【数学】2021届一轮复习人教A版综合法课时作业 3页

第2课时 综合法 A．基础巩固 ‎1．(2017年山东)若a＞b＞0且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　)‎ A．a＋＜＜log2(a＋b) B． ＜log2(a＋b)＜a＋ C． a＋＜log2(a＋b)＜ D． log2(a＋b)＜a＋＜ ‎【答案】B　【解析】因为a＞b＞0且ab＝1，所以a＞1,0＜b＜1，所以＜1，log2(a＋b)＞log22＝1,2a＋＞a＋＞a＋b⇒a＋＞log2(a＋b)．故选B．‎ ‎2．如果0＜m＜b＜a，那么(　　)‎ A．cos＜cos＜cos B．cos＜cos＜cos C．cos＜cos＜cos D．cos＜cos＜cos ‎【答案】A　【解析】∵0＜m＜b＜a，∴－＝＞0，－＝＞0，且，，∈(0,1)，∴cos＜cos＜cos.故选A．‎ ‎3．若x＞0，y＞0且x＋y≤4，那么＋≥(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】A　【解析】因为x＞0，y＞0，所以＋＝≥＝≥＝1.‎ ‎4．若a，b，c∈R且a＋b＋c＝1，则a2＋b2＋c2的最小值为(　　)‎ A．1 B． ‎ C． D．0‎ ‎【答案】C　【解析】∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤3(a2＋b2＋c2)，∴a2＋b2＋c2≥，当且仅当a＝b＝c＝时，a2＋b2＋c2有最小值.‎ ‎5．如果不等式|b－a|＜1成立的充分不必要条件是＜b＜，则实数a的取值范围是______________．‎ ‎【答案】　【解析】由|b－a|＜1得a－1＜b＜a＋1.因为|b－a|＜1成立的充分不必要条件是＜b＜，所以a－1≤且a＋1≥，解得≤a≤.‎ ‎6．已知a，b，c是△ABC的三边，且a3＋b3＋c3＝3abc，则△ABC的形状为____________．‎ ‎【答案】等边三角形　【解析】因为a，b，c均大于0，所以a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，a3＋b3＋c3＝3abc成立．所以△ABC为等边三角形．‎ ‎7．设a，b，c∈R＋，求证：＋＋＋abc≥2.‎ ‎【解析】因为a>0,b>0,c>0，由平均值不等式可得 ＋＋≥3，‎ 即＋＋≥，‎ 所以＋＋＋abc≥＋abc≥2＝2.‎ 故＋＋＋abc≥2，‎ 当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．‎ B．能力提升 ‎8.(2018年盐城模拟)已知a，b，c为正实数，a＋b＋c＝1.求证：‎ ‎(1)a2＋b2＋c2≥；‎ ‎(2)＋＋≤6.‎ ‎【证明】(1)a2＋b2＋c2－＝(3a2＋3b2＋3c2－1)‎ ‎＝[3a2＋3b2＋3c2－(a＋b＋c)2]‎ ‎＝(3a2＋3b2＋3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc)‎ ‎＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，‎ ‎∴a2＋b2＋c2≥.‎ ‎(2)∵＝≤＝，‎ 同理≤，≤，‎ ‎∴＋＋≤＝6，‎ ‎∴原不等式成立.‎