高考数学复习专题练习第2讲 导数在研究函数中的应用 7页

第2讲 导数在研究函数中的应用 一、选择题 ‎1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)‎ A．(－∞，2)　　　　　　　　 B．(0,3)‎ C．(1,4) D．(2，＋∞)‎ 解析 f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.‎ 答案 D ‎2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处 取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图像可能是(　　)‎ 解析 ∵f(x)在x＝－2处取得极小值，‎ ‎∴在x＝－2附近的左侧f′(x)<0，‎ 当x<－2时，xf′(x)>0.‎ 在x＝－2附近的右侧f′(x)>0，‎ 当－20，f′(－1)>0，所以f(－1)＋f′(－1)>0与f′(－1)＋f(－1)＝0矛盾．故选D.‎ 答案 D ‎6．已知函数f(x)＝＋ax2＋2bx＋c的两个极值分别为f(x1)，f(x2)，若x1，x2分别在区间(0,1)与(1,2)内，则b－‎2a的取值范围是(　　)‎ A．(－4，－2) B．(－∞，2)∪(7，＋∞)‎ C．(2,7) D．(－5，－2)‎ 解析 由题意，求导可得f′(x)＝x2＋ax＋2b，由 题意可知 所以a，b满足的区域如图所示(不包括边界)，因为b－‎2a在B(－1,0)处取值为2，在C(－3，1)处取值为7，所以b－‎2a的取值范围是(2,7)．‎ 答案 C 二、填空题 ‎7．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________．‎ 解析　由f′(x)＝＝0，‎ ‎∴x2＋2x－a＝0，x≠－1，又f(x)在x＝1处取极值，‎ ‎∴x＝1是x2＋2x－a＝0的根，∴a＝3.‎ 答案　3‎ ‎8．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．‎ 解析　f′(x)＝ex－2.当x＜ln 2时，f′(x)＜0；‎ 当x＞ln 2时，f′(x)＞0.‎ ‎∴f(x)min＝f(ln 2)＝2－2ln 2＋a，‎ 则函数有零点，即f(x)min≤0.‎ ‎∴2－2ln 2＋a≤0，∴a≤2ln 2－2.‎ 答案　(－∞，2ln 2－2]‎ ‎9．已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图像在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)极大值与极小值之差为________．‎ 解析：∵y′＝3x2＋6ax＋3b，‎ ⇒ ‎∴y′＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，则x＝0或x＝2，‎ ‎∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.[来 答案：4‎ ‎10．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．‎ 解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.因为函数f(x)有极大值又有极小值，所以方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实根，即Δ＝‎4a2－‎4a－8>0，解得a>2或a<－1.‎ 答案：a>2或a<－1‎ 三、解答题 ‎11．已知函数f(x)＝mx3＋nx2(m、n∈R，m≠0)，函数y＝f(x)的图像在点(2，f(2))处的切线与x轴平行．‎ ‎(1)用关于m的代数式表示n；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调增区间．‎ 解　(1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，‎ 又f′(2)＝0，∴‎3m＋n＝0，故n＝－‎3m.‎ ‎(2)∵n＝－‎3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，‎ ‎∴f′(x)＝3mx2－6mx.‎ 令f′(x)>0，即3mx2－6mx>0，‎ 当m>0时，解得x<0或x>2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m<0时，解得00时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m<0时，函数f(x)的单调增区间是(0，2)．‎ ‎12．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(x∈[－1，2])，且函数f(x)在x＝1和x＝－处都取得极值．‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调递增区间．‎ 解　(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.‎ 由题易知，即解得 ‎(2)由(1)知，f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，‎ ‎∵当x∈时，f′(x)＞0；‎ 当x∈时，f′(x)＜0；‎ 当x∈(1，2]时，f′(x)＞0.‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为和(1，2]．‎ ‎13．已知函数f(x)＝－x2＋ax－ln x(a∈R)．‎ ‎(1)当a＝3时，求函数f(x)在上的最大值和最小值；‎ ‎(2)当函数f(x)在上单调时，求a的取值范围．‎ 解　(1)a＝3时，f′(x)＝－2x＋3－＝－＝‎ ‎－，函数f(x)在区间上仅有极大值点x＝1，故这个极大值点也是最大值点，故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝2.‎ 又f(2)－f＝(2－ln 2)－＝－2ln 2<0，‎ 故f(2)1时，在曲线y＝f(x)上是否存在这样的两点A，B，使得在点A，B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，若存在，试求a的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ 解 f′(x)＝3ax2－6x(a≠0)，‎ ‎(1)∵函数f(x)在x＝－1时取到极值，‎ ‎∴f′(－1)＝‎3a＋6＝0，解得a＝－2.‎ ‎∴实数a的值为－2.‎ ‎(2)由f′(x)＝0得x＝0或x＝，‎ ‎①当a<0时，<0，由f′(x)>0得0，‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为和(0，＋∞)．[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ ‎②当a>0时，>0，同理可得函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和，单调递减区间为.‎ ‎(3)假设存在满足要求的两点A，B，即在点A、B处的切线都与y轴垂直，则kA＝kB＝0，‎ 由f′(x)＝3ax2－6x＝0，解得x＝0或x＝.‎ ‎∴A，B.‎ 又线段AB与x轴有公共点，‎ ‎∴yA·yB≤0，即≤0.‎ 又a>1，解得3≤a≤4.‎ 所以当3≤a≤4时，存在满足要求的点A、B.‎