2)，且b1＝a2，则|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝________.‎ 答案：4n－1‎ 解析：由题意知，q＝a2－a1＝－4，b1＝a2＝－3，所以|bn|＝|－3×(－4)n－1|＝3·4n－1，所以|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝3＋3×4＋3×42＋…＋3×4n－1＝3×＝4n－1.‎ ‎10．[2019·郑州一测]已知数列{an}满足log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，则log2(a101＋a102＋…＋a110)＝________.‎ 答案：100‎ 解析：因为log2an＋1＝1＋log2an，可得log2an＋1＝log22an，所以an＋1＝2an，所以数列{an}是以a1为首项，2为公比的等比数列，又a1＋a2＋…＋a10＝1，所以a101＋a102＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)×2100＝2100，所以log2(a101＋a102＋…＋a110)＝log22100＝100.‎ ‎11．[2019·广东深圳模拟]设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)．‎ ‎(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ 解析：(1)证明　由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝4a1＋2，则a2＝3a1＋2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.‎ ‎∵Sn＋1＝4an＋2，n∈N*，①‎ ‎∴Sn＝4an－1＋2，n≥2，n∈N*，②‎ ‎①－②得an＋1＝4an－4an－1，‎ ‎∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)．‎ ‎∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1，n≥2.‎ ‎∴数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．‎ ‎(2)由(1)可得bn＝3·2n－1，‎ ‎∴an＋1－2an＝3·2n－1，∴－＝，‎ 设cn＝，则cn＋1－cn＝，∴c1＝＝.‎ ‎∴数列{cn}是以为首项，为公差的等差数列．‎ ‎∴cn＝n－，∴an＝2n·cn＝(3n－1)·2n－2.‎