高考数学复习专题练习第3讲 平行关系 7页

第3讲 平行关系 一、选择题 ‎1．已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：‎ ‎①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.‎ 其中真命题的个数是(　　)‎ A．0　　　　 B．‎1　‎　　　 C．2　　　　 D．3[来源:Zxxk.Com]‎ 解析 对于①，m、n可能平行、相交或异面，②③正确，所以真命题的个数是2.‎ 答案 C ‎2．若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是 (　　)．‎ A．若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；‎ B．若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；‎ C．已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β；‎ D．若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行．‎ 解析　A中，m、n可为相交直线；B正确；C中，n可以平行β，也可以在β内；D中，m、n也可能异面．故正确的命题是B.‎ 答案　B ‎3．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是 (　　)．‎ A．l∥α B．l⊥α C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或lα 解析　l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；lα时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．‎ 答案　D ‎4．已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2.直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3.那么“P1P2＝P2P‎3”‎是“d1＝d‎2”‎的 (　　)．‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　如图所示，由于α2∥α3，同时被第三个平面P1P3N所截，故有P‎2M∥P3N.再根据平行线截线段成比例易知选C.‎ 答案　C ‎5．以下命题中真命题的个数是(　　)‎ ‎(1)若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；[来源:学科网ZXXK]‎ ‎(2)若直线a在平面α外，则a∥α；‎ ‎(3)若直线a∥b，bα，则a∥α；‎ ‎(4)若直线a∥b，bα，则a平行于平面α内的无数条直线．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析 命题(1)l可以在平面α内，不正确；命题(2)直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题(3)a可以在平面α内，不正确；命题(4)正确．‎ 答案 A ‎6．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　)．‎ A．①③ B．②③ C．①④ D．②④‎ 解析　对于图形①：平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP，对于图形④：AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP，图形②、③都不可以，故选C.‎ 答案　C 二、填空题 ‎7．过三棱柱ABC－A1B‎1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB‎1A1平行的直线共有________条．‎ 解析　过三棱柱ABC－A1B‎1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A‎1C1，B‎1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E‎1F1，EE1，FF1，E‎1F，EF1均与平面ABB‎1A1平行，故符合题意的直线共6条．‎ 答案　6‎ ‎8．若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．‎ ‎①若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；‎ ‎②若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；‎ ‎③已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β；‎ ‎④若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行．‎ 解析 ①为假命题，②为真命题，在③中，n可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在④中，m、n也可能异面，故为假命题．‎ 答案 ②‎ ‎9. 如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.‎ 解析　由题意，HN∥面B1BDD1，FH∥面B1BDD1.‎ ‎∵HN∩FH＝H，∴面NHF∥面B1BDD1.‎ ‎∴当M在线段HF上运动时，有MN∥面B1BDD1.‎ 答案　M∈线段HF ‎10．对于平面α与平面β，有下列条件：①α、β都垂直于平面γ；②α、β都平行于平面γ；③α内不共线的三点到β的距离相等；④l，m为两条平行直线，且l∥α，m∥β；⑤l，m是异面直线，且l∥α，m∥α；l∥β，m∥β，则可判定平面α与平面β平行的条件是________(填正确结论的序号)．‎ 解析　由面面平行的判定定理及性质定理知，只有②⑤能判定α∥β.‎ 答案　②⑤‎ 三、解答题 ‎11．如图，棱柱ABCD－A1B‎1C1D1的底面ABCD为菱形，平 面AA‎1C1C⊥平面ABCD.‎ ‎(1)证明：平面AB‎1C∥平面DA‎1C1；‎ ‎(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA‎1C1？若存在，‎ 求出点P的位置；‎ 若不存在，说明理由．‎ 解 (1)证明：由棱柱ABCD－A1B‎1C1D1的性质知AB1∥DC1，A1D∥B‎1C，AB1∩B‎1C＝B1，‎ A1D∩DC1＝D，‎ ‎∴平面AB‎1C∥平面DA‎1C1，‎ ‎(2)存在这样的点P满足题意．‎ 在C‎1C的延长线上取点P，使C‎1C＝CP，连接BP，‎ ‎∵B1B綊CC1，∴BB1綊CP，‎ ‎∴四边形BB1CP为平行四边形，‎ ‎∴BP∥B‎1C，[来源:Z。xx。k.Com]‎ 又∵A1D∥B‎1C，‎ ‎∴BP∥A1D，∴BP∥平面DA‎1C1.‎ ‎12．如图，已知ABCD－A1B‎1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B‎1G＝1，H是B‎1C1的中点．‎ ‎(1)求证：E，B，F，D1四点共面；‎ ‎(2)求证：平面A1GH∥平面BED‎1F.‎ 证明　(1)∵AE＝B‎1G＝1，∴BG＝A1E＝2，‎ ‎∴BG綊A1E，∴A‎1G綊BE.‎ 又同理，C‎1F綊B‎1G，∴四边形C1FGB1是平行四边形，‎ ‎∴FG綊C1B1綊D‎1A1，∴四边形A1GFD1是平行四边形．‎ ‎∴A‎1G綊D‎1F，∴D‎1F綊EB，‎ 故E、B、F、D1四点共面．‎ ‎(2)∵H是B‎1C1的中点，∴B1H＝.‎ 又B‎1G＝1，∴＝.‎ 又＝，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，‎ ‎∴△B1HG∽△CBF，∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，‎ ‎∴HG∥FB.‎ 又由(1)知A‎1G∥BE，且HG∩A‎1G＝G，‎ FB∩BE＝B，∴平面A1GH∥平面BED‎1F.‎ ‎13．一个多面体的直观图及三视图如图所示：(其中M、N分别是AF、BC的中点)．‎ ‎(1)求证：MN∥平面CDEF；‎ ‎(2)求多面体A－CDEF的体积．‎ 解　由三视图可知：AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝2，∠CBF＝.‎ ‎(1)证明：取BF的中点G，连接MG、NG，由M、N分别为AF、BC的中点可得，NG∥CF，MG∥EF，‎ ‎∴平面MNG∥平面CDEF，‎ 又MN平面MNG，‎ ‎∴MN∥平面CDEF.‎ ‎(2)取DE的中点H.‎ ‎∵AD＝AE，∴AH⊥DE，‎ 在直三棱柱ADE－BCF中，平面ADE⊥平面CDEF，‎ 平面ADE∩平面CDEF＝DE.‎ ‎∴AH⊥平面CDEF.‎ ‎∴多面体A－CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在△ADE中，AH＝.S矩形CDEF＝DE·EF＝4，‎ ‎∴棱锥A－CDEF的体积为V＝·S矩形CDEF·AH＝×4×＝.‎ ‎14．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.‎ ‎(1)求证：AE⊥BE；‎ ‎(2)设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段 CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.‎ ‎(1)证明　∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，‎ ‎∴BC⊥平面ABE，‎ 又AE平面ABE，则AE⊥BC.‎ 又∵BF⊥平面ACE，AE平面ABE，∴AE⊥BF，‎ 又BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE，‎ 又BE平面BCE，∴AE⊥BE.‎ ‎(2)解　在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连接MN，则由比例关系易得CN＝CE.‎ ‎∵MG∥AE，MG⃘平面ADE，AE平面ADE，‎ ‎∴MG∥平面ADE.‎ 同理，GN∥平面ADE.‎ 又∵GN∩MG＝G，∴平面MGN∥平面ADE.‎ 又MN平面MGN，‎ ‎∴MN∥平面ADE.‎ ‎∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点.‎