【数学】2020届一轮复习人教版（理）第10章第9讲离散型随机变量的均值、方差和正态分布作业 10页

A组　基础关 ‎1．(2018·广西南宁模拟)设随机变量X～N(5，σ2)，若P(X＞10－a)＝0.4，则P(X＞a)＝(　　)‎ A．0.6 B．0.4 ‎ C．0.3 D．0.2‎ 答案　A 解析　因为随机变量X～N(5，σ2)，所以P(X＞5)＝P(X＜5)．因为P(X＞10－a)＝0.4，所以P(X＞a)＝1－P(X＜a)＝1－0.4＝0.6.故选A.‎ ‎2．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是(　　)‎ A．6和2.4 B．2和2.4‎ C．2和5.6 D．6和5.6‎ 答案　B 解析　由已知随机变量X＋Y＝8，所以Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.故选B.‎ ‎3．(2018·浙江嘉兴适应性训练)随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝(　　)‎ A．2 B．3 ‎ C．4 D．5‎ 答案　C 解析　p＝1－－＝，‎ E(X)＝0×＋2×＋a×＝2⇒a＝3，‎ ‎∴D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1.‎ ‎∴D(2X－3)＝22D(X)＝4.‎ ‎4．(2018· 潍坊模拟)我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度ξ 服从正态分布(100，σ2)(σ＞0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.7，则他的速度超过120的概率为(　　)‎ A．0.05 B．0.1 ‎ C．0.15 D．0.2‎ 答案　C 解析　由题意可得，μ＝100，且P(80＜ξ＜120)＝0.7，‎ 则P(ξ＜80或ξ＞120)＝1－P(80＜ξ＜120)＝1－0.7＝0.3，‎ ‎∴P(ξ＞120)＝P(ξ＜80或ξ＞120)＝0.15.‎ 则他的速度超过120的概率为0.15.‎ ‎5．有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用ξ表示取到次品的件数，则E(ξ)等于(　　)‎ A. B. ‎ C. D．1‎ 答案　A 解析　ξ服从超几何分布P(ξ＝x)＝(x＝0,1,2)，‎ 则P(ξ＝0)＝＝＝，‎ P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝.‎ 故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.故选A.‎ ‎6．某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A等级的概率分别为，，，且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立．记ξ为该生取得A等级的课程数，其分布列如下表所示，则数学期望E(ξ)的值为(　　)‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P a b A. B. ‎ C. D．1‎ 答案　C 解析　①学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，有两门取得A等级有以下三种情况：政、史；政、地；地、史，∴P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝.‎ ‎②根据分布列的性质可得，P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－－－＝.‎ E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝，故选C.‎ ‎7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的数学期望E(ξ)为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 答案　A 解析　由于对称轴在y轴左侧，故－＜0，故a，b同号，基本事件有3×3×7×2＝126，ξ的可能取值有0,1,2三种．P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，故期望值为0×＋1×＋2×＝，故选A.‎ ‎8．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ，η，其分布列分别为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ η ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ 若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．‎ 答案　乙 解析　甲、乙的均值分别为E(ξ)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，‎ E(η)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，‎ 所以E(ξ)>E(η)，‎ 故乙的技术较好．‎ ‎9．设平面上的动点P(1，y)的纵坐标y等可能地取－2，－，0，，2，用ξ表示点P到坐标原点的距离，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________.‎ 答案　 解析　由题意，随机变量ξ的值分别为3,2,1，则随机变量ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以随机变量ξ的数学期望 E(ξ)＝×1＋×2＋×3＝.‎ ‎10．一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数为ξ，则ξ的期望值为________．‎ 答案　1‎ 解析　将四个小球放入四个盒子，每个盒子放一个小球，共有A种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0,1,2,4.其中，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，‎ 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2××4×＝1.‎ B组　能力关 ‎1．(2018·浙江高考)设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是 则当p在(0,1)内增大时，(　　)‎ A．D(ξ)减小 B．D(ξ)增大 C．D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小 答案　D 解析　由分布列可知E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝p＋，所以方差D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝－p2＋p＋，所以D(ξ)是关于p的二次函数，开口向下，所以D(ξ)先增大后减小．‎ ‎2．(2018·潍坊二模)交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险的基准保费为a元，在下一年续保时，实行费率浮动机制，保费与车辆发生道路交通事故出险的情况相联系，最终保费＝基准保费×(1＋与道路交通事故相联系的浮动比率)，具体情况如下表：‎ 为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：‎ 类型 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ 数量 ‎20‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎38‎ ‎20‎ ‎2‎ 若以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，则随机抽取一辆该品牌车在第四年续保时的费用的期望为(　　)‎ A．a元 B．0.958a元 ‎ C．0.957a元 D．0.956a元 答案　D 解析　设X为一辆该品牌车在第四年续保时的费用，由题意可知X的可能取值为0.9a,0.8a,0.7a，a,1.1a,1.3a.‎ 由统计数据可知 P(X＝0.9a)＝0.2，P(X＝0.8a)＝0.1，‎ P(X＝0.7a)＝0.1，P(X＝a)＝0.38，‎ P(X＝1.1a)＝0.2，P(X＝1.3a)＝0.02.‎ 所以X的分布列为 X ‎0.9a ‎0.8a ‎0.7a a ‎1.1a ‎1.3a P ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.38‎ ‎0.2‎ ‎0.02‎ E(X)＝0.9a×0.2＋0.8a×0.1＋0.7a×0.1＋a×0.38＋1.1a×0.2＋1.3a×0.02＝0.956a(元)．‎ ‎3．(2018·吉林三模)某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩(单位：分)X服从正态分布N(110,102)，从中抽取一个同学的数学成绩ξ，记该同学的成绩90＜ξ≤110为事件A，记该同学的成绩80＜ξ≤100为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P(B|A)＝________.(结果用分数表示)‎ 附：X满足：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826；P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544；P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.‎ 答案　 解析　由题意，P(A)＝0.4772，P(B)＝×(0.9974－0.6826)＝0.1574，P(AB)＝×(0.9544－0.6826)＝0.1359.‎ ‎∴P(B|A)＝＝.‎ ‎4．(2018·惠州二模)某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10分，背诵错误减10分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种．其中某班级学生背诵正确的概率p＝，记该班级完成n首背诵后的总得分为Sn.‎ ‎(1)求S6＝20且Si≥0(i＝1,2,3)的概率；‎ ‎(2)记ξ＝|S5|，求ξ的分布列及数学期望．‎ 解　(1)当S6＝20时，即背诵6首后，正确的有4首，错误的有2首．‎ 由Si≥0(i＝1,2,3)可知，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首；‎ 若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首．‎ 则所求的概率P＝2×C2×2＋×××C2×＝.‎ ‎(2)由题意知ξ＝|S5|的所有可能的取值为10,30,50，又p＝，‎ ‎∴P(ξ＝10)＝C3×2＋C2×3＝，‎ P(ξ＝30)＝C4×1＋C1×4＝，‎ P(ξ＝50)＝C5×0＋C0×5＝，‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎10‎ ‎30‎ ‎50‎ P ‎∴E(ξ)＝10×＋30×＋50×＝.‎ C组　素养关 ‎1．(2017·全国名校名师原创联考)汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：‎ A型车 出租天数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 车辆数 ‎5‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎15‎ ‎3‎ ‎2‎ B型车 出租天数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 车辆数 ‎14‎ ‎20‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎(1)从出租天数为3天的汽车(仅限A，B 两种车型)中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；‎ ‎(2)根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；‎ ‎(3)①试写出A，B两种车型的出租天数的分布列及均值；‎ ‎②如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．‎ 解　(1)这辆汽车是A型车的概率约为P＝＝0.6，‎ 故这辆汽车是A型车的概率为0.6.‎ ‎(2)设“事件Ai表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为i天”，“事件Bj表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中i，j＝1,2,3，…，7，‎ 则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为 P(A1B3＋A2B2＋A3B1)‎ ‎＝P(A1B3)＋P(A2B2)＋P(A3B1)‎ ‎＝P(A1)P(B3)＋P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B1)‎ ‎＝×＋×＋×＝，‎ 故该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为.‎ ‎(3)①设X为A型车出租的天数，则X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ P ‎0.05‎ ‎0.10‎ ‎0.30‎ ‎0.35‎ ‎0.15‎ ‎0.03‎ ‎0.02‎ 设Y为B型车出租的天数，则Y的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ P ‎0.14‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.16‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ E(X)＝1×0.05＋2×0.10＋3×0.30＋4×0.35＋5×0.15＋6×0.03＋7×0.02＝3.62，‎ E(Y)＝1×0.14＋2×0.20＋3×0.20＋4×0.16＋5×0.15＋6×0.10＋7×0.05＝3.48.‎ ‎②一辆A类车型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.48天，故选择A类型的出租车更加合理．‎ ‎2．(2018·安徽阜阳月考)‎ 从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎(1)估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg的概率；‎ ‎(2)假设该市高一学生的体重X服从正态分布N(57，σ2)．‎ ‎①利用(1)的结论估计该高一某个学生体重介于54～57 kg之间的概率；‎ ‎②从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于54～57 kg之间的人数为Y，利用(1)的结论，求Y的分布列及E(Y)．‎ 解　(1)这400名学生中，体重超过60 kg的频率为(0.04＋0.01)×5＝，‎ 由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg的概率为.‎ ‎(2)①∵X～N(57，σ2)，‎ 由(1)知P(X>60)＝，‎ ‎∴P(X<54)＝，‎ ‎∴P(54