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- 2021-06-24 发布
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2. 1.1 向量的物理背景与概念
2.1.2向量的几何表示
2.1.3相等向量与共线向量
教学目标:
1. 了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2. 通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.
教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
教学过程:
引言:请同学指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方向?
新课学习:
(一)向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量。
(二)请同学阅读课本后回答:
1、数量与向量有何区别?
2、如何表示向量?
3、有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么?
4、长度为零的向量叫什么向量?长度为1的向量叫什么向量?
5、满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗?
6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系?
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,这时它们是不是平行向量?
这时各向量的终点之间有什么关系?
(三)探究学习
A(起点)
B
(终点)
a
1、数量与向量的区别:
数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;
向量有方向,大小,双重性,不能比较大小.
2.向量的表示方法:
①用有向线段表示; ②用字母a、b(黑体,印刷用)等表示;
③用有向线段的起点与终点字母:;④向量的大小―长度称为向量的模,记作||.
3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别:
(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,这两个向量就是相同的向量;
(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念:
①长度为0的向量叫零向量,记作. 的方向是任意的. 注意与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.
说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义:
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定与任一向量平行.
说明:(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;(2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c.
6、相等向量定义:
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明:(1)向量a与b相等,记作a=b;(2)零向量与零向量相等;
(3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段表示,并且与有向线段的起点无关.
7、共线向量与平行向量关系:
平行向量就是共线向量,因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).
说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;
(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
(四)理解和巩固:
例1 书本75页例1
.
例2判断及解答:
(1)平行向量是否一定方向相同?
(2)与任意向量都平行的向量是什么向量?
(3)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?
例3.如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与向量、、相等的向量.
变式一:与向量长度相等的向量有多少个?
变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?
变式三:与向量共线的向量有哪些?
例4判断及解答:
(1)不相等的向量是否一定不平行?
(2)与零向量相等的向量必定是什么向量?
(3)当且仅当满足什么条件时两个非零向量相等?
(4)共线向量一定在同一直线上吗?
例5下列命题正确的是( )
A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
课堂练习:
1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
①向量与是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上;
②单位向量都相等;
③任一向量与它的相反向量不相等;
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当=
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0;
⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.
2、课本77页练习1、2、3、4题
三、小结 :
1、 描述向量的两个指标:模和方向.
2、平面向量的概念和向量的几何表示;
3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。
四、课后作业:
习题2.1A组3,4题
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