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- 2021-06-24 发布
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【课时训练】一元二次不等式的解法
一、选择题
1.(2018济南一中检测)若一元二次不等式ax2+bx+2>0的解集是,则a+b的值是( )
A.10 B.-10
C.14 D.-14
【答案】D
【解析】因为一元二次不等式ax2+bx+2>0的解集是,所以-,是一元二次方程ax2+bx+2=0的两个根,则解得a=-12,b=-2,则a+b=-14.
2.(2018山西太原模拟)若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-2) B.(-2,+∞)
C.(-6,+∞) D.(-∞,-6)
【答案】A
【解析】不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,所以a<x2-4x-2在区间(1,4)内有解,又函数y=x2-4x-2在(1,2)上单调递减,在(2,4)上单调递增,当x=1时,y=-5当x=4时,y=-2,-5<-2,所以a<-2,故选A.
3.(2018内蒙古呼和浩特模拟)若不等式x2-2ax+a>0对一切实数x∈R恒成立,则关于t的不等式at2+2t-3<1的解集为( )
A.(-3,1)
B.(-∞,-3)∪(1,+∞)
C.∅
D.(0,1)
【答案】B
【解析】x2-2ax+a>0对一切实数x∈R恒成立,所以Δ=4a2-4a<0,所以0<a<1,所以函数y=ax是减函数,由at2+2t-3<1可得t2+2t-3>0,解得t<-3或t>1,故选B.
4.(2018福建闽侯模拟)已知关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立,则有( )
A.m≤-3 B.m≥-3
C.-3≤m<0 D.m≥-4
【答案】A
【解析】∵x2-4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立,令f(x)=x2-4x,x∈(0,1],f(x)图象的对称轴为直线x=2,∴f(x)在(0,1]上单调递减,∴当x=1时f(x)取到最小值为-3,
∴实数m应满足m≤-3,故选A.
5.(2018长春质检)若关于x的不等式ax-b>0的解集是(-∞,-2),则关于x的不等式>0的解集为( )
A.(-2,0)∪(1,+∞) B.(-∞,0)∪(1,2)
C.(-∞,-2)∪(0,1) D.(-∞,1)∪(2,+∞)
【答案】B
【解析】关于x的不等式ax-b>0的解集是(-∞,-2),故a<0,x<,∴=-2,b=-2a,∴=>0,由于a<0,∴<0,解得x<0或1<x<2,故选B.
6.(2018郑州质量预测)已知函数f(x)=若关于x的不等式[f(x)]2+af(x)-b2<0恰有1个整数解,则实数a的最大值是( )
A.2 B.3
C.5 D.8
【答案】D
【解析】做出函数f(x)的图象如图中实线部分所示,
由[f(x)]2+af(x)-b2<0得<f(x)<.若b≠0,则f(x)=0满足不等式,即不等式有2个整数解,不满足题意,所以b=0,所以-a<f(x)<0,且整数解x只能是3,当2<x<4时,-8<f(x)<0,所以-8≤-a<-3,即a的最大值为8.故选D.
7.(2018河南南阳模拟)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为( )
A.6 B.7
C.9 D.10
【答案】C
【解析】由题意知f(x)=x2+ax+b=0只有一个根,即Δ=a2-4b=0,则b=.不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),即x2+ax+<c的解集为(m,m+6),则方程x2+ax+-c=0的两个根为m,m+6.∴
两根之差|m+6-m|==6,解得c=9,故选C.
8.(2018安徽五校联考)在关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中至多包含2个整数,则a的取值范围是( )
A.(-3,5) B.(-2,4)
C.[-3,5] D.[-2,4]
【答案】D
【解析】关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0可化为(x-1)(x-a)<0.当a=1时,不等式的解集为∅;当a>1时,不等式的解集为1<x<a;当a<1时,不等式的解集为a<x<1.要使得解集中至多包含2个整数,则a≤4且a≥-2,所以实数a的取值范围是[-2,4],故选D.
二、填空题
9.(2018全国名校大联考联考)不等式x2-2ax-3a2<0(a>0)的解集为________.
【答案】{x|-a<x<3a}
【解析】∵x2-2ax-3a2<0⇔(x-3a)·(x+a)<0,a>0,∴-a<3a,则不等式的解集为{x|-a<x<3a}.
10.(2018河南豫北豫南名校联考)不等式x2-3|x|+2>0的解集是________.
【答案】(-∞,-2)∪(-1,1)∪(2,+∞)
【解析】由题意可知原不等式可转化为|x|2-3|x|+2>0,解得|x|<1或|x|>2,所以不等式的解集为(-∞,-2)∪(-1,1)∪(2,+∞).
11.(2018湖北武汉武昌调研)已知f(x)=则不等式x2·f(x)+x-2≤0的解集是________.
【答案】{x|x<2}
【解析】当x≥2时,原不等式可化为x2+x-2≤0,解得-2≤x≤1,此时x不存在;当x<2时,原不等式可化为-x2+x-2≤0,解得x∈R,此时x<2.综上可得原不等式的解集为{x|x<2}.
12.(2018吉林辽源五校期末联考)若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-1和2,则不等式af(-2x)>0的解集是________.
【答案】
【解析】∵f(x)=x2+ax+b的两个零点是-1,2,∴-1,2是方程x2+ax+b=0的两根,由根与系数的关系知即∴f(x)=x2-x-2.不等式af(-2x)>0,即-(4x2+2x-2)>0,则2x2+x-1<0,解集为.
三、解答题
13.(2018辽宁大连五校联考)已知函数f(x)=ax2-(a+1)x+1(a≠0).
(1)若f(x)≤2在R上恒成立,求实数a的取值范围;
(2)解关于x的不等式f(x)<0.
【解】(1)由f(x)≤2在R上恒成立,可得ax2-(a+1)x-1≤0在R上恒成立,
∴解得-3-2≤a≤-3+2.
∴实数a的取值范围为[-3-2,-3+2].
(2)由不等式f(x)=ax2-(a+1)x+1<0得(ax-1)(x-1)<0.
①当0<a<1时,不等式等价于(x-1)<0,解得1<x<;
②当a=1时,不等式等价于(x-1)2<0,无解;
③当a>1时,不等式等价于·(x-1)<0,解得<x<1;
④当a<0时,不等式等价于·(x-1)>0,解得x<或x>1;
综上,当0<a<1时,f(x)<0的解集为;当a=1时,f(x)<0的解集为∅;当a>1时,f(x)<0的解集为;当a<0时,f(x)<0的解集为∪(1,+∞).