【数学】2020届一轮复习人教B版正弦定理与余弦定理课时作业 6页

‎1．(2019·兰州市实战考试)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝ac，c＝2a，则cos C＝(　　)‎ A.　　 B．－ C. D．－ 解析：选B.由题意得，b2＝ac＝2a2，b＝a，所以cos C＝＝＝－，故选B.‎ ‎2．(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)‎ A．4 B. C. D．2 解析：选A.因为cos C＝2cos2 －1＝2×－1＝－，所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝25＋1－2×5×1×＝32，所以AB＝4，故选A.‎ ‎3．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝3，S△ABC＝2，则b的值为(　　)‎ A．6 B．3‎ C．2 D．2或3‎ 解析：选D.因为S△ABC＝2＝bcsin A，‎ 所以bc＝6，又因为sin A＝，所以cos A＝，又a＝3，由余弦定理得9＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.‎ ‎4．(2019·安徽合肥模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，则△ABC的外接圆面积为(　　)‎ A．4π B．8π C．9π D．36π 解析：选C.已知bcos A＋acos B＝2，由正弦定理可得2Rsin Bcos A＋2Rsin Acos B＝2(R为△ABC的外接圆半径)．利用两角和的正弦公式得2Rsin(A＋B)＝2，则2Rsin C＝2，因为cos C＝，所以sin C＝，所以R＝3.故△ABC的外接圆面积为9π.故选C.‎ ‎5．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsin A－acos B＝0，且b2＝ac，则的值为(　　)‎ A. B. C．2 D．4‎ 解析：选C.在△ABC中，由bsin A－acos B＝0，‎ 利用正弦定理得sin Bsin A－sin Acos B＝0，‎ 所以tan B＝，故B＝.‎ 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac，‎ 即b2＝(a＋c)2－3ac，‎ 又b2＝ac，所以4b2＝(a＋c)2，求得＝2.‎ ‎6．在△ABC中，A＝，b2sin C＝4sin B，则△ABC的面积为________．‎ 解析：因为b2sin C＝4sin B，‎ 所以b2c＝4b，所以bc＝4，‎ S△ABC＝bcsin A＝×4×＝2.‎ 答案：2‎ ‎7．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________．‎ 解析：由余弦定理：cos A＝＝＝，‎ 所以sin A＝，cos C＝＝＝，‎ 所以sin C＝，所以＝＝1.‎ 答案：1‎ ‎8．(2018·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．‎ 解析：由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，因为sin Bsin C≠0，所以sin A＝.因为b2＋c2－a2＝8，cos A＝，所以bc＝，所以 S△ABC＝ bcsin A＝××＝.‎ 答案： ‎9．(2017·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.‎ ‎(1)求sin C的值；‎ ‎(2)若a＝7，求△ABC的面积．‎ 解：(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，‎ 所以由正弦定理得sin C＝＝×＝.‎ ‎(2)因为a＝7，所以c＝×7＝3.‎ 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A得72＝b2＋32－2b×3×，‎ 解得b＝8或b＝－5(舍)．‎ 所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×8×3×＝6.‎ ‎10．(2019·贵州省适应性考试)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B＝4，bsin A＝3.‎ ‎(1)求tan B及边长a的值；‎ ‎(2)若△ABC的面积S＝9，求△ABC的周长．‎ 解：(1)在△ABC中，acos B＝4，bsin A＝3，‎ 两式相除，有＝＝tan B＝，‎ 又acos B＝4，所以cos B>0，则cos B＝，故a＝5.‎ ‎(2)由(1)知，sin B＝，由S＝acsin B＝9，得c＝6.‎ 由b2＝a2＋c2－2accos B＝13，得b＝.‎ 故△ABC的周长为11＋.‎ ‎1．(2019·长沙市统一模拟考试)△ABC中，C＝，AB＝3，则△ABC的周长为(　　)‎ A．6sin＋3 B．6sin＋3‎ C．2sin＋3 D．2sin＋3‎ 解析：选C.设△ABC的外接圆半径为R，则2R＝＝2，于是BC＝2Rsin A＝2sin A，AC＝2Rsin B＝2sin，于是△ABC的周长为2[sin A＋sin]＋3＝2sin＋3.选C.‎ ‎2．(2019·安徽江南十校联考)设△ABC的面积为S1，它的外接圆面积为S2，若△ABC的三个内角大小满足A∶B∶C＝3∶4∶5，则的值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D.在△ABC中，A＋B＋C＝π，‎ 又A∶B∶C＝3∶4∶5，所以A＝，B＝，C＝π.‎ 由正弦定理＝＝＝2R(a、b、c为△ABC中角A、B、C的对边，R为△ABC的外接圆半径)可得，a＝·c，b＝·c，R＝.‎ 所以S1＝absin C＝···c2·sin C ‎＝sin A·sin B·sin C·，‎ S2＝πR2＝·，‎ 所以＝＝＝，故选D.‎ ‎3．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为________．‎ 解析：在△ABD中，设BD＝x，则 BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，‎ 即142＝x2＋102－2·10x·cos 60°，‎ 整理得x2－10x－96＝0，‎ 解得x1＝16，x2＝－6(舍去)．‎ 在△BCD中，由正弦定理：＝，所以BC＝·sin 30°＝8.‎ 答案：8 ‎4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，＝a，a＝2.若b∈[1，3]，则c的最小值为________．‎ 解析：由＝a，得＝sin C．由余弦定理可知cos C＝，即3cos C＝sin C，所以tan C＝，故cos C＝，所以c2＝b2－2b＋12＝(b－)2＋9，因为b∈[1，3]，所以当b＝时，c取最小值3.‎ 答案：3‎ ‎5.(2019·洛阳市第一次统一考试)如图，平面四边形ABDC中，∠CAD＝∠BAD＝30°.‎ ‎(1)若∠ABC＝75°，AB＝10，且AC∥BD，求CD的长；‎ ‎(2)若BC＝10，求AC＋AB的取值范围．‎ 解：(1)由已知，易得∠ACB＝45°，‎ 在△ABC中，＝⇒BC＝5.‎ 因为AC∥BD，所以∠ADB＝∠CAD＝30°，∠CBD＝∠ACB＝45°，‎ 在△ABD中，∠ADB＝30°＝∠BAD，所以DB＝AB＝10.‎ 在△BCD中，CD＝＝5.‎ ‎(2)AC＋AB>BC＝10，‎ cos 60°＝⇒(AB＋AC)2－100＝3AB·AC，‎ 而AB·AC≤，‎ 所以≤，‎ 解得AB＋AC≤20，‎ 故AB＋AC的取值范围为(10，20]．‎ ‎6．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，acsin A＋4sin C＝4csin A.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)圆O为△ABC的外接圆(O在△ABC内部)，△OBC的面积为，b＋c＝4，判断△ABC的形状，并说明理由．‎ 解：(1)由正弦定理可知，sin A＝，sin C＝，‎ 则acsin A＋4sin C＝4csin A⇔a2c＋4c＝4ac，‎ 因为c≠0，所以a2c＋4c＝4ca⇔a2＋4＝4a⇔(a－2)2＝0，可得a＝2.‎ ‎(2)设BC的中点为D，则OD⊥BC，‎ 所以S△OBC＝BC·OD.‎ 又因为S△OBC＝，BC＝2，‎ 所以OD＝，‎ 在Rt△BOD中，tan∠BOD＝＝＝＝，‎ 又0°<∠BOD<180°，所以∠BOD＝60°，‎ 所以∠BOC＝2∠BOD＝120°，‎ 因为O在△ABC内部，‎ 所以∠A＝∠BOC＝60°，‎ 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A.‎ 所以4＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，又b＋c＝4，‎ 所以bc＝4，所以b＝c＝2，‎ 所以△ABC为等边三角形．‎