高考数学复习专题练习第8讲 立体几何中的向量方法（二） 9页

第8讲 立体几何中的向量方法（二）‎ 一、选择题 ‎1．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的平个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为(　　)‎ A．150° B．45°‎ C．60° D．120°‎ 解析 由条件，知·＝0，·＝0，＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈，〉＝(2)2，‎ ‎∴cos〈，〉＝－，〈，〉＝120°，‎ ‎∴二面角的大小为60°，故选C.‎ 答案 C ‎2．正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FB＝BC，则GB与EF所成的角为 (　　)．‎ A．30° B．120° C．60° D．90°‎ 解析　如图建立直角坐标系D－xyz，‎ 设DA＝1，由已知条件，得 G，B，E，F，＝，‎ ＝ cos〈，〉＝＝0，则⊥.‎ 答案　D ‎3．长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　建立坐标系如图，‎ 则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0，2,2)．‎ ＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)，‎ cos〈，〉＝＝.‎ 所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.‎ 答案　B ‎4．在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)，‎ cos〈，〉＝－，sin〈，〉＝，‎ 答案　B ‎5．如图，在四面体ABCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD ‎＝2.∠ABC＝∠DCB＝，则二面角A－BC－D的大小为 (　　)．‎ A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析　二面角A－BC－D的大小等于AB与CD所成角的大小.＝＋＋.而2＝2＋2＋2－2||·||·cos 〈，〉，即12＝1＋4＋9－2×2cos〈，〉，∴cos〈，〉＝，∴AB与CD所成角为，即二面角A－BC－D的大小为.故选B.‎ 答案　B ‎6．已知直二面角αlβ，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．或AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 解析 ∵＝＋＋，‎ ‎∴||2＝||2＋||2＋||2，‎ ‎∴||2＝2.在Rt△BDC中，BC＝.‎ ‎∵面ABC⊥面BCD，过D作DH⊥BC于H，‎ 则DH⊥面ABC，∴DH的长即为D到平面ABC的距离，∴DH＝＝＝.故选C.‎ 答案 C 二、填空题 ‎7．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为________．‎ 解析　cos〈n，a〉＝＝＝－.‎ 又l与α所成角记为θ，即sin θ＝|cos〈n，a〉|＝.‎ 答案　.‎ ‎8．已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为________．‎ 解析　如图，建立直角坐标系D－xyz，设DA＝1由已知条件A(1,0,0)，E，F，‎ ＝，＝，‎ 设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 面AEF与面ABC所成的二面角为θ，‎ 由得 令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1,1，－3)‎ 平面ABC的法向量为m＝(0,0，－1)‎ cos θ＝cos〈n，m〉＝，tan θ＝.‎ 答案　 ‎9．在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值是________．‎ 解析　如图所示建立空间直角坐标系，设OA＝OB＝OC＝1，则A(1,0,0)，B(0，1,0)，C(0,0,1)，M，故＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，＝.‎ 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则由得 令x＝1，得n＝(1,1,1)．故cos〈n，〉＝＝，‎ 所以OM与平面ABC所成角的正弦值为，其正切值为.‎ 答案　 ‎10．正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．‎ 解析 如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，‎ 设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P，‎ 则＝(‎2a,0,0)，＝，‎ ＝(a，a,0)，‎ 设平面PAC的一个法向量为n，可取n＝(0,1,1)，‎ 则cos〈，n〉＝＝＝，‎ ‎∴〈，n〉＝60°，‎ ‎∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.‎ 答案 30°‎ 三、解答题 ‎11．如图，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，AB＝BC＝BD＝4，E、F分别为棱BC、AD的中点．‎ ‎(1)求异面直线AB与EF所成角的余弦值；‎ ‎(2)求E到平面ACD的距离；‎ ‎(3)求EF与平面ACD所成角的正弦值．‎ 解　如图，分别以直线BC、BD、BA为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为A(0,0,4)、C(4,0，0)、D(0,4，0)，‎ E(2,0,0)、F(0，2,2)．‎ ‎(1)∵＝(0,0，－4)，＝(－2,2,2)，‎ ‎∴|cos〈，〉|＝＝，‎ ‎∴异面直线AB与EF所成角的余弦值为.‎ ‎(2)设平面ACD的一个法向量为n＝(x，y,1)，‎ 则∵＝(4,0，－4)，＝(－4,4,0)，‎ ‎∴ ‎∴x＝y＝1，∴n＝(1,1,1，)．‎ ‎∵F∈平面ACD，＝(－2,2,2)，‎ ‎∴E到平面ACD的距离为d＝＝＝.‎ ‎(3)EF与平面ACD所成角的正弦值为|cos〈n，〉|＝＝ ‎12．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6.‎ ‎(1)求证：BD⊥平面PAC；‎ ‎(2)求二面角P－BD－A的大小．‎ ‎(1)证明　如图，建立空间直角坐标系，‎ 则A(0,0,0)，B(2，0,0)，‎ C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，‎ ‎∴＝(0,0,3)，＝(2，6,0)，‎ ＝(－2，2,0)．‎ ‎∴·＝0，·＝0.∴BD⊥AP，BD⊥AC.‎ 又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥面PAC.‎ ‎(2)解　设平面ABD的法向量为m＝(0,0,1)，‎ 设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则n·＝0，n·＝0.∵＝(－2，0,3)，‎ ‎∴解得 令x＝，则n＝(，3,2)，∴cos〈m，n〉＝＝.‎ ‎∴二面角P－BD－A的大小为60°.‎ ‎13．如图，直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.‎ ‎(1)证明：DC1⊥BC.‎ ‎(2)求二面角A1－BD－C1的大小．‎ ‎(1)证明　由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D为AA1的中点，‎ 故DC＝DC1.‎ 又AC＝AA1，可得DC＋DC2＝CC，所以DC1⊥DC.‎ 而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.‎ 因为BC⊂平面BCD，所以DC1⊥BC.‎ ‎(2)解　由(1)知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC‎1A1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直．以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 C－xyz.由题意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)．‎ 则＝(0,0，－1)，＝(1，－1,1)，＝(－1,0,1)．‎ 设n＝(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，则 即可取n＝(1,1,0)．‎ 同理，设m＝(x，y，z)是平面C1BD的法向量，则 即可取m＝(1,2,1)．‎ 从而cos〈n，m〉＝＝.‎ 故二面角A1－BD－C1的大小为30°.‎ ‎14．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，△PAD为等边三角形，又平面PAD⊥平面ABCD.‎ ‎(1)若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a的取值范围；‎ ‎(2)当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，‎ 求二面角A－PD－Q的余弦值．‎ 解：(1)取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD ‎∵平面PAD⊥平面ABCD，‎ 平面PAD∩平面ABCD＝AD，‎ ‎∴PO⊥平面ABCD.建立如图的空间直角坐标系，‎ 则P，D.‎ 设Q(t,2,0)，‎ 则＝，[来源:Z_xx_k.Com]‎ ＝.[来源:Zxxk.Com]‎ ‎∵PQ⊥QD，‎ ‎∴·＝t＋4＝0.‎ ‎∴a＝2，‎ ‎∵a＞0，∴t＞0，‎ ‎∴2≥8，等号成立当且仅当t＝2.‎ 故a的取值范围为[8，＋∞)．‎ ‎(2)由(1)知，当t＝2，a＝8时，边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD.‎ 此时Q(2,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,4)．‎ 设n＝(x，y，z)是平面PQD的法向量，‎ ＝(2,2，－4)，‎ ＝(－2,2,0)．‎ 由 得 令x＝y＝3，则n＝(3,3，)是平面PQD的一个法向量，‎ 而＝(0,2,0)是平面PAD的一个法向量，‎ 设二面角A－PD－Q为θ，[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ 由cos θ＝|cos〈，n〉|＝.‎ ‎∴二面角A－PD－Q的余弦值为.‎