【数学】2020届一轮复习（理）通用版6-2等差数列作业 9页

‎6.2　等差数列 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测 热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.等差数列的通项公式与前n项和公式 ‎①理解等差数列的概念.‎ ‎②掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.‎ ‎④了解等差数列与一次函数的关系 ‎2018课标Ⅰ,4,5分 ‎ 等差数列的通项公式 及前n项和公式 ‎★★★‎ ‎2018课标Ⅱ,17,12分 等差数列的通项 公式、前n项和公式以 及等差数列的性质 ‎2017课标Ⅰ,4,5分 求等差数列的公差 ‎2.等差数列的性质 ‎2017 课标Ⅲ,9,5 分 ‎ 等差数列的通项公 式及前n项和公式 等比数列 ‎2016课标Ⅰ,3,5分 等差数列的通项公 式及前n项和公式 ‎2014课标Ⅰ,17,12 分 ‎ 证明等差数列 由 an与Sn 的关系 求数列的通项公式 分析解读　　1.理解等差数列的概念、等差数列的通项公式与前n项和公式.2.体会等差数列与一次函数的关系,掌握等差数列的一些基本性质.3.命题以求an,Sn为主,考查等差数列相关性质.4.本节内容在高考中主要考查等差数列定义、通项公式、前n项和公式及性质,分值约为5分,属中低档题.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　等差数列的通项公式与前n项和公式 ‎1.(2018安徽皖南八校第三次(4月)联考,4)已知等差数列{an}中,a2=1,前5项和S5=-15,则数列{an}的公差为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.-3　　　　B.-‎5‎‎2‎　　　　C.-2　　　　D.-4‎ 答案　D　‎ ‎2.(2017安徽合肥二模,7)已知‎1‎an是等差数列,且a1=1,a4=4,则a10=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.-‎4‎‎5‎　　　　B.-‎5‎‎4‎　　　　C.‎4‎‎13‎　　　　D.‎‎13‎‎4‎ 答案　A　‎ ‎3.(2018河南濮阳二模,7)已知等差数列{an}一共有9项,前4项和为3,最后3项和为4,则中间一项的值为(　　)‎ A.‎17‎‎20‎　　　　B.‎59‎‎60‎　　　　C.1　　　　D.‎‎67‎‎66‎ 答案　D　‎ 考点二　等差数列的性质 ‎1.(2018山西太原一模,5)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a3+a10=9,则S9=(　　)‎ A.3　　　　B.9　　　　C.18　　　　D.27‎ 答案　D　‎ ‎2.(2017河南百校联盟模拟,5)等差数列{an}中,Sn是其前n项和,a1=-9,S‎9‎‎9‎-S‎7‎‎7‎=2,则S10=(　　)‎ A.0　　　　B.-9　　　　C.10　　　　D.-10‎ 答案　A　‎ ‎3.(2018河北唐山第二次模拟,7)设{an}是任意等差数列,它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是(　　)‎ A.2X+Z=3Y　　　　 B.4X+Z=4Y C.2X+3Z=7Y　　　　D.8X+Z=6Y 答案　D　‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　等差数列的判定与证明 ‎1.(2018山东济宁第一次模拟,11)设数列{an}满足a1=1,a2=2,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n≥2且n∈N*),则a18=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎25‎‎9‎　　　　B.‎26‎‎9‎　　　　C.3　　　　D.‎‎28‎‎9‎ 答案　B　‎ ‎2.(2017山东淄博淄川中学4月模拟,19)已知数列{an}满足a1=1,an+1=1-‎1‎‎4‎an,其中n∈N*.‎ ‎(1)设bn=‎2‎‎2an-1‎,求证:数列{bn}是等差数列,并求出{an}的通项公式;‎ ‎(2)设cn=‎4‎ann+1‎,数列{cncn+2}的前n项和为Tn,是否存在正整数m,使得Tn<‎1‎cmcm+1‎对于n∈N*恒成立?若存在,求出m的最小值,若不存在,请说明理由.‎ 解析　(1)∵bn+1-bn=‎2‎‎2an+1‎-1‎-‎2‎‎2an-1‎=‎2‎‎2‎1-‎‎1‎‎4‎an-1‎-‎2‎‎2an-1‎=‎4‎an‎2an-1‎-‎2‎‎2an-1‎=2,∴数列{bn}是公差为2的等差数列,‎ 又b1=‎2‎‎2a‎1‎-1‎=2,∴bn=2+(n-1)×2=2n.‎ ‎∴2n=‎2‎‎2an-1‎,解得an=n+1‎‎2n.‎ ‎(2)由(1)可得cn=‎4×‎n+1‎‎2nn+1‎=‎2‎n,∴cncn+2=‎2‎n×‎2‎n+2‎=2‎1‎n‎-‎‎1‎n+2‎,∴Tn=2‎1-‎‎1‎‎3‎+‎1‎‎2‎‎-‎‎1‎‎4‎+‎1‎‎3‎‎-‎‎1‎‎5‎+…+‎1‎n-1‎‎-‎‎1‎n+1‎+‎1‎n‎-‎‎1‎n+2‎=2‎1+‎1‎‎2‎-‎1‎n+1‎-‎‎1‎n+2‎<3.‎ 要使得Tn<‎1‎cmcm+1‎对于n∈N*恒成立,只要3≤‎1‎cmcm+1‎,即m(m+1)‎‎4‎≥3,解得m≥3或m≤-4,且m为正整数,故m的最小值为3.‎ 方法2　等差数列前n项和的最值问题 ‎1.(2018江西赣中南五校联考,4)在等差数列{an}中,已知a3+a8>0,且S9<0,则S1、S2、…、S9中最小的是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.S5　　　　B.S6　　　　C.S7　　　　D.S8‎ 答案　A　‎ ‎2.(2018广东汕头模拟,8)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=9,S‎9‎‎9‎-S‎5‎‎5‎=-4,则Sn取最大值时的n为(　　)‎ A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.4或5‎ 答案　B　‎ ‎3.(2018湖南永州三模,11)已知数列{an}是等差数列,前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,给出下列结论:‎ ‎①a10=0;②S10最小;③S7=S12;④S20=0.‎ 其中一定正确的结论是(　　)‎ A.①②　　　　B.①③④　　　　C.①③　　　　D.①②④‎ 答案　C　‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 考点一　等差数列的通项公式与前n项和公式 ‎1.(2018课标Ⅰ,4,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.-12　　　　B.-10　　　　C.10　　　　D.12‎ 答案　B　‎ ‎2.(2016课标Ⅰ,3,5分)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=(　　)‎ A.100　　　　B.99　　　　C.98　　　　D.97‎ 答案　C　‎ ‎3.(2018课标Ⅱ,17,12分)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求Sn,并求Sn的最小值.‎ 解析　(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.‎ 由a1=-7得d=2.‎ 所以{an}的通项公式为an=2n-9.‎ ‎(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.‎ 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.‎ 方法总结　求等差数列前n项和Sn的最值的两种方法 ‎(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方或借助图象求二次函数的最值.‎ ‎(2)邻项变号法:‎ ‎①当a1>0,d<0时,满足am‎≥0,‎am+1‎‎≤0‎的项数m,可使得Sn取得最大值,最大值为Sm;‎ ‎②当a1<0,d>0时,满足am‎≤0,‎am+1‎‎≥0‎的项数m,可使得Sn取得最小值,最小值为Sm.‎ ‎4.(2014课标Ⅰ,17,12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数,‎ ‎(1)证明:an+2-an=λ;‎ ‎(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.‎ 解析　(1)证明:由题设anan+1=λSn-1,知an+1an+2=λSn+1-1.两式相减得,an+1(an+2-an)=λan+1.‎ 由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.‎ ‎(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,‎ 可得a2=λ-1,由(1)知,a3=λ+1.‎ 令2a2=a1+a3,解得λ=4.‎ 故an+2-an=4,由此可得,{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=1+(n-1)·4=4n-3;‎ ‎{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=3+(n-1)·4=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.‎ 因此存在λ=4,使得{an}为等差数列.‎ 思路分析　(1)已知anan+1=λSn-1,用n+1代替n得an+1·an+2=λSn+1-1,两式相减得结论.‎ ‎(2)利用a1=1,a2=λ-1,a3=λ+1及2a2=a1+a3,得λ=4.进而得an+2-an=4.故数列{an}的奇数项和偶数项分别组成公差为4的等差数列,分别求通项,进而求出{an}的通项公式,从而证出等差数列.‎ 方法总结　对于含an、Sn的等式的处理,往往可转换为关于an的递推式或关于Sn的递推式;对于存在性问题,可先探求参数的值再证明.‎ 考点二　等差数列的性质 ‎　(2017课标Ⅰ,4,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为(　　)‎ A.1　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.8‎ 答案　C　‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组 考点一　等差数列的通项公式与前n项和公式 ‎1.(2015浙江,3,5分)已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn.若a3,a4,a8成等比数列,则(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.a1d>0,dS4>0　　　　B.a1d<0,dS4<0‎ C.a1d>0,dS4<0　　　　D.a1d<0,dS4>0‎ 答案　B　‎ ‎2.(2018北京,9,5分)设{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为　　　　. ‎ 答案　an=6n-3‎ ‎3.(2016天津,18,13分)已知{an}是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n∈N*,bn是an和an+1的等比中项.‎ ‎(1)设cn=bn+1‎‎2‎-bn‎2‎,n∈N*,求证:数列{cn}是等差数列;‎ ‎(2)设a1=d,Tn=‎∑‎k=1‎‎2n(-1)kbk‎2‎,n∈N*,求证:‎∑‎k=1‎n‎1‎Tk<‎1‎‎2‎d‎2‎.‎ 证明　(1)由题意得bn‎2‎=anan+1,有cn=bn+1‎‎2‎-bn‎2‎=an+1·an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,‎ 所以{cn}是等差数列.‎ ‎(2)Tn=(-b‎1‎‎2‎+b‎2‎‎2‎)+(-b‎3‎‎2‎+b‎4‎‎2‎)+…+(-b‎2n-1‎‎2‎+b‎2n‎2‎)‎ ‎=2d(a2+a4+…+a2n)‎ ‎=2d·n(a‎2‎+a‎2n)‎‎2‎=2d2n(n+1).‎ 所以‎∑‎k=1‎n‎1‎Tk=‎1‎‎2‎d‎2‎‎∑‎k=1‎n‎1‎k(k+1)‎=‎1‎‎2‎d‎2‎‎∑‎k=1‎n‎1‎k‎-‎‎1‎k+1‎=‎1‎‎2‎d‎2‎·‎1-‎‎1‎n+1‎<‎1‎‎2‎d‎2‎.‎ 考点二　等差数列的性质 ‎1.(2015北京,6,5分)设{an}是等差数列.下列结论中正确的是(　　)‎ A.若a1+a2>0,则a2+a3>0　　　　‎ B.若a1+a3<0,则a1+a2<0‎ C.若0a‎1‎a‎3‎　　　　‎ D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0‎ 答案　C　‎ ‎2.(2015陕西,13,5分)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为　　　　. ‎ 答案　5‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2017课标Ⅲ,9,5分)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.-24　　　　B.-3　　　　C.3　　　　D.8‎ 答案　A　‎ ‎2.(2016浙江,6,5分)‎ 如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*.(P≠Q表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则(　　)‎ A.{Sn}是等差数列　　　　B.{Sn‎2‎}是等差数列 C.{dn}是等差数列　　　　D.{dn‎2‎}是等差数列 答案　A　‎ ‎3.(2015重庆,2,5分)在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6=　(　　)‎ A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.6‎ 答案　B　‎ ‎4.(2014辽宁,8,5分)设等差数列{an}的公差为d.若数列{‎2‎a‎1‎an}为递减数列,则(　　)‎ A.d<0　　　　 B.d>0　　　　‎ C.a1d<0　　　　 D.a1d>0‎ 答案　C　‎ ‎5.(2014福建,3,5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于(　　)‎ A.8　　　　B.10　　　　C.12　　　　D.14‎ 答案　C　‎ ‎6.(2016北京,12,5分)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6=　　　　. ‎ 答案　6‎ ‎7.(2016江苏,8,5分)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+a‎2‎‎2‎=-3,S5=10,则a9的值是　　　　. ‎ 答案　20‎ ‎8.(2015广东,10,5分)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=　　　　. ‎ 答案　10‎ ‎9.(2014北京,12,5分)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=　　　　时,{an}的前n项和最大. ‎ 答案　8‎ ‎10.(2013课标Ⅱ,16,5分,0.064)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为　　　　. ‎ 答案　-49‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题5分,共40分)‎ ‎1.(2019届江西九江第一次十校联考,7)已知数列{an}满足2an+1=2an-1(n∈N*),a1=1,S=a1+a4+a7+…+a37,则S的值为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.130　　　　B.-104　　　　C.-96　　　　D.370‎ 答案　B　‎ ‎2.(2019届吉林第一次调研测试,9)已知数列{an}是等差数列,前n项和为Sn,满足S1+4a4=S9,给出下列四个结论:①a7=0;②S14=0;③S5-S8=0;④S7最小.其中一定正确的结论是(　　)‎ A.①③　　　　B.①③④　　　　C.②③④　　　　D.①②‎ 答案　A　‎ ‎3.(2019届河北唐山一中期中,4)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1‎Sn+1‎=Sn,则S10=(　　)‎ A.‎1‎‎10‎　　　　B.-‎1‎‎10‎　　　　C.10　　　　D.-10‎ 答案　B　‎ ‎4.(2018安徽合肥第二次教学质量检测,5)中国古诗词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.174斤　　　　B.184斤　　　　C.191斤　　　　D.201斤 答案　B　‎ ‎5.(2018湖南三湘名校教育联盟第三次联考,5)已知等差数列{an}的各项都为整数,且a1=-5,a3a4=-1,则|a1|+|a2|+…+|a10|=(　　)‎ A.70　　　　B.58　　　　C.51　　　　D.40‎ 答案　B　‎ ‎6.(2017河北石家庄一模,8)已知函数f(x)在(-1,+∞)上单调,且函数y=f(x-2)的图象关于直线x=1对称,若数列{an}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则{an}的前100项的和为(　　)‎ A.-200　　　　B.-100　　　　C.0　　　　D.-50‎ 答案　B　‎ ‎7.(2018河南洛阳质量检测,11)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn(n∈N*),若SnTn=‎2n-1‎n+1‎,则a‎12‎b‎6‎=(　　)‎ A.‎15‎‎4‎　　　　B.‎15‎‎8‎　　　　C.‎23‎‎7‎　　　　D.3‎ 答案　A　‎ ‎8.(2018安徽淮北一模,9)Sn是等差数列{an}的前n项和,S2 018