【数学】2020届一轮复习人教A版 离散型随机变量及其分布列 课时作业 6页

‎63　离散型随机变量及其分布列 ‎　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题 ‎1．[2019·江西八校联考]从集合{1,2,3，…，10}中任取5个数组成集合A，则A中任意两个元素之和不等于11的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：分组考虑：(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,7)，(5,6)．若A中任意两个元素之和不等于11，则5个元素必须只有每组中的其中一个，故所求概率P＝＝.故选C.‎ 答案：C ‎2．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(X＝2)等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由分布列的性质，得＝1，解得a＝3，所以P(X＝2)＝＝.‎ 答案：C ‎3．[2019·淄博八校联考]某单位有840名职工，现采用系统抽样的方法抽取42名职工进行对公司福利满意度的问卷调查，将840人按1,2,3，…，840随机编号，若从抽取的42人中随机抽取1人进行追踪调查，则此人的编号落入区间[481,720]的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由题意得，系统抽样的分段间隔为＝20，则编号落入区间[481,720]的人数为＝12，所以所求概率P＝＝.‎ 答案：B ‎4．[2019·武汉模拟]从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝＝.‎ 答案：C ‎5．设随机变量X的概率分布列如下表所示：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P a 若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由分布列的性质，得a＋＋＝1，所以a＝.而x∈[1,2)，所以F(x)＝P(X≤x)＝＋＝.‎ 答案：D 二、填空题 ‎6．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．‎ 解析：设所选女生人数为X，则X服从超几何分布，‎ 其中N＝6，M＝2，n＝3，‎ 则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.‎ 答案： ‎7．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎______‎ ‎______‎ ‎______‎ 解析：当2球全为白球时＝0.1，‎ 当1红、1白时＝＝0.6，‎ 当2球全为红球时＝0.3.‎ 答案：0.1　0.6　0.3‎ ‎8．[2019·烟台模拟]随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P的值为________．‎ 解析：由题意得＋＋＋＝1，‎ a＝＝1，a＝，‎ P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎9．[2019·山东青岛模拟]‎ 一个袋中装有7个除颜色外完全相同的球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4；蓝球3个，编号分别为2,4,6，现从袋中任取3个球(假设取到任一球的可能性相同)．‎ ‎(1)求取出的3个球中含有编号为2的球的概率；‎ ‎(2)记ξ为取到的球中红球的个数，求ξ的分布列．‎ 解析：(1)设A＝“取出的3个球中含有编号为2的球”，‎ 则P(A)＝＝＝＝.‎ ‎(2)由题意得，ξ可能取的值为0,1,2,3，则 P(ξ＝0)＝＝，‎ P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝，‎ P(ξ＝3)＝＝，‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎10.[2019·长沙模拟]大型亲子真人秀《爸爸去哪儿》(第五季)暖心回归，节目组要求五位明星爸爸在72小时的户外体验中，单独照顾子女的饮食起居，共同完成节目组设置的一系列任务．经过一季13期的录制，六位萌娃Neinei和Max、嗯哼、Jasper、小泡芙、小山竹收获了一大批的粉丝，同时也带动各自星爸的事业发展．在第五季第8期的节目录制中，节目组请来了萌娃的妈妈们，并让萌娃和妈妈们一起玩“选妈妈”游戏：有四位妈妈分别躲在四个外观一模一样的花轿里让萌娃们去猜哪一个花轿里是自己的妈妈．假设各位萌娃都是随机选择，选到每一位妈妈都是等可能的．‎ ‎(1)已知嗯哼的妈妈在某个花轿里，如果给嗯哼两次机会单独去玩“选妈妈”游戏，求他选到自己妈妈的概率；‎ ‎(2)如果四位妈妈所对应的四位萌娃一起选择，一人只选一个花轿，而且每个人选的花轿都不相同，记恰好选到自己妈妈的人数为X，求X的分布列与数学期望．‎ 解析：(1)记“嗯哼选到自己妈妈”为事件A，则 P(A)＝＋×＝.‎ ‎(2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,4，‎ P(X＝4)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝0)＝1－P(X＝4)－P(X＝2)－P(X＝1)＝.‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎11．[2018·天津卷]已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．‎ ‎(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？‎ ‎(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．‎ ‎(ⅰ)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；‎ ‎(ⅱ)设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．‎ 解析：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．‎ ‎(2)(ⅰ)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．‎ 所以，随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎(ⅱ)设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B∪C，且B与C互斥．‎ 由(ⅰ)知P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，‎ 故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝.‎ 所以事件A发生的概率为.‎