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- 2021-06-24 发布
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对应学生用书[练案 43 理][练案 42 文]
第五讲 合情推理与演绎推理
A 组基础巩固
一、选择题
1．(2018·武汉模拟)演绎推理“因为对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)是增函数，而函数 y＝
log1
2x 是对数函数，所以 y＝log1
2x 是增函数”所得结论错误的原因是( A )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．大前提和小前提都错误
[解析] 因为当 a>1 时，y＝logax 在定义域内单调递增，当 0a>b>c≥1.a＋b＋c＋d＝13，经检验得仅有 a＝4，b＝3，c＝1，d＝5 符合条件．因为
无论是否把这位说话人计算在内，都满足条件，所以这位说话人是男护士．
10．(2018·山西太原模拟)我国古代数学名著《九章算术》中有：“割之弥细，所失弥少，
割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这体现了一种无限与有限的转化过
程．比如在表达式 1＋ 1
1＋ 1
1＋…
中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通
过方程 1＋1
x＝x 求得 x＝ 5＋1
2 .类比上述过程，则 3＋2 3＋2 …＝( A )
A．3 B． 13＋1
2
C．6 D．2 2
[解析] 令 3＋2 3＋2 …＝x(x>0)，两边平方得，3＋2 3＋2 …＝x2，即 3＋2x＝
x2，解得 x＝3，x＝－1(舍去)，故 3＋2 3＋2 …＝3，选 A．
二、填空题
11．(2018·太原模拟)有一个游戏：将标有数字 1、2、3、4 的四张卡片分别随机发给甲、
乙、丙、丁 4 个人，每人一张，并请这 4 个人在看自己的卡片之前进行预测：
甲说：乙或丙拿到标有 3 的卡片；
乙说：甲或丙拿到标有 2 的卡片；
丙说：标有 1 的卡片在甲手中；
丁说：甲拿到标有 3 的卡片．
结果显示：甲、乙、丙、丁 4 个人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁 4 个人拿到卡
片上的数字依次为__4、2、1、3___.
[解析] 由甲、丁的预测不正确可得丁拿到标有 3 的卡片，由乙的预测不正确可得乙拿
到标有 2 的卡片，由丙的预测不正确可知甲拿到标有 4 的卡片，故丙拿到标有 1 的卡片，即
甲、乙、丙、丁 4 个人拿到卡片上的数字依次为 4、2、1、3.
12．(文)(2018·皖江名校联考)如图甲所示，在直角△ABC 中，AC⊥AB，AD⊥BC，D 是
垂足，则有 AB2＝BD·BC，该结论称为射影定理．如图乙所示，在三棱锥 A－BCD 中，AD⊥
平面 ABC，AO⊥平面 BCD，O 为垂足，且 O 在△BCD 内，类比直角三角形中的射影定理，
则有 S 2△ ABC＝S△BCO·S△BCD．
(理)(2018·宁夏六盘山中学期中)
对一块边长为 1 的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成 3×3 的方格，接着用中心
和四个角的小正方形构成如图①所示的几何图形，其面积 S＝5
9；第二步，将图①的五个小正
方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图②；以此类推，到第 n 步，所得
图形的面积 Sn＝(5
9)n.若将上述操作推广到棱长为 1 的正方体中，则到第 n 步所得几何体的体
积 Vn＝ (1
3)n .
[解析] (文)S 2△ ABC＝S△BCO·S△BCD
(理)每次操作的结果依次构成一等比数列，将棱长为 1 的正方体分割成 3×3×3 的小正
方体，用中心和八个顶点处的小正方体构成的几何体的体积为 V＝ 9
27＝1
3.∴Vn＝(1
3)n.
B 组能力提升
1．(2018·河南郑州模拟)平面内凸四边形有 2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线，依次类
推，凸十三边形的对角线条数为( B )
A．42 B．65
C．143 D．169
[解析] 根据题设条件可以通过列表归纳分析得到：
凸多边形 四 五 六 七 八
对角线条数 2 2＋3 2＋3＋4 2＋3＋4＋5 2＋3＋4＋5＋6
所以凸 n 边形有 2＋3＋4＋…＋(n－2)＝n(n－3)
2 条对角线，所以凸十三边形的对角线条
数为13 × (13－3)
2 ＝65，故选 B．
2．(2018·广西南宁联考)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分
子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同：农民的年龄比乙小．根据以上情
况，下列判断正确的是( C )
A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民
B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人
C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民
D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人
[解析] 由题意可知丙不是知识分子，甲不是农民，乙不是农民，所以丙是农民，丙的
年龄比乙小，比知识分子大，所以甲是知识分子，乙是工人，丙是农民，选 C．
3．(文)(2018·南阳模拟)某单位安排甲、乙、丙三人在某月 1 日至 12 日值班，每人 4
天．
甲说：我在 1 日和 3 日都有值班；
乙说：我在 8 日和 9 日都有值班；
丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．
据此可判断丙必定值班的日期是( C )
A．2 日和 5 日 B．5 日和 6 日
C．6 日和 11 日 D．2 日和 11 日
(理)(2018·辽宁沈阳模拟)“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元 1050 年
首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元 1261 年所著的《详解九章算法》一
书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图，下列数表的构造思路就源于“杨
辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，
表中最后一行仅有一个数，则这个数是( B )
2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1
4033 4031 4029…………11 9 7 5 3
8064 8060……………20 16 12 8
16124………………36 28 20
………………
A．2017×22016 B．2018×22015
C．2017×22015 D．2018×22016
[解析] (文)1～12 日期之和为 78，三人各自值班的日期之和相等，故每人值班四天的日
期之和是 26，甲在 1 日和 3 日都有值班，故甲余下的两天只能是 10 日和 12 日；而乙在 8 日
和 9 日都有值班，8＋9＝17，所以 11 日只能是丙去值班了．余下还有 2 日、4 日、5 日、6
日、7 日五天，显然，6 日只能是丙去值班了．
(理)从给出的数表可以看出，该数表每行都是等差数列，其中第一行从右到左是公差为 1
的等差数列，第二行从右到左的公差为 2，第三行从右到左的公差为 4，…，即第 n 行从右到
左的公差为 2n－1，而从右向左看，每行的第一个数分别为 1＝2×2－1,3＝3×20,8＝4×21,20＝
5×22,48＝6×23，…，所以第 n 行的第一个数为(n＋1)×2n－2.显然第 2017 行只有一个数，其
值为(2017＋1)×22017－2＝2018×22015.故选 B．
[技巧点拨] 本题将学习过的“杨辉三角”进行变形，其本质特征不变．但若按照“杨
辉三角”的性质，利用该数表中的数从第二行起，每一行中的数均等于其“肩上”的两数之
和这一特征，则难以找出每行从右向左看第一个数的特征．如果单独观察该数表的每一行，
可以发现其是一个等差数列，再根据等差数列的性质，可以计算出指定项的值．
4．(2018·陕西汉中质检)已知 an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，观察下列算式：
a1·a2＝log23·log34＝2；
a1·a2……a6＝log23·log34……log78＝3；…
若 a1·a2·a3……am＝2 016，则 m 的值为__22_016－2___.
[解析] 由题意可知 a 1·a2·a3…am＝log23·log34·log45……logm＋1 (m＋2)＝log 2(m＋2)＝2
016，∴m＋2＝22 016，m＝22 016－2.
5．(2018·黑龙江哈尔滨三模)平面上，点 A、C 为射线 PM 上的两点，点 B、D 为射线 PN
上的两点，则有S △ PAB
S △ PCD＝PA·PB
PC·PD(其中 S△PAB、S△PCD 分别为△PAB、△PCD 的面积)；空间中，
点 A、C 为射线 PM 上的两点，点 B、D 为射线 PN 上的两点，点 E、F 为射线 PL 上的两点，
则有VP－ABE
VP－CDF＝ PA·PB·PE
PC·PD·PF (其中 VP－ABE、VP－CDF 分别为四面体 P－ABE、P－CDF 的体
积)．
[解析] 本题考查合情推理．由平面上的情况通过类比可以得到，两个三棱锥的体积比
为各自三条棱乘积之比，即VP－ABE
VP－CDF＝PA·PB·PE
PC·PD·PF.
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