【数学】2020届一轮复习人教A版第49课抛物线的标准方程和几何性质作业（江苏专用） 3页

随堂巩固训练(49)‎ ‎ 1. 若抛物线x2＝ay过点A，则点A到此抛物线的焦点的距离为　　.‎ 解析：由题意可知，点A在抛物线x2＝ay上，所以1＝a，解得a＝4，得x2＝4y.由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线的焦点的距离为yA＋1＝＋1＝ ‎ 2. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是　y2＝8x　.‎ 解析：设抛物线的方程为y2＝2px(p>0).因为－＝－2，所以2p＝8，所以抛物线的方程为y2＝8x.‎ ‎ 3. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2－＝1的左准线为l，则以l为准线的抛物线的标准方程是　y2＝2x　.‎ 解析：根据双曲线方程可知a＝1，b＝，所以c＝＝2，所以左准线l的方程为x＝－，则可设抛物线的方程为y2＝2px.因为－＝－，所以p＝1，所以抛物线的方程为y2＝2x.‎ ‎ 4. 抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是　4　.‎ 解析：由题意得焦点坐标为(2，0)，准线方程为x＝－2，所以焦点到准线的距离为4.‎ ‎ 5. 已知P为抛物线y2＝4x上一点，设P到准线的距离为d1，P到点A(1，4)的距离为d2，则d1＋d2的最小值为　4　.‎ 解析：由y2＝4x，可知焦点坐标为F(1，0)，根据抛物线定义可知，P到准线的距离d1＝PF，所以d1＋d2＝PF＋PA.当A，P，F三点共线时，d1＋d2取得最小值，为AF＝4.‎ ‎ 6. 若抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点P到y轴的距离是　2　.‎ 解析：设F是抛物线y2＝2x的焦点，所以F，准线方程为x＝－.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以AF＋BF＝x1＋＋x2＋＝5，即x1＋x2＝4，所以线段AB的中点P的横坐标为＝2，故点P到y轴的距离为2.‎ ‎ 7. 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过点F且倾斜角为30°的直线交曲线C于A，B两点，则AB的长度为　12　.‎ 解析：由题意得抛物线的焦点F，直线AB：y＝.由 可得x2－x＋＝0，x1＋x2＝，x1x2＝.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝×|x1－x2|＝×＝×＝12.‎ ‎ 8. 以抛物线x2＝16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为　x2＋(y－‎ ‎4)2＝64　.‎ 解析：因为抛物线x2＝16y的焦点F为(0，4)，焦点到准线的距离为8，所以以点F为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为x2＋(y－4)2＝64.‎ ‎ 9. 设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为　(1，2)或(1，－2)　.‎ 解析：依题意得点F(1，0)，设点A，则＝，＝(1－，－y0).因为·＝－4，所以－y＝－4，解得y0＝±2.则点A的坐标为(1，2)或(1，－2).‎ ‎10. 已知一条过点P(2，1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为　x－y－1＝0　.‎ 解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得y＝2x1，y＝2x2，两式相减可得(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2).由P(2，1)为AB的中点，可得y1＋y2＝2，即y1－y2＝x1－x2，则kAB＝＝1，则直线AB的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0.‎ ‎11. 已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A，B是抛物线C上的两点，线段AB的中点为M(2，2)，求△ABF的面积.‎ 解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则y＝4x1，①‎ y＝4x2，②‎ ‎①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2).‎ 因为M(2，2)为AB的中点，所以y1＋y2＝4，‎ 则kAB＝＝＝＝1，‎ 故直线AB方程为y＝x.‎ 可设B为坐标原点，则点A的坐标为(4，4)，‎ 所以S△ABF＝BF·|yA|＝×1×4＝2.‎ ‎12. 如图，O为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点.‎ ‎(1) 求x1x2与y1y2的值；‎ ‎(2) 求证：OM⊥ON.‎ 解析：(1) 由题意得，直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，①‎ 代入y2＝2x，可得k2x2－2(2k2＋1)x＋4k2＝0，②‎ 所以x1x2＝＝4.‎ 由y＝2x1，y＝2x2，得(y1y2)2＝4x1x2＝4×4＝16.因为y1y2<0，所以y1y2＝－4.‎ ‎(2) 设OM，ON的斜率分别为k1，k2，则k1＝，k2＝，‎ 所以k1k2＝＝＝－1，‎ 所以OM⊥ON.‎ ‎13. 已知F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且AF＝3.‎ ‎(1) 求抛物线E的方程；‎ ‎(2) 已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.‎ 解析：(1) 由题意得AF＝2＋＝3，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x.‎ ‎(2) 方法一：因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，‎ 所以m＝±2，‎ 由抛物线的对称性，不妨设点A(2，2).‎ 由点A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1).　‎ 由得2x2－5x＋2＝0，‎ 解得x＝2或x＝，所以点B.‎ 又G(－1，0)，‎ 所以kGA＝＝，kGB＝－，‎ 所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，所以点F到直线GA，GB的距离相等，‎ 故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.‎ 方法二：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.‎ 因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2.‎ 由抛物线的对称性，不妨设点A(2，2).‎ 由点A(2，2)，F(1，0)可得直线 AF的方程为y＝2(x－1).‎ 由得2x2－5x＋2＝0.‎ 解得x＝2或x＝，所以点B.‎ 又G(－1，0)，‎ 故直线GA的方程为2x－3y＋2＝0，‎ 从而r＝＝.‎ 又直线GB的方程为2x＋3y＋2＝0，‎ 所以点F到直线GB的距离d＝＝＝r，‎ 所以以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.‎