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- 2021-06-24 发布
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第4节 指数与指数函数
1．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于( )
A．5 B．7 C．9 D．11
解析：B [由f(a)＝3得2a＋2－a＝3，两边平方得22a＋2－2a＋2＝9，即22a＋2－2a＝7，故f(2a)＝7.]
2．(2019·蚌埠市一模)已知a＝21.2，b＝－0.8，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＜a＜b B．c＜b＜a
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
解析：B [a＝21.2＞b＝－0.8＝20.8＞1＞c＝ln 2，故a＞b＞c故选B.]
3．函数y＝(00时，函数是一个指数函数，因为00，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：B [由f(1)＝，得a2＝，
∴a＝ ，即f(x)＝|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，
所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B.]
5．若函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则实数a的值是( )
A．3 B.
C．3或 D．5或
解析：C [设ax＝t，则原函数的最大值问题转化为求关于t的函数y＝t2＋2t－1的最大值问题．因为函数图象的对称轴为t＝－1，且开口向上，所以函数y＝t2＋2t－1在t∈(0，＋∞)上是增函数．当a>1时，a－1≤t≤a，所以t＝a时，y取得最大值14，即a2＋2a－1＝14，解得a＝3(或－5，舍去)；当00}＝____________.
解析：∵f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4.
所以f(x)＝
有或
当f(x－2)>0时，
解得x>4或x<0.
所以{x|f(x－2)>0}＝{x|x<0或x>4}
答案： {x|x<0或x>4}
8．函数y＝x－x＋1在x∈[－3,2]上的值域是________．
解析：y＝x－x＋1
＝2－x＋1
＝2＋，
因为x∈[－3,2]，所以≤x≤8.
当x＝，即x＝1时ymin＝；当x＝8，即x＝－3时，ymax＝57.
所以函数y的值域为.
答案：
10．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求m的值；
(2)设g(x)＝2x＋1－a，若函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点，求实数a的取值范围．
解析：(1)由函数f(x)是奇函数可知f(0)＝1＋m＝0，解得m＝－1.
(2)函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点，
即方程＝2x＋1－a至少有一个实根，
即方程4x－a·2x＋1＝0至少有一个实根．
令t＝2x>0，则方程t2－at＋1＝0至少有一个正根．
方法一：由于a＝t＋≥2，∴a的取值范围为[2，＋∞)．
方法二：令h(t)＝t2－at＋1，由于h(0)＝1>0，
∴只须解得a≥2.∴a的取值范围为[2，＋∞)．
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