【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第十章　第2讲　古典概型作业 6页

第2讲　古典概型 ‎[基础题组练]‎ ‎1．(2019·高考全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析：选B.设3只测量过某项指标的兔子为A，B，C，另2只兔子为a，b，从这5只兔子中随机取出3只，则基本事件共有10种，分别为(A，B，C)，(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，a，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，a，b)，(C，a，b)，其中“恰有2只测量过该指标”的取法有6种，分别为(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，因此所求的概率为＝，选B.‎ ‎2．(2020·济南市模拟考试)2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动．市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王、小张、小刘、小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王被选中的概率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析：选B.从四人中随机选两人的所有情况有(小王、小张)，(小王、小刘)，(小王、小李)，(小张、小刘)，(小张、小李)，(小刘、小李)，共6种，其中小王被选中的情况有(小王、小张)，(小王、小刘)，(小王、小李)，共3种，故小王被选中的概率P＝，故选B.‎ ‎3．在集合A＝{2，3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1，2，3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析：选B.点P(m，n)共有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，6种情况，只有(2，1)，(2，2)这2个点在圆x2＋y2＝9的内部，所求概率为＝.‎ ‎4．(2020·唐山市摸底考试)在边长为1的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点，‎ 则两顶点间距离大于1的概率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析：选C.如图，正五边形ABCDE的边长为1，任取两个顶点，有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE.共10种可能，其中两顶点间距离为1的情况有AB，BC，CD，DE，EA，余下的情况两顶点间距离均大于1，各有5种可能，所以任取两顶点，两顶点间距离大于1的概率P＝＝，故选C.‎ ‎5．(2019·高考江苏卷)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ．‎ 解析：记3名男同学为A，B，C，2名女同学为a，b，则从中任选2名同学的情况有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10种，其中至少有1名女同学的情况有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共7种，故所求概率为.‎ 答案： ‎6．设a∈{1，2，3}，b∈，则函数y＝log是减函数的概率为 ．‎ 解析：因为f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，又函数y＝log是减函数，所以＞1，因为a∈{1，2，3}，b∈，则＝，，，，2，3，4，6，共8个值，其中满足＞1的有，2，3，4，6，共5个值，所以函数y＝log是减函数的概率为.‎ 答案： ‎7．(2020·长春市质量检测(一))长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学子的高度赞誉，在第二季“名师云课”中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计如下：‎ 点击量 ‎[0，1 000]‎ ‎(1 000，3 000]‎ ‎(3 000，＋∞)‎ 节数 ‎6‎ ‎18‎ ‎12‎ ‎(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3 000的节数；‎ ‎(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0，1 000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000，3 000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，若点击量超过3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中任意选出2节课进行剪辑，求剪辑时间为40分钟的概率．‎ 解：(1)根据分层抽样，从36节云课中选出6节课，其中点击量超过3 000的节数为×12＝2.‎ ‎(2)在(1)中选出的6节课中，点击量在区间[0，1 000]内的有1节，点击量在区间(1 000，3 000]内的有3节，‎ 设点击量在区间[0，1 000]内的1节课为A1，点击量在区间(1 000，3 000]内的3节课分别为B1，B2，B3，点击量超过3 000的2节课分别为C1，C2.‎ 从中选出2节课的方式有A1B1，A1B2，A1B3，A1C1，A1C2，B1B2，B1B3，B1C1，B1C2，B2B3，B2C1，B2C2，B3C1，B3C2，C1C2，共15种，其中剪辑时间为40分钟的情况有A1C1，A1C2，B1B2，B1B3，B2B3，共5种，则剪辑时间为40分钟的概率P＝＝.‎ ‎8．在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．‎ ‎(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；‎ ‎(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？‎ 解：用(x，y)(x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共25个．‎ ‎(1)设甲获胜的事件为A，则事件A包含的基本事件有：(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，共10个．故所求概率P(A)＝＝.‎ ‎(2)设甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C.事件B所包含的基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共10个．‎ 则P(B)＝＝，所以P(C)＝1－P(B)＝.‎ 因为P(B)≠P(C)，所以这样规定不公平．‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当y>x ，y>z时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{1，2，3，4)中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D． 解析：选B.从集合{1，2，3，4}中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果：123，124, 132, 134, 142, 143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432，其中是“凸数”的是132，142，143，231，241，243，341，342，共8个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率为＝，故选B.‎ ‎2．(2020·湖南省湘东六校联考)如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正十边形A1A2A3，…，A10的中心，A1在x轴正半轴上，任取不同的两点Ai，Aj(其中1≤i，j≤10，且i∈N，j∈N)，点P满足2＋＋＝0，则点P落在第二象限的概率是(　　)‎ A. B. ‎ C. D． 解析：选B.在正十边形，A1，A2，A3，…，A10的十个顶点中任取两个，不同的取法有45(种)，满足2＋＋＝0，且点P落在第二象限的不同取法有(A1，A7)，(A1，A8)，(A1，A9)，(A1，A10)，(A2，A8)，(A2，A9)，(A8，A10)，(A9，A10)，共8种，所以点P落在第二象限的概率为 eq f(8,45)，故选B.‎ ‎3．(2020·昆明市质量检测)某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的理念，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为0.9.‎ ‎(1)若引种树苗A，B，C各10棵．‎ ‎①估计自然成活的总棵数；‎ ‎②利用①中估计的结论，从没有自然成活的树苗中随机抽取2棵，求抽到的2棵都是树苗A的概率．‎ ‎(2)该农户决定引种B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活，若每棵树苗最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？‎ 解：(1)①依题意，10×0.8＋10×0.9＋10×0.9＝26，所以自然成活的总棵数约为26.‎ ‎②没有自然成活的树苗共4棵，其中2棵A种树苗，1棵B种树苗，1棵C种树苗，分别设为a1，a2，b，c，从中随机抽取2棵，可能的情况有(a1，a2)，(a1，b)，(a1，c)，(a2，b)，(a2，c)，(b，c)，抽到的2棵都是树苗A的概率为.‎ ‎(2)设该农户引种B种树苗n棵，最终成活的棵数为0.9n＋(1－0.9)n××0.8＝0.96n，未能成活的棵数为n－0.96n＝0.04n，由题意知0.96n×300－0.04n×50≥200 000，则n>699.‎ 所以该农户至少引种700棵B种树苗，可获利不低于20万元．‎ ‎4．(2020·安徽五校联盟第二次质检)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如表：‎ A类轿车 B类轿车 C类轿车 舒适型 ‎100‎ ‎150‎ z 标准型 ‎300‎ ‎450‎ ‎600‎ 按类用分层抽样的方法从这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．‎ ‎(1)求z的值；‎ ‎(2)用分层抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，‎ 从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；‎ ‎(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数xi(1≤i≤8，i∈N)，设样本平均数为，求|xi－|≤0.5的概率．‎ 解：(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得＝，所以n＝2 000，则z＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600 ＝400.‎ ‎(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意得＝，得a＝2，‎ 所以抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．‎ 用A1，A2分别表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3分别表示3辆标准型轿车，‎ 用E表示事件“在该样本中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车”．从该样本中任取2辆包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1 ，B2)，(B1，B3)，(B2 ，B3)，共10个，‎ 其中事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个．‎ 故P(E)＝，即所求的概率为.‎ ‎(3)样本平均数＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.‎ 设D表示事件“从样本中任取一个数xi(1≤i≤8，i∈N)，|xi－|≤0.5”，则从样本中任取一个数有8个基本事件，事件D包括的基本事件有9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个．‎ 所以P(D)＝＝，即所求的概率为.‎