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- 2021-06-24 发布
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转化与化归思想专练
一、选择题
1．如果a1，a2，a3，…，an为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则正确的关系为( )
A．a1a8>a4a5 B．a1a8a4＋a5 D．a1a8＝a4a5
答案 B
解析 取特殊数列，不妨设an＝n，则a1＝1，a4＝4，a5＝5，a8＝8，经检验，只有选项B成立．故选B．
2．若命题“∃x0∈R，使得x＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．[2，6] B．[－6，－2]
C．(2，6) D．(－6，－2)
答案 A
解析 ∵命题“∃x0∈R，使得x＋mx0＋2m－3<0”为假命题，∴命题“∀x∈R，使得x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，∴Δ≤0，即m2－4(2m－3)≤0，∴2≤m≤6．故选A．
3．(2018·湖北八市联考)若a，b，c，d∈R，则“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若a，b，c，d成等差数列，则由等差数列的性质可知a＋d＝b＋c．若a＝1，b＝2，c＝98，d＝99，满足a＋d＝b＋c，但a，b，c，d不成等差数列．故选B．
4．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点．若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则＋等于( )
A．2a B． C．4a D．
答案 C
解析 抛物线y＝ax2(a>0)的标准方程为x2＝y(a>0)，焦点F0，．过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|＝|QF|＝，∴＋＝4a．故选C．
5．已知函数f(x)满足：f(m＋n)＝f(m)·f(n)，f(1)＝3，则＋＋＋的值等于( )
A．36 B．24 C．18 D．12
答案 B
解析 取特殊函数，根据条件可设f(x)＝3x，
则有＝＝6，
所以＋＋＋＝6×4＝24．故选B．
6．(2018·南昌一模)设函数f(x)＝若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为( )
A．[－1，2) B．[－1，0] C．[1，2] D．[1，＋∞)
答案 C
解析 当a＝－1时，f(x)＝作函数图象如下：
由图可知排除A，B．
当a＝3时，f(x)＝作函数图象如下：
由图可知排除D．所以选C．
二、填空题
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则＝________．
答案
解析 根据题意，所求数值是一个定值，故可利用满足条件的直角三角形进行计算．令a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC为直角三角形，且cosA＝，cosC＝0，代入所求式子，得＝＝．
8．设f(x)是定义在R上的单调增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a∈[－1，1]恒成立，则x的取值范围为________．
答案 (－∞，－1]∪[0，＋∞)
解析 ∵f(x)在R上是增函数，
∴由f(1－ax－x2)≤f(2－a)，
可得1－ax－x2≤2－a，a∈[－1，1]，
∴a(x－1)＋x2＋1≥0，对a∈[－1，1]恒成立．
令g(a)＝(x－1)a＋x2＋1，
则当且仅当g(－1)＝x2－x＋2≥0，
g(1)＝x2＋x≥0恒成立，
解得x≥0或x≤－1．
故实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[0，＋∞)．
9．如图，有一圆柱形的开口容器(下表面密封)，其轴截面是边长为2的正方形，P是BC的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为________．
答案
解析 把圆柱侧面展开，并把里面也展开，如图所示，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为展开图中的线段AP′，则AB＝π，BP′＝3，AP′＝．
三、解答题
10．(2018·武汉调研)已知正数数列{an}满足：a1＝2，an＋an－1＝＋2(n≥2)．
(1)求a2，a3；
(2)设数列{bn}满足bn＝(an－1)2－n2，证明：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项an．
解 (1)由已知a2＋a1＝＋2，而a1＝2，
∴a－22＝3＋2(a2－2)，即a－2a2－3＝0．
而a2>0，则a2＝3．
又由a3＋a2＝＋2，a2＝3，
∴a－9＝5＋2(a3－3)，即a－2a3－8＝0．
而a3>0，则a3＝4．
∴a2＝3，a3＝4．
(2)由已知条件可知a－a＝2(an－an－1)＋2n－1，
∴(an－1)2－(an－1－1)2＝n2－(n－1)2，
则(an－1)2－n2＝(an－1－1)2－(n－1)2＝…＝(a3－1)2－32＝(a2－1)2－22＝0，而bn＝(an－1)2－n2，
∴bn＝0，即数列{bn}为等差数列．
∴(an－1)2＝n2．而an>0，故an＝n＋1．
11．(2018·湖南六校联考)如图，梯形EFBC中，EC∥FB，EF⊥BF，BF＝EC＝4，EF＝2，A是BF的中点，AD⊥EC，D在EC上，将四边形AFED沿AD折起，使得平面AFED⊥平面ABCD，点M是线段EC上异于E，C的任意一点．
(1)当点M是EC的中点时，求证：BM∥平面ADEF；
(2)当平面BDM与平面ABF所成的锐二面角的正弦值为时，求三棱锥E－BDM的体积．
解 (1)证法一：取ED的中点N，连接MN，AN，
∵点M是EC的中点，∴MN∥DC，且MN＝DC，
而AB∥DC，且AB＝DC，
∴MN綊AB，即四边形ABMN是平行四边形，
∴BM∥AN，又BM⊄平面ADEF，AN⊂平面ADEF，
∴BM∥平面ADEF．
证法二：∵AD⊥CD，
AD⊥ED，
平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，
∴DA，DC，DE两两垂直．
以DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2)，M(0，2，1)，
∴＝(－2，0，1)，
又平面ADEF的一个法向量＝(0，4，0)，
·＝0，∴⊥，
又BM⊄平面ADEF，∴BM∥平面ADEF．
(2)依题意设点M0，t，2－(00，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴g(x)≥g(0)＝0，故a＝1．
(2)证明：当a＝1时，f(x)＝(ex－1－x)ex，
f′(x)＝ex(2ex－x－2)，
令h(x)＝2ex－x－2，则h′(x)＝2ex－1，
∵x∈(－∞，－ln 2)时，h′(x)<0，
h(x)在(－∞，－ln 2)上为减函数，
x∈(－ln 2，＋∞)时，h′(x)>0，
h(x)在(－ln 2，＋∞)上为增函数，
由于h(－1)<0，h(－2)>0，
∴在(－2，－1)上存在x＝x0满足h(x0)＝0，
∵h(x)在(－∞，－ln 2)上为减函数，
∴x∈(－∞，x0)时，h(x)>0，
即f′(x)>0，f(x)在(－∞，x0)上为增函数，
x∈(x0，－ln 2)时，h(x)<0，
即f′(x)<0，f(x)在(x0，－ln 2)上为减函数，
∴f(x)在(－∞，－ln 2)上只有一个极大值点x0，
由于h(0)＝0，且h(x)在(－ln 2，＋∞)上为增函数，
∴x∈(－ln 2，0)时，h(x)<0，
即f′(x)<0，f(x)在(－ln 2，0)上为减函数，
x∈(0，＋∞)时，h(x)>0，
即f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在(－ln 2，＋∞)上只有一个极小值点0，
综上可知f(x)存在唯一的极大值点x0，且x0∈(－2，－1)．
∵h(x0)＝0，∴2ex0－x0－2＝0，
∴f(x0)＝(ex0－1－x0)ex0＝2－·(x0＋1)＝－，x0∈(－2，－1)，
∵x0∈(－2，－1)时，0<－<，
∴0
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