【数学】2020届一轮复习人教A版第73课柱、锥、台、球的表面积与体积作业（江苏专用） 5页

随堂巩固训练(73)‎ ‎ 1. 如果过球的球心的截面圆的面积扩大为原来的4倍，那么球的体积扩大为原来的　8　倍.‎ 解析：根据球的体积公式可知，球的体积扩大为原来的8倍 ‎ 2. 将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是　　.‎ 解析：由题意可知，圆锥的底面周长为2π，则底面半径为1，圆锥的高为，所以圆锥的体积为×π×12×＝.‎ ‎ 3. 已知正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为　6　.‎ 解析：由题意得正四棱锥的高h＝2sin60°＝3，底面正方形的对角线长为2，所以底面积S＝2××2×＝6，所以体积V＝×6×3＝6.‎ ‎ 4. 已知圆锥的高为4，母线长为5，则该圆锥侧面展开图的中心角为　　，侧面积为　15π　.‎ 解析：因为圆锥的高为4，母线长为5，所以圆锥的底面半径为3，则底面周长为6π，所以中心角为，侧面积为×6π×5＝15π ‎ 5. 底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的表面积为　3　m2.‎ 解析：如图，在正三棱锥SABC中，D为顶点S在底面BCA内的射影，则D为正三角形ABC的垂心，‎ 过点C作CH⊥AB于点H，连结SH，则SD⊥HC且HD＝CH＝.在Rt△SHD中，SH＝＝，则S△SAB＝×AB×SH＝，S△ABC＝×AB2＝，所以S表面积＝S△ABC＋3S△SAB＝3(m2).‎ ‎ 6. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是　　.‎ 解析：设甲、乙两圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，则＝.因为侧面积相等，所以＝，所以＝＝.‎ ‎ 7. 如图，正方形ABCD的边长为a，E，F分别是边AB，BC的中点，沿DE，EF，FD将△DAE，△EBF，△FCD折起来，使A，B，C三点重合于点S，则三棱锥SDEF的外接球的体积为　　Ｗ.‎ 解析：由题意图形折叠为三棱锥，且由点S出发的三条棱两两垂直，SD＝a，SE＝SF＝，以SD，SE，SF为边补成长方体，则长方体的对角线即为球的直径，2r＝‎ eq (,a2＋f(a2,4)＋f(a2,4))＝a，r＝a，外接球的体积为V＝πr3＝.‎ ‎ 8. 圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是　4　cm.‎ 解析：设球的半径为r，则V水＝8πr2，V球＝3×πr3＝4πr3.放入球后，水面高为6r，则πr2·6r＝8πr2＋4πr3，解得r＝4.‎ ‎ 9. 在三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则该三棱锥的体积为　　.‎ 解析：由题意得AB·AC＝，AD·AC＝，AB·AD＝，所以AB＝，AC＝1，AD＝，所以V＝AD·S△ABC＝.‎ ‎10. 如图，三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为a， ∠A1AB＝∠A1AC＝60°，则其全面积为　a2　.‎ 解析：因为在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，‎ 所以A1A在平面ABC内的射影是∠BAC的平分线.‎ 作A1H⊥平面ABC，延长AH交BC于点D，‎ 因为△ABC是边长为a的等边三角形，‎ 所以AD⊥BC.‎ 因为A1H⊥BC，AD∩A1H＝H，‎ 所以BC⊥平面AA1H.‎ 因为AA1⊂平面AA1H，所以AA1⊥BC.‎ 因为AA1∥BB1，所以BB1⊥BC，‎ 因此四边形BB1C1C是矩形，‎ 所以S矩形BB1C1C＝a2.‎ 连结A1B，则△AA1B是正三角形，‎ 所以S四边形ABB1A1＝a2×2＝a2.‎ 同理S四边形AA1C1C＝a2.‎ 又S底＝a2，所以S全＝a2＋a2×2＋a2×2＝a2.‎ ‎11. 一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm， 高是 cm.‎ ‎(1) 求三棱台的斜高；‎ ‎(2) 求三棱台的侧面积和表面积.‎ 解析：(1) 设O1，O分别为正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的重心，如图所示，则O1O＝.过点O1，O，分别作O1D1⊥B1C1，OD⊥BC，垂足分别为D1，D，则D1D为三棱台的斜高.过点D1作D1E⊥AD，垂足为E，则D1E＝O1O＝.‎ 因为O1D1＝×＝，OD＝×3＝，‎ 则DE＝OD－O1D1＝－＝.‎ 在Rt△D1ED中，‎ D1D＝＝＝.‎ 故三棱台的斜高为cm.‎ ‎(2) 设c，c′分别为上、下底面的周长，h′为斜高，‎ S侧＝(c＋c′)h′＝×(3×3＋3×6)×＝(cm2)，　‎ S表＝S侧＋S上＋S下＝＋×32＋×62＝(cm2).‎ 故三棱台的侧面积为cm2，表面积为cm2.‎ ‎12. 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2BC＝4，CD＝3，E为AB的中点，过点E作 EF⊥CD，垂足为F(如图1)，将此梯形沿EF折成一个直二面角AEFC(如图2).‎ ‎(1) 求证：BF∥平面ACD；‎ ‎(2) 求多面体ADFCBE的体积.‎ 图1 　　图2‎ 解析：(1) 连结EC，交BF于点O，取AC的中点P，‎ 连结PO，PD，可得PO∥AE，且PO＝AE.‎ 因为DF∥AE，且DF＝AE，‎ 所以DF∥PO，且DF＝PO，‎ 所以四边形DPOF为平行四边形，‎ 所以FO∥PD，即BF∥PD.‎ 又PD⊂平面ACD，BF⊄平面ACD，‎ 所以BF∥平面ACD.‎ ‎(2) 因为二面角AEFC是直二面角，且AE⊥EF，‎ 所以AE⊥平面BCFE.‎ 又BC⊂平面BCFE，所以AE⊥BC.‎ 又BC⊥BE，BE∩AE＝E，BE，AE⊂平面AEB，‎ 所以BC⊥平面AEB，‎ 所以BC是三棱锥CABE的高.‎ 同理可证CF是四棱锥CAEFD的高，‎ 所以多面体ADFCBE的体积V＝VCABE＋VCAEFD＝××2×2×2＋××(1＋2)×2×2＝.‎ ‎13. 如图，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B两点的任意一点，A1A＝AB＝2.‎ ‎(1) 求证：BC⊥平面A1AC；‎ ‎(2) 求三棱锥A1ABC体积的最大值.‎ 解析：(1) 因为C是底面圆周上异于A，B两点的任意一点，AB是圆柱底面圆的直径，‎ 所以BC⊥AC.‎ 因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，‎ 所以AA1⊥BC.‎ 因为AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面AA1C，‎ 所以BC⊥平面AA1C.‎ ‎(2) 设AC＝x(0