【数学】2020届一轮复习人教A版几何概型作业 10页

‎55　几何概型 ‎1.(2019·上饶模拟)在[-π‎2‎ ，π‎2‎]上随机取一个数x，则cos x的值介于‎1‎‎2‎与‎3‎‎2‎之间的概率为 (　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎1‎‎4‎ C.‎1‎‎5‎ D. ‎‎1‎‎6‎ ‎【解析】选A.在‎-π‎2‎,‎π‎2‎上随机取一个数x，对应事件的集合长度为π，而满足cos x的值介于‎1‎‎2‎与‎3‎‎2‎之间的x∈‎-π‎3‎,-π‎6‎ ‎∪π‎6‎‎,‎π‎3‎，区间长度为π‎3‎，所以所求概率为π‎3‎π=‎1‎‎3‎.‎ ‎2.在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P，则△PBC 的面积不小于S‎3‎的概率是 (　　)‎ A.‎2‎‎3‎　 B.‎1‎‎3‎ C.‎3‎‎4‎ D.‎‎1‎‎4‎ ‎【解析】选A.记事件A=“△PBC的面积大于等于S‎3‎”，基本事件空间是线段 AB 的长度.如图，取 AB 的三等分点 P，如果在线段 BP 上取点，那么△PBC 的面积小于S‎3‎；如果在线段AP上取点，那么△PBC的面积不小于S‎3‎.所以概率为P(A)=APAB=‎2‎‎3‎.‎ ‎【变式备选】向面积为 S 的△ABC 内任投一点 P，则△PBC 的面积小于S‎2‎的概率为_______. ‎ ‎【解析】取AB，AC的中点E，F，如图所示，如果点P在线段EF上，那么△PBC的面积等于S‎2‎；如果点P在线段EF上方(即△AEF内)，那么△PBC的面积大于S‎2‎；如果点P在线段EF下方(即四边形EFCB内)，那么△PBC的面积小于S‎2‎.所以概率=S四边形EFCBSΔABC=‎3‎‎4‎.‎ 答案：‎‎3‎‎4‎ ‎3.(2018·马鞍山模拟)《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内接正方形边长为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内接正方形内的概率 是 (　　)‎ A.‎60‎‎289‎ B.‎90‎‎289‎ C.‎120‎‎289‎ D.‎‎240‎‎289‎ ‎【解析】选C.由题意，直角三角形两直角边长分别为5步和12步，面积为30，设内接正方形边长为x，则x‎12‎=‎5-x‎5‎，解得x=‎60‎‎17‎，所以正方形的面积为‎6‎‎0‎‎2‎‎1‎‎7‎‎2‎，‎ 所以向此三角形内投豆子，则落在其内接正方形内的概率是‎6‎‎0‎‎2‎‎1‎‎7‎‎2‎‎30‎=‎120‎‎289‎.‎ ‎【变式备选】‎ ‎　　 (2018·全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则 (　　)‎ A.p1=p2　　　　　 B.p1=p3‎ C.p2=p3 D.p1=p2+p3‎ ‎【解析】选A.方法一：取AB=AC=2，则BC=2‎2‎，‎ 所以区域Ⅰ的面积为SⅠ=‎1‎‎2‎×2×2=2，区域Ⅲ的面积为SⅢ=‎1‎‎2‎·π(‎2‎)2-2=π-2，区域Ⅱ的面积为SⅡ=π·12-SⅢ=2，故p1=p2.‎ 方法二：设AC=b，AB=c，BC=a，则有b2+c2=a2，‎ 从而可以求得△ABC的面积为SⅠ=‎1‎‎2‎bc，‎ 黑色部分的面积为SⅡ=π‎2‎·c‎2‎‎2‎+π‎2‎·b‎2‎‎2‎-π‎2‎‎·a‎2‎‎2‎-‎1‎‎2‎bc=‎ π‎2‎c‎2‎‎4‎‎+b‎2‎‎4‎-‎a‎2‎‎4‎‎+‎1‎‎2‎bc ‎=π‎2‎·c‎2‎‎+b‎2‎-‎a‎2‎‎4‎+‎1‎‎2‎bc=‎1‎‎2‎bc，‎ 其余部分的面积为SⅢ=π‎2‎·a‎2‎‎2‎-‎1‎‎2‎bc=πa‎2‎‎8‎-‎1‎‎2‎bc，‎ 所以有SⅠ=SⅡ，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到p1=p2.‎ ‎4.在区间[-3，5]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m(m>0)的概率为‎7‎‎8‎，则m的值等于 (　　)‎ A.‎7‎‎2‎ B.3 C.4 D.-2‎ ‎【解析】选C.区间[-3，5]的区间长度为5-(-3)=8，‎ 当00)的解集的区间长度为2m，‎ 又在区间[-3，5]上随机地取一个数x，‎ 因为x满足|x|≤m(m>0)的概率为‎7‎‎8‎，‎ 所以‎2m‎8‎=‎7‎‎8‎，得m=‎7‎‎2‎(舍)；‎ 当30)的解集的区间长度为m+3，‎ 又在区间[-3，5]上随机地取一个数x，‎ 因为x满足|x|≤m(m>0)的概率为‎7‎‎8‎，‎ 所以m+3‎‎8‎=‎7‎‎8‎，得m=4.‎ 所以m的值等于4.‎ ‎5.已知在△ABC中,∠ABC=60°,AB=2,BC=6,在BC上任取一点D,则使△ABD为钝角三角形的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎6‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎2‎‎3‎ 答案C 解析如图,当BE=1时,∠AEB为直角,则点D在线段BE(不包含B,E点)上时,△ABD为钝角三角形;当BF=4时,∠BAF为直角,则点D在线段CF(不包含C,F点)上时,△ABD为钝角三角形.故△ABD为钝角三角形的概率为‎1+2‎‎6‎‎=‎‎1‎‎2‎.‎ ‎6.有一个长、宽分别为50 m,30 m的游泳池,一名工作人员在池边巡视,某时刻出现在池边任一位置的可能性相同.一人在池中心(对角线的交点)处呼唤工作人员,其声音可传出15‎2‎ m,则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是(　　)‎ A.‎3‎‎4‎ B.‎3‎‎8‎ C.‎3π‎16‎ D.‎‎12+3π‎32‎ 答案B 解析如图,工作人员在池边巡视的长度为160,工作人员能及时听到呼唤的长度为30+30=60,故所求的概率为‎60‎‎160‎‎=‎‎3‎‎8‎.‎ ‎7.若在区间[-1,1]上随机取一个数x,则sinπx‎4‎的值介于-‎1‎‎2‎与‎2‎‎2‎之间的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎4‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎5‎‎6‎ 答案D 解析∵-1≤x≤1,∴-π‎4‎‎≤πx‎4‎≤‎π‎4‎.‎ 由-‎1‎‎2‎≤sinπx‎4‎‎≤‎‎2‎‎2‎,‎ 得-π‎6‎‎≤πx‎4‎≤‎π‎4‎,‎ 则-‎2‎‎3‎≤x≤1.‎ 故所求事件的概率为‎1-‎‎-‎‎2‎‎3‎‎1-(-1)‎‎=‎‎5‎‎6‎.‎ ‎8.记函数f(x)=‎6+x-‎x‎2‎的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是　　　　　. ‎ 答案‎5‎‎9‎ 解析由6+x-x2≥0,即x2-x-6≤0得-2≤x≤3,所以D=[-2,3]⊆[-4,5].由几何概型的概率公式得x∈D的概率P=‎3-(-2)‎‎5-(-4)‎‎=‎‎5‎‎9‎,答案为‎5‎‎9‎.‎ ‎9.记集合A={(x,y)|x2+y2≤4}和集合B={(x,y)|x+y-2≤0,x≥0,y≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2,若在区域Ω1内任取一点M(x,y),则点M落在区域Ω2的概率为　　　　　. ‎ 答案‎1‎‎2π 解析作圆O:x2+y2=4,区域Ω1就是圆O内部(含边界),其面积为4π,区域Ω2就是图中△AOB内部(含边界),其面积为2,‎ 因此所求概率为‎2‎‎4π‎=‎‎1‎‎2π.‎ ‎10.(2018江西教学质量监测)在圆C:(x-3)2+y2=3上任取一点P,则锐角∠COP<π‎6‎(O为坐标原点)的概率是　　　　　. ‎ 答案‎2‎‎3‎ 解析当∠COP=π‎6‎时,直线OP的方程为x±‎3‎y=0,圆心C到直线OP的距离d=‎3‎‎2‎.‎ 又圆C的半径为‎3‎,此时弦所对的圆心角为π‎3‎,‎ 所以所求概率P=1-π‎3‎‎×2‎‎2π‎=‎‎2‎‎3‎.‎ ‎11.在区间[-1,1]上随机取一个数k,使直线y=kx+‎5‎‎2‎与圆x2+y2=1不相交的概率为(　　)‎ A.‎3‎‎4‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎1‎‎3‎ 答案C 解析要使直线y=kx+‎5‎‎2‎与圆x2+y2=1相交,应满足‎5‎‎2‎k‎2‎‎+1‎≥1,解得-‎1‎‎2‎≤k≤‎1‎‎2‎,所以在区间[-1,1]上随机取一个数k,使直线y=kx+‎5‎‎2‎与圆x2+y2=1不相交的概率为P=‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎‎1+1‎‎=‎‎1‎‎2‎.‎ 故选C.‎ ‎12.‎ ‎(2018山西太原二模)如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形,中间空出一个小正方形组成的图形.若在大正方形内随机取一点,该点落在小正方形的概率为‎1‎‎5‎,则图中直角三角形较大锐角的正弦值为(　　)‎ A.‎5‎‎5‎ B.‎2‎‎5‎‎5‎ C.‎1‎‎5‎ D.‎‎3‎‎3‎ 答案B 解析设小正方形的边长为1,直角三角形的直角边长分别为x,1+x,x‎2‎‎+(1+x‎)‎‎2‎.‎ 由几何概型可得‎1‎‎2‎x‎2‎‎+(1+x‎)‎‎2‎‎=‎‎1‎‎5‎,‎ 解得x=1(x=-2(舍)),‎ 所以直角三角形的边长分别为1,2,‎5‎,直角三角形较大锐角的正弦值为‎2‎‎5‎‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎,故选B.‎ ‎13.已知函数f(x)=x2+bx+c,其中0≤b≤4,0≤c≤4.记函数f(x)满足条件f(2)≤12,‎f(-2)≤4‎为事件A,则事件A发生的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎4‎ B.‎5‎‎8‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎3‎‎8‎ 答案C 解析由题意,得‎4+2b+c≤12,‎‎4-2b+c≤4,‎‎0≤b≤4,‎‎0≤c≤4,‎ 即‎2b+c-8≤0,‎‎2b-c≥0,‎‎0≤b≤4,‎‎0≤c≤4,‎ 表示的区域如图阴影部分所示,可知阴影部分的面积为8,‎ 所以所求概率为‎1‎‎2‎,故选C.‎ ‎14.设点(a,b)是区域x+y-4≤0,‎x>0,‎y>0‎内的任意一点,则使函数f(x)=ax2-2bx+3在区间‎1‎‎2‎‎,+∞‎内是增函数的概率为　　　　　. ‎ 答案‎1‎‎3‎ 解析作出不等式组x+y-4≤0,‎x>0,‎y>0‎所对应的平面区域如图△AOB区域,‎ 可知符合条件的点所构成的区域面积为 S△AOB=‎1‎‎2‎×4×4=8.‎ 若f(x)=ax2-2bx+3在区间‎1‎‎2‎‎,+∞‎内是增函数,‎ 则a>0,‎‎-‎-2b‎2a=ba≤‎1‎‎2‎,‎ 即a>0,‎a-2b≥0.‎则A(0,4),B(4,0),‎ 由a+b-4=0,‎a-2b=0‎ 得a=‎8‎‎3‎,‎b=‎4‎‎3‎.‎ 即C‎8‎‎3‎‎,‎‎4‎‎3‎.‎ 则使函数f(x)=ax2-2bx+3在区间‎1‎‎2‎‎,+∞‎内为增函数的点(a,b)所构成的区域为△OBC,其面积为‎1‎‎2‎×4×‎4‎‎3‎‎=‎‎8‎‎3‎.‎ 故所求的概率为‎8‎‎3‎‎8‎‎=‎‎1‎‎3‎.‎ ‎15.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,BC=2.在边BC上任取一点M,则∠AMB≥90°的概率为　　　　　. ‎ 答案‎1‎‎4‎ 解析如图,在Rt△ABC中,作AD⊥BC,D为垂足,由题意可得BD=‎1‎‎2‎,且点M在BD上时,‎ 满足∠AMB≥90°,‎ 故所求概率为BDBC‎=‎1‎‎2‎‎2‎=‎‎1‎‎4‎.‎ ‎16.张先生订了一份报纸,送报人在早上6:30~7:30之间把报纸送到他家,张先生离开家去上班的时间在早上7:00~8:00之间,则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是　　　　　. ‎ 答案‎7‎‎8‎ 解析以横坐标x表示报纸送到时间,纵坐标y表示张先生离家时间,建立如图所示的平面直角坐标系.‎ 因为随机试验落在正方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型.‎ 根据题意只要点落到阴影部分,就表示张先生在离开家前能得到报纸,故所求的概率为‎1×1-‎1‎‎2‎×‎1‎‎2‎×‎‎1‎‎2‎‎1×1‎‎=‎‎7‎‎8‎.‎ 三、高考预测 ‎17.若不等式x2+y2≤2所表示的平面区域为M,不等式组x-y≥0,‎x+y≥0,‎y≥2x-6‎表示的平面区域为N,现随机向区域N内抛一粒豆子,则豆子落在区域M内的概率为　　　　　. ‎ 答案π‎24‎ 解析分别作出平面区域M和平面区域N如图所示,‎ 可知平面区域M与平面区域N重叠部分的面积为‎1‎‎4‎π(‎2‎)2=π‎2‎,平面区域N的面积为‎1‎‎2‎×3×2+‎1‎‎2‎×3×6=12,‎ 故所求的概率为‎1‎‎2‎π‎12‎‎=‎π‎24‎.‎