【数学】2020届数学文一轮复习第九章第3讲圆的方程作业 6页

‎1．方程y＝表示的曲线是(　　)‎ A．上半圆　　　　　　　 B.下半圆 C．圆 D．抛物线 解析：选A.由方程可得x2＋y2＝1(y≥0)，即此曲线为圆x2＋y2＝1的上半圆．‎ ‎2．以M(1，0)为圆心，且与直线x－y＋3＝0相切的圆的方程是(　　)‎ A．(x－1)2＋y2＝8 B.(x＋1)2＋y2＝8‎ C．(x－1)2＋y2＝16 D．(x＋1)2＋y2＝16‎ 解析：选A.因为所求圆与直线x－y＋3＝0相切，所以圆心M(1，0)到直线x－y＋3＝0的距离即为该圆的半径r，即r＝＝2.所以所求圆的方程为：(x－1)2＋y2＝8.故选A.‎ ‎3．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　)‎ A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1　 B.(x－2)2＋(y＋2)2＝1‎ C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1‎ 解析：选B.圆C1的圆心坐标为(－1，1)，半径为1，设圆C2的圆心坐标为(a，b)，由题意得解得所以圆C2的圆心坐标为(2，－2)，又两圆的半径相等，故圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.‎ ‎4．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为(　　)‎ A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2‎ C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2‎ 解析：选D.由题意知x－y＝0和x－y－4＝0之间的距离为＝2，所以r＝.‎ 又因为x＋y＝0与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0，0)，由x＋y＝0和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.‎ ‎5．在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，0)，B(0，1)，则满足|PA|2－|PB|2＝4且在圆x2＋y2＝4上的点P的个数为(　　)‎ A．0 B.1‎ C．2 D．3‎ 解析：选C.设P(x，y)，则由|PA|2－|PB|2＝4，得(x＋1)2＋y2－x2－(y－1)2＝4，所以x＋y－2＝0.求满足条件的点P的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离为＝＜2＝r，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P有2个，选C.‎ ‎6．已知动点M(x，y)到点O(0，0)与点A(6，0)的距离之比为2，则动点M的轨迹所围成的区域的面积是________．‎ 解析：依题意可知＝2，即＝2，‎ 化简整理得(x－8)2＋y2＝16，‎ 即动点M的轨迹是以(8，0)为圆心，半径为4的圆．‎ 所以其面积为S＝πR2＝16π.‎ 答案：16π ‎7．(2019·湖南湘东五校联考)圆心在抛物线y＝x2(x<0)上，且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为____________________．‎ 解析：依题意设圆的方程为(x－a)2＋＝r2(a<0)，又该圆与抛物线的准线及y轴均相切，所以＋a2＝r＝－a⇒故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋＝1.‎ 答案：(x＋1)2＋＝1‎ ‎8．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．‎ 解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．‎ 因为△OPQ为直角三角形，‎ 所以圆心为斜边PQ的中点(2，1)，‎ 半径r＝＝，‎ 因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.‎ 答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5‎ ‎9．已知以点P为圆心的圆经过A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.‎ ‎(1)求直线CD的方程；‎ ‎(2)求圆P的方程．‎ 解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2)．则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.‎ ‎(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①‎ 又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2，‎ 所以(a＋1)2＋b2＝40.②‎ 由①②解得或 所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)．‎ 所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.‎ ‎10．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．‎ ‎(1)求m＋2n的最大值；‎ ‎(2)求的最大值和最小值．‎ 解：将圆C化为标准方程可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，‎ 所以圆心C(2，7)，半径r＝2.‎ ‎(1)设m＋2n＝b，则b可看作是直线n＝－m＋在y轴上截距的2倍，故当直线m＋2n＝b与圆C相切时，b有最大或最小值．‎ 所以＝2，‎ 所以b＝16＋2(b＝16－2舍去)，‎ 所以m＋2n的最大值为16＋2.‎ ‎(2)设＝k，则k可看作点(m，n)与点(－2，3)所在直线的斜率，‎ 所以当直线n－3＝k(m＋2)与圆C相切时，k有最大、最小值，所以＝2，‎ 解得k＝2＋或k＝2－.‎ 所以的最大值为2＋，最小值为2－.‎ ‎1．直线l：ax＋by＝0和圆C：x2＋y2＋ax＋by＝0在同一坐标系的图形只能是(　　)‎ 解析：选D.圆C的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为d＝＝，‎ 所以直线与圆相切，故选D.‎ ‎2．已知P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝a2(a>0)上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，△PAB的面积的最大值为8，则a的值为(　　)‎ A．1 B.2‎ C．3 D．4‎ 解析：选A.要使△PAB的面积最大，只要点P到直线AB的距离最大．‎ 由于AB的方程为y＝0，圆心(0，3)到直线AB的距离为d＝3，‎ 故P到直线AB的距离的最大值为3＋a.‎ 再根据AB＝4，可得△PAB面积的最大值为·AB·(3＋a)＝2(3＋a)＝8，所以a＝1，故选A.‎ ‎3．设曲线x＝上的点到直线x－y－2＝0的距离的最大值为a，最小值为b，则a－b的值为(　　)‎ A. B. C.＋1 D．2‎ 解析：选C.由x＝得y2－2y＋x2＝0(x≥0)，即x2＋(y－1)2＝1(x≥0)，表示以(0，1)为圆心，1为半径的右半圆，如图．圆心(0，1)到直线x－y－2＝0的距离为＝.结合图形可知曲线x＝上的点到直线x－y－2＝0的距离的最小值为－1，最大值为点P(0，2)到直线x－y－2＝0的距离＝2，因此a＝2，b＝－1.因此a－b＝＋1.故选C.‎ ‎4．设命题p：(x，y，k∈R且k>0)；命题q：(x－3)2＋y2≤25(x，y∈R). 若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是________．‎ 解析：如图所示：‎ 命题p表示的范围是图中△ABC的内部(含边界)，命题q表示的范围是以点(3，0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p是q的充分不必要条件．实际上只需A，B，C三点都在圆内(或圆上)即可．‎ 由题知B，则 解得00)，‎ 则有解得 故圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.‎ 法二：(几何法)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0，1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．‎ 故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为＝3，‎ 所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.‎ ‎6．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.‎ ‎(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；‎ ‎(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；‎ ‎(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．‎ 解：(1)由D2＋E2－4F>0得(－2)2＋(－4)2－4m>0，解得m<5.‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x＋2y－4＝0得x＝4－2y；将x＝4－2y代入x2＋y2－2x－4y＋m＝0得5y2－16y＋8＋m＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.因为OM⊥ON，所以·＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.因为x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2，所以x1x2＋y1y2＝16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0，即(8＋m)－8×＋16＝0，解得m＝.‎ ‎(3)设圆心C的坐标为(a，b)，则a＝(x1＋x2)＝，b＝(y1＋y2)＝，半径r＝|OC|＝，所以所求圆的方程为＋＝.‎