- 1.52 MB
- 2021-06-24 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
9.8.1 圆锥曲线中求值与证明问题
考点一 求值问题
1.(2020·西安模拟)已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线,且都过B点,它们的离心率分别为e1,e2,则+= ( )
A. B.2 C. D.3
2.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,直线AB垂直于x轴,F为抛物线的焦点,射线BF交抛物线的准线于点C,且|AB|=|AF|,△AFC的面积为2+2,则p的值为 ( )
A. B.1 C.2 D.4
3.(2019·天津高考)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.
(1)求椭圆的方程.
(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.
若|ON|=|OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.
【解析】1.选B.如图,由题意,设椭圆的长半轴为a1,双曲线的半实轴为a2,
根据椭圆和双曲线定义:
|AB|+|BC|=2a1,
- 14 -
|BC|-|AB|=2a2,
可得|BC|=a1+a2,
|AB|=a1-a2,设AC=2c,
在直角三角形ABC中,由勾股定理可得,
4c2=(a1-a2)2+(a1+a2)2 ,即+ = 2c2,
即+=2.
2.选C.过点A作AH垂直于准线,垂足为H,作CG垂直于AB,垂足为G,根据抛物线的定义|AH|=|AF|,CE∥AB,因此|DE|=|AH|=|CG|=|AF|,
由S△AFC=S△ABC-S△AFB,S△ABC=|AB|·|CG|=|AD|·|CG|,S△AFB=|AB|·|DF|=|AD|·|DF|,
得S△AFC=|AD|·|CG|-|AD|·|DF|
=|AD|(|CG|-|DF|),
=|AD|(|DE|-|DF|)=|AD|·|EF|,
又|DE|=|AF|=|DF|,则|EF|=(-1)|DF|,
|AD|=2|DF|==|EF|,可得S△AFC=|EF|2,又因为S△AFC=2+2,所以|EF|=2,因为EF正好是焦点到准线的距离,即p=2.
3.(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,=,又a2=b2+c2,可得a=,b=2,c=1.
所以,椭圆的方程为+=1.
- 14 -
(2)由题意,设P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).
设直线PB的斜率为k(k≠0),
又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,
与椭圆方程联立
整理得(4+5k2)x2+20kx=0,
可得xP=-,
代入y=kx+2得yP=,
进而直线OP的斜率=.
在y=kx+2中,令y=0,得xM=-.
由题意得N(0,-1),
所以直线MN的斜率为-.
由OP⊥MN,得·=-1,
化简得k2=,从而k=±.
所以直线PB的斜率为或-.
1.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),
- 14 -
P2(x2,y2),则所得弦长:
|P1P2|=|x1-x2|=
==|y1-y2|.
(2)斜率不存在时,可求出交点坐标,直接求解(利用两点间距离公式).
2.平面图形面积的求解,首先根据题意确定平面图形的形状,然后确定其面积的表达式,求出相关的度量——弦长、距离等,最后代入公式求解即可.
3.条件求值,主要是将已知条件坐标化,列出对应的方程,通过解方程(组)求值.
秒杀绝招 题1中可以利用赋值法简化求解过程,减少计算量.不妨设直角三角形ABC三边长度分别为3,4,5.则椭圆与双曲线的焦距2c=5,则在椭圆中,2a1=3+4=7,故e1=;在双曲线中,2a2=|3-4|=1,故e1=5.所以+=+=2.
考点二 证明问题
命
题
精
解
读
考什么:(1)圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).
(2)考查数学运算与逻辑推理的核心素养以及函数与方程、转化与化归的数学思想方法等.
怎么考:以直线和圆锥曲线的位置关系为背景,考查角度与长度关系的证明,直线平行、垂直、三点共线等位置关系的证明等.
新趋势:等量关系的证明与三角函数等知识的结合,如证明角度相等.
学
霸
好
1.解决证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等直接进行证明.
2.交汇问题
- 14 -
方
法
数量关系的问题,多与其他模块知识相结合,如三角函数、向量以及函数相关知识等.
证明数量关系
【典例】(2019·北京模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0),离心率为.A为椭圆C的左顶点,P,Q为椭圆C上异于A的两个动点,直线AP,AQ与直线l:x=4分别交于M,N两点.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若△PAF与△PMF的面积之比为,求M的坐标.
(3)设直线l与x轴交于点R,若P,F,Q三点共线,求证:∠MFR=∠FNR.
【解题导思】
序号
题目拆解
(1)
根据已知条件求标准方程中的参数值
由题意得c=1,结合离心率求得a,再由隐含条件求得b,则椭圆方程可求.
(2)
①求AP与AM的关系
将两个三角形面积比转化为AP与AM的关系.
②求M的纵坐标
利用向量关系建立坐标的方程求解.
(3)
①求R点坐标
直线l与x轴的交点
②求P点坐标
联立方程组求解,利用根与系数的关系求得P的坐标
③建立点的坐标之间的关系
利用三点共线——斜率相等建立坐标关系
④证明数量等式
证明两个角的三角函数(正切)值相等,范围相等.
【解析】(1)由题意得
解得
- 14 -
因为a2-b2=c2,所以b2=3.
所以椭圆C的方程为
+=1.
(2)因为△PAF与△PMF的面积之比为,
所以|AP|=|PM|.所以=.
设M(4,m)(m≠0),P(x0,y0),则(x0+2,y0)=(6,m),
解得x0=-1,y0=.
将其代入+=1,解得m=±9.
所以M的坐标为(4,9)或(4,-9).
(3)设M(4,m),N(4,n),
P(x0,y0),由题知R(4,0),
若m=0,则P为椭圆C的右顶点,由P,F,Q三点共线知,Q为椭圆C的左顶点,不符合题意.
所以m≠0.同理n≠0.
直线AM的方程为y=(x+2).
- 14 -
由
消去y,整理得(27+m2)x2+4m2x+(4m2-108)=0.
Δ=(4m2)2-4(27+m2)(4m2-108)>0成立.
由-2x0=,解得x0=.
所以y0=(x0+2)=.
所以P.
①当PF⊥x轴时,
即|m|=3时,|n|=3,=1,
由椭圆的对称性可得|MR|=|FR|=|NR|=3.
又因为∠MRF=∠NRF=90°,
所以∠MFR=∠FNR=45°.
②当直线PQ与x轴不垂直时,|m|≠3,|n|≠3,
直线FP的斜率kFP==.
同理kFQ=.因为P,F,Q三点共线,
- 14 -
所以=.所以mn=-9.
在Rt△MRF和Rt△NRF中,
tan∠MFR==,tan∠FNR===,
所以tan∠MFR=tan∠FNR.
因为∠MFR,∠FNR均为锐角,
所以∠MFR=∠FNR.
综上,若P,F,Q三点共线,则∠MFR=∠FNR.
证明位置关系
【典例】(2019·大连模拟)设椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若椭圆E的离心率为,△ABF2的周长为16.
(1)求椭圆E的方程.
(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C,D,设弦AB,CD的中点分别为M,N.证明:O,M,N三点共线.
【解题导思】
序号
题目拆解
(1)
求标准方程中的参数
根据已知离心率与三角形的周长列方程组求参数
(2)
①求直线OM的斜率
根据点差法,建立弦AB的中点M与直线AB的斜率之间的关系,从而求得直线OM的斜率
②求直线ON的斜率
根据点差法,建立弦CD的中点N与直线AB的斜率之间的关系,从而求得直线ON的斜率
③证明三点共线
证明两直线OM,ON斜率相等
【解析】(1)由题意知,4a=16,a=4.又因为e=,所以c=2,b==2,
- 14 -
所以椭圆E的方程为+=1.
(2)当直线AB、CD的斜率不存在时,由椭圆的对称性知,中点M,N在x轴上,O,M,N三点共线;
当直线AB,CD的斜率存在时,设其斜率为k(k≠0),
且设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).
则 + = 1, + = 1,
相减得 =- ,
所以·=-,即·=-,
即k·kOM=-,所以kO M=-;
同理可得kO N=-,所以kO M=kO N,
所以O,M,N三点共线.
1.过椭圆W:+y2=1的左焦点F1作直线l1交椭圆于A,B两点,其中A(0,1),另一条过F1的直线l2交椭圆于C,D两点(不与A,B重合),且D点在x轴下方且不与点(0,-1)重合.过F1作x轴的垂线分别交直线AD,BC于E,G.
(1)求B点坐标和直线l1的方程.
(2)求证:|EF1|=|F1G|.
【解析】(1)由题意可得直线l1的方程为y=x+1.与椭圆方程联立,得
- 14 -
可求得B.
(2)当l2与x轴垂直时,C,D两点与G,E两点重合,由椭圆的对称性,|EF1|=|F1G|.
当l2不与x轴垂直时,设C(x1,y1),D(x2,y2),l2的方程为y=k(x+1)(k≠1).
由
消去y,整理得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0.
则x1+x2=,x1x2=.
由已知,x2≠0,
则直线AD的方程为y-1=x,令x=-1,得点E的纵坐标yE=.
把y2=k(x2+1)代入得yE=.
由已知,x1≠-,
则直线BC的方程为y+=,
令x=-1,得点G的纵坐标yG=.
把y1=k(x1+1)代入得yG=.
- 14 -
yE+yG=+
=
=.
把x1+x2=,x1x2=代入到
2x1x2+3(x1+x2)+4中,则
2x1x2+3(x1+x2)+4=2×+3×+4=0.
即yE+yG=0,即|EF1|=|F1G|.
2.(2020·重庆模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F,且椭圆C过点.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若点A,B分别为椭圆C的左右顶点,点P是椭圆C上不同于A,B的动点,直线AP与直线x=a交于点Q,证明:以线段BQ为直径的圆与直线PF相切.
- 14 -
【解析】(1)设椭圆C的焦距为2c(c>0),依题意,,解得a=2,b=,c=1,故椭圆C的标准方程为+=1.
(2)方法一:①设点P的坐标为(x0,y0),x0≠±2,
因为P在椭圆上,所以+=1,所以=3-,
由A,B两点的坐标为(-2,0),(2,0),所以直线AP的方程为:y=(x+2),
当x=2时y=,则点Q的坐标为,
设线段BQ的中点为T,则点T的坐标为,有|BT|=,
当x0≠1时,直线PF的方程为:y=(x-1),整理为y0x-(x0-1)y-y0=0,
由+(x0-1)2=3-+-2x0+1=(-8x0+16)=(x0-4)2,
则点T到直线PF的距离为d=
- 14 -
===,
由d=|BT|,故以BQ为直径的圆与直线PF相切.
②当x0=1时,则点P的坐标为或,直线PF的方程为x=1,直线AP的方程为x-2y+2=0或x+2y+2=0.将x=2代入直线AP的方程得点Q的坐标为(2,2)或(2,-2),线段BQ中点T的坐标为(2,1)或(2,-1),所以|BT|=1.又点T到直线PF的距离d=1,
由d=|BT|,故以BQ为直径的圆与直线PF相切.
方法二:由(1)知A(-2,0),B(2,0),F(1,0).
依题意,直线AP的斜率存在,设直线AP的方程为y=k(x+2),
设点P的坐标为(x0,y0),由,
消去y得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.
所以-2+x0=,所以x0=,
所以y0=k(x0+2)=,
所以P的坐标为.
因为直线AP与x=2交点为Q,
- 14 -
所以Q的坐标为(2,4k),B(2,0),
所以以BQ为直径的圆的圆心坐标为(2,2k),半径为|2k|.
①当直线PF的斜率存在,即≠1,k2≠时直线PF的方程为y=(x-1),即y=(x-1),
整理得4kx-(1-4k2)y-4k=0,
设圆心(2,2k)到直线PF的距离为d,则
d==
==|2k|,
所以以BQ为直径的圆与直线PF相切.
②当直线PF的斜率不存在,即k2=时,直线PF的方程为x=1.圆心坐标为(2,±1),圆的半径为1,此时以BQ为直径的圆与直线PF相切.
- 14 -
相关文档
- 2021届高考数学一轮复习新人教A版2021-06-2414页
- 2021届高考数学一轮总复习第八章平2021-06-2443页
- 2018届二轮复习平面解析几何课件(全2021-06-2445页
- 高考数学一轮复习第十章平面解析几2021-06-2411页
- 2021高考数学一轮复习第9章平面解2021-06-248页
- 2021版高考数学一轮复习第九章平面2021-06-2464页
- 2021高考数学一轮复习第八章平面解2021-06-2437页
- 2021高考数学一轮复习第八章平面解2021-06-2431页
- 【数学】2018届一轮复习人教A版第2021-06-2480页
- 2021届高考数学一轮复习第九章平面2021-06-2424页