【数学】2021届一轮复习人教版（文理通用）第6章第5讲合情推理与演绎推理作业 8页

对应学生用书[练案43理][练案42文]‎ 第五讲　合情推理与演绎推理 A组基础巩固 一、选择题 ‎1．(2019·陕西西安中学模考)由①安梦怡是高三(21)班学生；②安梦怡是独生子女；③高三(21)班的学生都是独生子女．写一个“三段论”形式的推理，则大前提、小前提和结论分别为(　B　)‎ A．②①③　 B．③①②　‎ C．①②③　 D．②③①‎ ‎[解析]　因为高三(21)班的学生都是独生子女，而安梦怡是高三(21)班学生，所以安梦怡是独生子女，故选B．‎ ‎2．下面几种推理过程是演绎推理的是(　C　)‎ A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人 B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质 C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分 D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋)，计算前3项并归纳出{an}的通项公式 ‎[解析]　A、D是归纳推理；B是类比推理；C使用了“三段论”，是演绎推理，故选C．‎ ‎3．给出下列三个类比结论．‎ ‎①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；‎ ‎②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；‎ ‎③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋‎2a·b＋b2.‎ 其中正确结论的个数是(　B　)‎ A．0　 B．1　‎ C．2　 D．3‎ ‎[解析]　(a＋b)n≠an＋bn(n≠1，a·b≠0)，故①错误．sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立，如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝，故②错误．由向量的运算公式知③正确．故选B．‎ ‎4．(2019·湖南岳阳一中质检)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　A　)‎ A．－g(x)　 B．f(x)　‎ C．－f(x)　 D．g(x)‎ ‎[解析]　在(x2)′＝2x中，原函数为偶函数、导函数为奇函数；(x4)′＝4x3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；(cos x)′＝－sin x中，原函数为偶函数，导函数为奇函数．由此我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，又g(x)为f(x)的导函数，所以g(x)为奇函数，故g(－x)＋g(x)＝0，即g(－x)＝－g(x)，故选A．‎ ‎5．若数列{an}是等差数列，则数列{bn}(bn＝)也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为(　D　)‎ A．dn＝　 B．dn＝ C．dn＝　 D．dn＝ ‎[解析]　若{cn}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，所以bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列．若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，所以dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列，故选D．‎ ‎6．(2020·葫芦岛测评)在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排在一张圆桌上，为了使他们能够自由与邻座交谈，事先了解到的情况如下．‎ 甲是中国人，还会说英语；‎ 乙是法国人，还会说日语；‎ 丙是英国人，还会说法语；‎ 丁是日本人，还会说汉语；‎ 戊是法国人，还会说德语．‎ 则这五位代表的座位顺序应为(　D　)‎ A．甲、丙、丁、戊、乙　 B．甲、丁、丙、乙、戊 C．甲、乙、丙、丁、戊　 D．甲、丙、戊、乙、丁 ‎[解析]　由题意，甲、乙、丙、丁、戊5个人围成圆圈，而且每一个人和相邻的两个人都能通过语言交流．从甲开始，甲会说汉语和英语，则甲的相邻座位一定是丙和丁，可知选项D符合．或运用排除法来解决，观察每个答案中最后一个人和甲是否能够交流，戊不能和甲交流，因此，选项B，C错误，乙不能和甲交流，选项A错误，故选D．‎ ‎7．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”‎ 原意是指《孙子算经》中记载的算筹．在古代是用算筹来进行计算的，表示数的算筹有纵、横两种形式，如图所示．表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6 613用算筹表示就是，则9 117用算筹可表示为(　A　)‎ A．　 B．‎ C．　 D．‎ ‎[解析]　由题意知，千位9为横式，百位1为纵式，十位1为横式，个位7为纵式，故选A．‎ ‎8．(2020·河南安阳一模)如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，……，以此类推，则标2 0172的格点的坐标为(　A　)‎ A．(1 009,1 008)　 B．(1 008,1 007)‎ C．(2 017,2 016)　 D．(2 016,2 015)‎ ‎[解析]　点(1,0)处标1，即12；点(2,1)处标9，即32；点(3,2)处标25，即52；……，由此推断点(n＋1，n)处标(2n＋1)2，当2n＋1＝2 017时，n＝1 008，故标2 0172的格点的坐标为(1 009,1 008)．故选A．‎ ‎9．(2020·广东六校第三次联考)自主招生联盟成形于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟，调查某高中学校学生自主招生报考的情况，得到如下结果：‎ ‎①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟；②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟；③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟；④不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟．‎ 根据上述调查结果，下列结论错误的是(　D　)‎ A．没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生 B．报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多 C．报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟 D．报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟 ‎[解析]　设该校报考“北约”联盟，“华约”联盟，“京派”联盟和“卓越”联盟的学生分别为集合A，B，C，D，报考自主招生的总学生为U，则由题意，知A∩B＝∅，B⊆C，D∩C＝∅，∁UD＝B，∴A⊆D，B＝C，B∩D＝∅，选项A，B∩D＝∅，正确；选项B，B＝C，正确；选项C，A⊆D，正确，故选D．‎ ‎10．(2020·山西太原模拟)我国古代数学名著《九章算术》中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋＝x求得x＝.类比上述过程，则＝(　A　)‎ A．3　 B．　‎ C．6　 D．2 ‎[解析]　令＝x(x>0)，两边平方得，3＋2＝x2，即3＋2x＝x2，解得x＝3，x＝－1(舍去)，故＝3，选A．‎ 二、填空题 ‎11．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照图中的规律，第n个“金鱼”需要火柴棒的根数为6n＋2 .‎ ‎[解析]　由题意知，第1个图中有8根火柴棒，第2个图中有8＋6根火柴棒，第3个图中有8＋2×6根火柴棒，……，依此类推，第n个“金鱼”需要火柴棒的根数为8＋6(n－1)＝6n＋2.‎ ‎12．第七届世界军人运动会将于‎2019年10月18日至27日在湖北武汉举行．武汉市体育局为了让市民更多地了解军运会，并倡议大家做文明公民，准备组建A，B，C，D四个宣讲小组，开展丰富多彩的宣传和教育活动，其中甲、乙、丙、丁四人在不同的四个小组中，在被问及参加了哪个宣讲小组时，甲说：“我没有参加A和B小组．”乙说：“我没有参加A和D小组．”丙说：“我也没有参加A和D小组．”丁说：“如果乙不参加B小组，我就不参加A小组，”则参加C小组的人是丙 .‎ ‎[解析]　由题意知丁参加A小组，则乙参加B小组，由甲、丙的说法知丙参加C小组，甲参加D小组．故参加C小组的人是丙．‎ ‎13.在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝.推广到空间中可以得到类似结论：如图，已知正四面体DABC，O为其内切球的球心，内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝　.‎ ‎ [解析]　过点D作DE⊥平面ABC，垂足为E，连接AE，AO，设正四面体的棱长为a，其内切球与外接球的半径分别为r，R，则正四面体DABC的高为DE＝a，AE＝a.‎ 在Rt△AEO中，R2＝(a)2＋(a－R)2，解得R＝a，‎ 所以r＝a－a＝a，‎ 所以正四面体DABC的内切球与外接球的半径之比为r︰R＝1︰3，‎ 故＝＝.‎ B组能力提升 ‎1．(2020·四川南充模拟)某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是(　B　)‎ A．今天是周六　 B．今天是周四 C．A车周三限行　 D．C车周五限行 ‎[解析]　因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，不是周五，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周二，也不是周六，所以今天是周四．故选B．‎ ‎2．(2019·黑龙江省牡丹江一中期末)按照图①～图③的规律，第10个图中圆点的个数为(　B　)‎ A．36　 B．40　‎ C．44　 D．52‎ ‎[解析]　因为根据图形，第一个图有4个点，第二个图有8个点，第三个图有12个点，…，所以第10个图有10×4＝40个点．故选B．‎ ‎3．(2019·福建永春调研)在平面几何里有射影定理：设三角形ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC．拓展到空间，在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，且O在△BCD内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是(　A　)‎ A．S＝S△BCO·S△BCD　 B．S＝S△BOD·S△BOC C．S＝S△DOC·S△BOC　 D．S＝S△ABD·S△ABC ‎[解析]　‎ 由已知，在平面几何中，若△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，则AB2＝BD·BC．可以类比这一性质，推理出：若三棱锥D－ABC中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足，如图所示，则(S△ABC)2＝S△BCO·S△BCD，故选A．‎ ‎4．(2019·陕西西安测试)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：‎ 三角形数　N(n,3)＝n2＋n；‎ 正方形数　N(n,4)＝n2；‎ 五边形数　N(n,5)＝n2－n；‎ 六边形数　N(n,6)＝2n2－n；‎ ‎……‎ 可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝1 000 .‎ ‎[解析]　观察n2和n前面的系数，可知一个成递增的等差数列，另一个成递减的等差数列．‎ 易知n2前的系数为(k－2)，而n前的系数为(4－k)．‎ 则N(n，k)＝(k－2)n2＋(4－k)n，‎ 故N(10,24)＝×(24－2)×102＋×(4－24)×10＝1 000.‎ ‎5．(文)(2019·湖北八校联考)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则＝－　.‎ ‎(理)(2019·陕西省西安市期中)《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形面积的求法填补了我国数学史中的一个空白，虽与著名的海伦公式形式上有所不同，但实质完全等价，由此可以看出我国古代已经具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”把以上这段文字用数学公式表示，即S＝(S，a，b，c分别表示三角形的面积、大斜、中斜、小斜)．现有周长为4＋2的△ABC满足sin A︰sin B︰sin C＝(＋1)︰︰(－1)，试用以上给出的数学公式计算△ABC的面积为(　A　)‎ A．　 B．‎2‎　‎ C．　 D．2 ‎[解析]　(文)由m2＋n＝4得n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°，代入所求表达式，可得＝＝－.‎ ‎(理)因为sin A︰sin B︰sin C＝(＋1)︰︰(－1)，‎ 则由正弦定理得a︰b︰c＝(＋1)︰︰(－1)．‎ 设a＝(＋1)x，b＝x，c＝(－1)x，又周长为4＋2，‎ 所以4＋2＝(＋1)x＋x＋(－1)x，解得x＝2.‎ 所以S＝‎ ‎＝.故选A．‎