【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试27平面向量基本定理及坐标表示作业 14页

考点测试27　平面向量基本定理及坐标表示 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 高考概览 考纲研读 ‎1．了解平面向量基本定理及其意义 ‎2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 ‎3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 ‎4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件 一、基础小题 ‎1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－4，m)，若a＝－b，则m＝(　　)‎ A．－2 B．‎2 C．－ D． 答案　A 解析　由向量的坐标运算可得1＝－m，解得m＝－2．故选A．‎ ‎2．设向量e1，e2为平面内所有向量的一组基底，且向量a＝3e1－4e2与b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则实数k的值为(　　)‎ A．8 B．－‎8 C．4 D．－4‎ 答案　B 解析　由a与b不能作为一组基底，则a与b必共线，故＝，即k＝－8．故选B．‎ ‎3．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为(　　)‎ A．，－ B．，－ C．－， D．－， 答案　A 解析　因为＝(3，－4)，所以与其同方向的单位向量e＝＝(3，－4)＝，－．故选A．‎ ‎4．若向量a＝(2，1)，b＝(－1，2)，c＝0，，则c可用向量a，b表示为(　　)‎ A．a＋b B．－a－b C．a＋b D．a－b 答案　A 解析　设c＝xa＋yb，则0，＝(2x－y，x＋2y)，所以解得则c＝a＋b．故选A．‎ ‎5．已知平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　)‎ A．－，5 B．，5‎ C．，－5 D．－，－5‎ 答案　D 解析　＝＋＝(－2，3)＋(3，7)＝(1，10)．‎ ‎∴＝＝，5．∴＝－，－5．故选D．‎ ‎6．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量‎4a，4b－‎2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝(　　)‎ A．(2，6) B．(－2，6)‎ C．(2，－6) D．(－2，－6)‎ 答案　D 解析　设d＝(x，y)，由题意知‎4a＝(4，－12)，4b－‎2c＝(－6，20)，2(a－c)＝(4，－2)，又‎4a＋4b－‎2c＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6，20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0，0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．故选D．‎ ‎7．已知点A(1，－2)，若向量与向量a＝(2，3)同向，且||＝，则点B的坐标为(　　)‎ A．(2，3) B．(－2，3)‎ C．(3，1) D．(3，－1)‎ 答案　C 解析　设＝(x，y)，则＝ka(k>0)，即由||＝得k＝1，故＝＋＝(1，－2)＋(2，3)＝(3，1)．故选C．‎ ‎8．已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，当A，B，C三点共线时，实数k的值为(　　)‎ A．3 B．11‎ C．－2 D．－2或11‎ 答案　D 解析　因为＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(6，k－5)，且∥，所以(4－k)(k－5)－6×(－7)＝0，解得k＝－2或11．故选D．‎ ‎9．已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λμ＝(　　)‎ A．－3 B．‎3 C．－4 D．4‎ 答案　A 解析　建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则＝(2，－2)，＝(1，2)，＝(1，0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)，即解得所以λμ＝－3．故选A．‎ ‎10．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，＝，＝，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．‎ 答案　 解析　∵＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，∴λ1＝－，λ2＝，∴λ1＋λ2＝．‎ ‎11．如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．‎ 答案　6‎ 解析　以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1，0)，B，C(3，)．‎ 由＝λ＋μ，‎ 得解得 所以λ＋μ＝6．‎ 二、高考小题 ‎12．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　)‎ A．－8 B．－‎6 C．6 D．8‎ 答案　D 解析　由题可得a＋b＝(4，m－2)，又(a＋b)⊥b，‎ ‎∴4×3－2×(m－2)＝0，∴m＝8．故选D．‎ ‎13．(2015·湖南高考)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC．若点P的坐标为(2，0)，则|＋＋|的最大值为(　　)‎ A．6 B．‎7 C．8 D．9‎ 答案　B 解析　解法一：由圆周角定理及AB⊥BC，知AC为圆的直径，故＋＝2＝(－4，0)(O为坐标原点)．‎ 设B(cosα，sinα)，∴＝(cosα－2，sinα)，‎ ‎∴＋＋＝(cosα－6，sinα)，|＋＋|＝＝≤＝7，当且仅当cosα＝－1时取等号，此时B(－1，0)，故|＋ ‎＋|的最大值为7．故选B．‎ 解法二：同解法一得＋＝2(O为坐标原点)，又＝＋，∴|＋＋|＝|3＋|≤‎ ‎3||＋||＝3×2＋1＝7，当且仅当与同向时取等号，此时B点坐标为(－1，0)，故|＋＋|max＝7．故选B．‎ ‎14．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(‎2a＋b)，则λ＝________．‎ 答案　 解析　由题可得‎2a＋b＝(4，2)，∵c∥(‎2a＋b)，c＝(1，λ)，∴4λ－2＝0，即λ＝．‎ ‎15．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．‎ 答案　 解析　由于a，b不平行，所以可以以a，b作为一组基底，于是λa＋b与a＋2b平行等价于＝，即λ＝．‎ ‎16．(2015·江苏高考)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．‎ 答案　－3‎ 解析　由a＝(2，1)，b＝(1，－2)，可得ma＋nb＝(‎2m，m)＋(n，－2n)＝(‎2m＋n，m－2n)，‎ 由已知可得解得 故m－n＝－3．‎ ‎17．(2017·江苏高考)如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1‎ ‎，，与的夹角为α，且tanα＝7，与的夹角为45°．若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n＝________．‎ 答案　3‎ 解析　解法一：∵tanα＝7，α∈[0，π]，‎ ‎∴cosα＝，sinα＝．‎ ‎∵与的夹角为α，∴＝．‎ ‎∵＝m＋n，||＝||＝1，||＝，‎ ‎∴＝．　①‎ 又∵与的夹角为45°，‎ ‎∴＝＝．　②‎ 又cos∠AOB＝cos(45°＋α)＝cosαcos45°－sinαsin45°＝×－×＝－，‎ ‎∴·＝||||cos∠AOB＝－，‎ 将其代入①②得m－n＝，－m＋n＝1，‎ 两式相加得m＋n＝，所以m＋n＝3．‎ 解法二：过C作CM∥OB，CN∥OA，分别交线段OA，OB的延长线于点M，N，‎ 则＝m，＝n，由正弦定理得 ＝＝，∵||＝，‎ 由解法一，知sinα＝，cosα＝，‎ ‎∴||＝＝＝，‎ ‎||＝＝＝．‎ 又＝m＋n＝＋，||＝|O|＝1，‎ ‎∴m＝，n＝，∴m＋n＝3．‎ 解法三：如图，设O＝m，D＝n，则在△ODC中有OD＝m，DC＝n，OC＝，∠OCD＝45°，‎ 由tanα＝7，得cosα＝，又由余弦定理知 即 ‎①＋②得4－2n－m＝0，即m＝10－5n，代入①得12n2－49n＋49＝0，解得n＝或n＝，当n＝时，m＝10－5×＝－<0(不符合题意，舍去)，当n＝时，m＝10－5×＝，故m＋n＝＋＝3．‎ 三、模拟小题 ‎18．(2018·长春质检二)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(－2，0)，则|a＋2b|＝(　　)‎ A．3 B．‎3 C．2 D．5‎ 答案　A 解析　a＋2b＝(1，－3)＋2·(－2，0)＝(－3，－3)，所以|a＋2b|＝＝3，故选A．‎ ‎19．(2018·吉林白城模拟)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝(　　)‎ A． B．‎2 C．－ D．－2‎ 答案　C 解析　由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，得ma＋nb＝(‎2m－n，‎3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得＝，所以＝－，故选C．‎ ‎20．(2018·山东潍坊一模)若M是△ABC内一点，且满足＋＝4，则△ABM与△ACM的面积之比为(　　)‎ A． B． C． D．2‎ 答案　A 解析　设AC的中点为D，则＋＝2，于是2＝4，从而＝2，即M为BD的中点，于是＝＝＝．‎ ‎21．(2018·河北衡水中学2月调研)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若＝2，＝3，＝λ－μ(λ，μ∈R)，则μ－λ＝(　　)‎ A．－ B．‎1 C． D．－3‎ 答案　A 解析　＝λ－μ＝λ－μ(＋)＝(λ－μ)－μ＝2(λ－μ)－3μ，因为E，M，F三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，∴μ－λ＝－，故选A．‎ ‎22．(2018·湖南四大名校联考)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若＝a，＝b，则＝(　　)‎ A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b 答案　C 解析　解法一：如题图，根据题意，得＝＋＝(a－b)，＝＋＝(a＋b)．‎ ‎∵E是线段OD的中点，DF∥AB，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴D＝A＝(a－b)，‎ ‎∴A＝A＋D＝(a＋b)＋(a－b)＝a＋b．故选C．‎ 解法二：如题图，根据题意，得＝＋＝(a－b)，＝＋＝(a＋b)．令＝t，则＝t(＋)＝t＋＝a＋b．由＝＋，令＝s，又＝(a＋b)，‎ eq o(DF,sup6(→))＝a－b，所以＝a＋b，所以解方程组得把s代入即可得到＝a＋b，故选C．‎ ‎23．(2018·湖北黄石质检)已知点G是△ABC的重心，过G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为(　　)‎ A． B． C．2 D．3‎ 答案　B 解析　由已知得M，G，N三点共线，∴＝λ＋(1－λ)＝λx＋(1－λ)y．∵点G是△ABC的重心，∴＝×(＋)＝(＋)，‎ ‎∴即得＋＝1，即＋＝3，通分变形得，＝3，∴＝．故选B．‎ ‎24．(2018·合肥质检三)已知向量＝(2，0)，＝(0，2)，＝t，t∈R，则当||最小时，t＝________．‎ 答案　 解析　由＝t知A，B，C三点共线，即动点C在直线AB上．从而当OC⊥AB时，||最小，易得|O|＝|O|，此时|A|＝|A|，则t＝．‎ ‎25．(2018·太原3月模拟)在正方形ABCD中，已知M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则实数λ＋μ＝________．‎ 答案　 解析　解法一：如图，因为M，N分别是BC，CD的中点，所以＝＋，＝＋，所以＋＝(＋)＋＝＋＝，‎ 所以＝＋，而＝λ＋μ，‎ 所以λ＝，μ＝，λ＋μ＝．‎ 解法二：如图，以A为原点，分别以AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系．设正方形ABCD边长为1，则A(0，0)，C(1，1)，M1，，N，1．所以＝(1，1)，AM＝1，，＝，1，所以λ＋μ＝λ＋μ，λ＋μ＝，所以所以λ＋μ＝．‎ 一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型．‎ 二、模拟大题 ‎1．(2018·皖南八校模拟)如图，∠AOB＝，动点A1，A2与B1，B2分别在射线OA，OB上，且线段A‎1A2的长为1，线段B1B2的长为2，点M，N分别是线段A1B1，A2B2的中点．‎ ‎(1)用向量与表示向量；‎ ‎(2)求向量的模．‎ 解　(1)＝＋＋，＝＋＋，两式相加，并注意到点M，N分别是线段A1B1，A2B2的中点，得＝(＋)．‎ ‎(2)由已知可得向量与的模分别为1与2，夹角为，所以·＝1，‎ 由＝(＋)‎ 得||＝ ‎＝ ＝．‎ ‎2．(2018·湖北荆门调研)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．‎ ‎(1)若x＝，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；‎ ‎(2)若x∈，向量m＝，n＝(1－cosx，sinx－2cosx)，求m·n的最小值及对应的x值．‎ 解　(1)设D(t，0)(0≤t≤1)，由题易知C，‎ 所以＋＝，所以|＋|2＝－t＋t2＋＝t2－t＋1＝2＋(0≤t≤1)，‎ 所以当t＝时，|＋|2的最小值为，则|＋|的最小值为．‎ ‎(2)由题意得C(cosx，sinx)，m＝＝(cosx＋1，sinx)，‎ 则m·n＝1－cos2x＋sin2x－2sinxcosx ‎＝1－cos2x－sin2x＝1－sin．‎ 因为x∈，所以≤2x＋≤，‎ 所以当2x＋＝，即x＝时，‎ sin取得最大值1，‎ 所以m·n的最小值为1－，此时x＝．‎