【数学】2020届一轮复习新课改省份专用版5-3平面向量的数量积与平面向量应用举例作业 7页

课时跟踪检测(三十)　平面向量基本定理及坐标表示 一、题点全面练 ‎1．(2019·石家庄二中模拟)已知a＝(3，t)，b＝(－1,2)，若存在非零实数λ，使得a＝λ(a＋b)，则t＝(　　)‎ A．6　　　　　　　　　 B.－6‎ C．－ D． 解析：选B　因为a＋b＝(2，t＋2)，a＝λ(a＋b)，所以解得t＝－6.‎ ‎2．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　　)‎ A．(－2，－4) B.(－3，－5)‎ C．(3,5) D．(2,4)‎ 解析：选B　由题意得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．‎ ‎3．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)‎ A．(－23，－12) B.(23,12)‎ C．(7,0) D．(－7,0)‎ 解析：选A　由题意可得3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，‎ 所以解得所以c＝(－23，－12)．‎ ‎4．(2018·济南调研)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋b与a－2b共线，则m的值为(　　)‎ A．2　　　 B.－2　　　　C.　　　 D．－ 解析：选D　由a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋b＝(2m－1,3m＋2)，a－2b＝(4，－1)，又ma＋b与a－2b共线，所以－1×(2m－1)＝(3m＋2)×4，得m＝－，故选D.‎ ‎5.如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是边BE的中点，若＝a，＝b，则＝(　　)‎ A.a＋b　　　 B.a＋b C.a＋b D．a＋b 解析：选D　∵在△ABC中，BE是边AC上的中线，‎ ‎∴＝.‎ ‎∵O是边BE的中点，‎ ‎∴＝(＋)＝＋＝a＋b.‎ ‎6．已知||＝1，||＝，⊥， 点C在线段AB上，∠AOC＝30°.设＝m＋n (m，n∈R)，则等于(　　)‎ A. B.3‎ C. D． 解析：选B　如图，由已知||＝1，||＝，⊥，可得AB＝2，∠A＝60°，因为点C在线段AB上，∠AOC＝30°，所以OC⊥AB，过点C作CD⊥OA，垂足为点D，则OD＝，CD＝，所以＝，＝，即＝＋，所以＝3.‎ ‎7．在 △ABC中，＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值为________．‎ 解析：因为B，P，N三点共线，‎ 所以＝t＋(1－t)＝t＋(1－t)，‎ 又因为＝m＋，‎ 所以 解得m＝t＝.‎ 答案： ‎8．如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.‎ 解析：法一：‎ 以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则＝，＝，＝(1,1)．‎ ‎∵＝λ＋μ＝，‎ ‎∴解得∴λ＋μ＝.‎ 法二：由＝＋，＝－＋，得＝λ＋μ＝＋＋μ，‎ 又＝＋，∴解得 所以λ＋μ＝.‎ 答案： ‎9．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________.‎ 解析：＝－＝(－3,2)，因为Q是AC的中点，所以＝2＝(－6,4)，＝＋＝(－2,7)，因为＝2，所以＝3＝(－6,21)．‎ 答案：(－6,21)‎ ‎10．已知A(－3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，则实数λ的值为________．‎ 解析：由题意知＝(－3,0)，＝(0，)，‎ 则＝(－3λ，)，‎ 由∠AOC＝30°，知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，所以tan 150°＝，即－＝－，所以λ＝1.‎ 答案：1‎ ‎11.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设＝a，＝b，试以a，b为基底表示向量，，.‎ 解：＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a，‎ ＝＋＝－b＋＝b－a，‎ ＝＋＝－b－＝a－b.‎ ‎12．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋.‎ ‎(1)求△ABM与△ABC的面积之比；‎ ‎(2)若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，求x，y的值．‎ 解：(1)由＝＋，可知M，B，C三点共线．‎ 如图，设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，所以λ＝，‎ 所以＝，即△ABM与△ABC的面积之比为1∶4.‎ ‎(2)由＝x＋y，得＝x＋，‎ ＝＋y，‎ 由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线，‎ 得解得 二、专项培优练 ‎(一)易错专练——不丢怨枉分 ‎1．已知向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a与b方向相反，则x的值是 (　　)‎ A．2 B.－2‎ C．±2 D．0‎ 解析：选B　∵a与b方向相反，‎ ‎∴b＝ma(m＜0)，则有(4，x)＝m(x,1)．‎ 即解得x＝±2，又m＜0，∴x＝m＝－2.‎ ‎2．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)‎ A．外心 B.内心 C．重心 D．垂心 解析：选B　由＝＋λ，知－＝λ，即＝λ，所以点P在∠BAC的平分线上，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心．‎ ‎(二)交汇专练——融会巧迁移 ‎3．[与集合交汇]已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于(　　)‎ A．{(1,1)} B.{(－1,1)}‎ C．{(1,0)} D．{(0,1)}‎ 解析：选A　设a＝(x，y)，则P＝，∴集合P是直线x＝1上的点的集合．同理，集合Q是直线x＋y＝2上的点的集合，即P＝{(x，y)|x＝1，y∈R}，Q＝{(x，y)|x＋y－2＝0}，∴P∩Q＝{(1,1)}．故选A.‎ ‎4．[与解三角形交汇]已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行， 则A＝(　　)‎ A. B. C. D． 解析：选B　因为m∥n，所以asin B－bcos A＝0，由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，又sin B≠0，从而tan A＝，由于0＜A＜π，所以A＝.‎ ‎5．[与轨迹方程交汇]已知非零不共线向量，，若2＝x＋y，且＝λ (λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是(　　)‎ A．x＋y－2＝0 B.2x＋y－1＝0‎ C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0‎ 解析：选A　由＝λ，得－＝λ(－)，‎ 即＝(1＋λ)－λ.‎ 又2＝x＋y，所以 消去λ得x＋y－2＝0，故选A.‎ ‎6．[与线性规划交汇]在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,3)，B(3,2)，C(1,1)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)内，设＝m－n(m，n∈R)，则2m＋n的最大值为(　　)‎ A．－1 B.1‎ C．2 D．3‎ 解析：选B　由已知得＝(1，－1)，＝(1,2)，设＝(x，y)，∵＝m－n，∴ ‎∴2m＋n＝x－y.‎ 作出平面区域如图所示，令z＝x－y，则y＝x－z，由图象可知当直线y＝x－z经过点B(3,2)时，截距最小，即z最大．‎ ‎∴z的最大值为3－2＝1，即2m＋n的最大值为1.故选B.‎ ‎(三)素养专练——学会更学通 ‎7.[数学运算]如图，在正方形ABCD中，P为DC边上的动点，设向量＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为________．‎ 解析：以A为坐标原点，以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形的边长为2，‎ 则B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，P(x,2)，x∈[0,2]．‎ ‎∴＝(2,2)，＝(2，－2)，＝(x,2)．‎ ‎∵＝λ＋μ，∴∴ ‎∴λ＋μ＝.令f(x)＝(0≤x≤2)，‎ ‎∵f(x)在[0,2]上单调递减，‎ ‎∴f(x)max＝f(0)＝3.‎ 答案：3‎ ‎8．[数学建模]如图，向量与的夹角为120°，||＝2，||＝1，P是以O为圆心，||为半径的上的动点，若＝λ＋μ，则λμ的最大值是________．‎ 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设P(cos θ，sin θ)，‎ 则＝(cos θ，sin θ)，＝(2,0)，＝.‎ ‎∵＝λ＋μ，∴cos θ＝2λ－μ，sin θ＝μ.‎ ‎∴ ‎∴λμ＝sin 2θ－cos 2θ＋＝sin＋≤.‎ 当且仅当2θ－＝，即θ＝时，取等号．‎ 答案：