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- 2021-06-24 发布
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闵行区高一上期末数学试卷
一、填空题
1.函数 的定义域为___________.
【答案】
【解析】
【详解】解析过程略
2.函数 的反函数是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据反函数的定义，从原函数式中解出 ，再进行 ， 互换，即可得反函数的解析式.
【详解】∵ ，则 ，
∴ ，即 ，
∴将 ， 互换，得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查反函数的求法，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图
象间的关系，属于基础题.
3.已知全集 ，集合 ， ，如图中阴影部分
所表示的集合为________.
【答案】
【解析】
【分析】
( ) 1f x x= −
[ 1,1]−
( ) ( )0f x x x= − ≤
( )2 0y x x= − ≥
x x y
( )0y x x= − ≤ 0y≥
( )2 0x y y− = ≥ ( )2 0x y y= − ≥
x y ( )2 0y x x= − ≥
( )2 0y x x= − ≥
{ | ,| | 3}U x x Z x= ∈ { 2,0,1,2}= −A { 2,1,3}B = −
{0,2,3}
求出全集 ， ，
，图中阴影部分所表示的集合为 .
【详解】由题意得全集 ，
又集合 ， ，
所以， ， ，
故 ， ，
所以，图中阴影部分所表示的集合为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查集合的求法，考查交集、补集、Venn 图等基础知识，考查运算求解能力，
属于基础题.
4.已知奇函数 的定义域为 ， ，那么 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质可知 ， ，代入即可求解.
【详解】由题意， 为 上的奇函数，则 ， ，
又 ，故 ，
所以 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了利用奇函数的定义及性质求解函数值，属于基础题.
5.已知函数 是增函数，则实数 的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
结合对数函数的单调性可知， ，解不等式即可.
{ } { }| ,| | 3 3, 2, 1,0,1,2,3U x x Z x= ∈ = − − − { }3, 1,3U A = − −
{ }3, 1,0,2U B = − − ( ) ( )U UA B B A∩ ∪ ∩
{ } { }| ,| | 3 3, 2, 1,0,1,2,3U x x Z x= ∈ = − − −
{ }2,0,1,2A = − { }2,1,3B = −
{ }3, 1,3U A = − − { }3, 1,0,2U B = − −
{ }0,2UA B = { }3UB A =
( ) ( ) { }0,2,3U UA B B A =
{ }0,2,3
( )f x R ( 1) 3f − = (0) (1)f f+ =
3−
( )0 0f = ( ) ( )1 1f f= − −
( )f x R ( )0 0f = ( ) ( )1 1f f= − −
( )1 3f − = ( ) ( )1 1 3f f= − − = −
( ) ( )0 1 0 3 3f f+ = − = −
3−
25( ) log af x x−
= a
( 2,2)−
25 1a− >
【详解】由题意可得， ，
解得： .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性的应用，属于基础题.
6.已知原命题的逆命题是：“若 ，则 ”，试判断原命题的否命题的真假
________.（填“真”或“假”）
【答案】假
【解析】
【分析】
原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，它们的真假性相同，即只需判断原命题逆命题的真
假性就可得出结论.
【详解】原命题的逆命题是：“若 ，则 ”与原命题的否命题互为逆否命题，
它们的真假性相同，
所以，只需要判断原命题的逆命题的真假即可，
若 ，则可能 ， ，此时 ，即原命题的逆命题是假命题，
所以，原命题的否命题是假命题.
故答案为：假.
【点睛】本题考查命题的真假关系，属于基础题.
7.令 ，则用 表示 的结果为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用对数的运算性质化简即可.
【详解】 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题.
25 1a− >
2 2a− < <
( )2,2−
0xy = 2 2 0x y+ =
0xy = 2 2 0x y+ =
0xy = 0x = 0y ≠ 2 2 0x y+ ≠
lg 2 a= a 8 1lg 3lg5 2
+
1a −
( )8 1lg 3lg lg8 lg5 3lg 2 3lg 2 1 lg 2 3lg 2 lg 2 1 15 2 a+ = − − = − − − = − = −
1a −
8.已知函数 是偶函数，当 时， ，则当 时， ________.
【答案】
【解析】
【分析】
设 ，则 ，代入已知函数解析式，再结合偶函数的定义即可求解.
【详解】由题意，当 时， ，
设 ，则 ，此时 ，
又函数 是偶函数，可得 ，
所以， .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了利用偶函数的定义求解函数解析式，属于基础题.
9.2019 年度，国内某电信企业甲投入科研经费 115 亿美元，国外一家电信企业乙投入科研经
费 156 亿美元，从 2020 年开始，若企业甲的科研经费每年增加 ，计划用 3 年时间超过企
业乙的年投入量（假设企业乙每年的科研经费投入量不变）.请写出一个不等式来表达题目中
所描述的数量关系：__________.（所列的不等式无需化简）
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得： .
【详解】由题意，企业甲的科研经费每年增加 ，用 3 年时间超过企业乙的年投入量，
所以，不等式表达题目的数量关系为： .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了函数的实际运用，属于基础题.
10.已知函数 ，定义 ，则函数
的值域为___________.
( )f x 0x > 2( ) 3f x x x= − 0x < ( )f x =
2 3x x+
0x < 0x− >
0x > ( ) 2 3f x x x= −
0x < 0x− > ( ) ( ) ( )2 23 3f x x x x x− = − − − = +
( )f x ( ) ( )f x f x= −
( ) 2 3f x x x= +
2 3x x+
%x
3115(1 %) 156x+ >
( )3115 1 % 156x+ >
%x
( )3115 1 % 156x+ >
( )3115 1 % 156x+ >
2( ) logf x x= ( ) ( 1) ( )f x f x f x∆ = + − ( ) ( ) ( 1)F x f x f x= ∆ + +
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意以及对数的运算性质得出 ，进而可由基本不等式可得出
，从而可得出函数 的值域.
【详解】由题意， ，
即 ，
由题意知， ，由基本不等式得 （当且仅当 时取等号），
所以 （当且仅当 时取等号），即 ，
所以 的值域为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了函数值域的定义及求法，对数的运算性质，基本不等式的运用，考查了
计算能力，属于基础题.
11.已知 ， ，对于任意的 ，总存在 ，使得
或 ，则实数 的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】
通过去掉绝对值符号，得到分段函数的解析式，求出值域，然后求解 的值域，
结合已知条件推出 的范围即可.
【详解】由题意，对于任意的 ，总存在 ，使得 或 ，则
[ )2,+∞
( ) 2
1log 2F x x x
= + +
1 2 4x x
+ + ≥ ( )F x
( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 2log 1 logF x f x f x x x= + − = + −
( ) 2
2 2
2 1 1log log 2x xF x xx x
+ + = = + +
0x > 1 12 2x xx x
+ ≥ ⋅ = 1x =
1 2 4x x
+ + ≥ 1x = 2 2
1log 2 log 4 2x x
+ + ≥ =
( )F x [ )2,+∞
[ )2,+∞
( ) | 1| | 1|f x x x= + − − ( ) ag x x x
= + m R∈ 0x R∈
( )0f x m= ( )0g x m= a
( ,1]−∞
( ) ag x x x
= +
a
m R∈ 0x R∈ ( )0f x m= ( )0g x m= ( )f x
与 的值域的并集为 ，又 ，
结合分段函数的性质可得， 的值域为 ，
当 时，可知 的值域为 ，
所以，此时有 ，解得 ，
当 时， 的值域为 ，满足题意，
综上所述，实数 范围为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查函数恒成立条件的转化，考查转化思想的应用，注意题意的理解是解题的
关键，属于基础题.
12.设函数 （ ）的值域依次是
，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出二次函数的对称轴，判断函数的最小值与最大值，然后求解值域的交集即可.
【详解】函数 的对称轴为 ，开口向上，所以函数的最小值为 ，
函数 （ ）的值域依次是
，它们的最小值都是 ，
函数值域中的最大值为：当 ，即 时，此时 ，
所以，值域中的最大值中的最小值为 ，
的
( )g x R ( )
2, 1
1 1 2 , 1 1
2, 1
x
f x x x x x
x
≥
= + − − = − < <
− ≤ −
( )f x [ ]2 2− ,
0a ≥ ( ) ag x x x
= + ( ), 2 2 ,a a −∞ − +∞
2 2a ≤ 0 1a≤ ≤
0a < ( ) ag x x x
= + R
a ( ],1−∞
( ],1−∞
2( ) 2 1kf x x x= − + 1 20191, , 1,2,3, ,2019kx kk k
+ ∈ − =
1 2 3 2019, , , ,A A A A 1 2 3 2019A A A A∩ ∩ ∩ ∩ =
2
2
20190,1010
( ) 2 2 1kf x x x= − + 1x = ( )1 0f =
2( ) 2 1kf x x x= − + 1 20191, , 1,2,3, ,2019kx kk k
+ ∈ − =
1 2 3 2019, , , ,A A A A 0
1 20191 1 1k
k k
+ − − = − 1010k = 1 11010x = −
2 21 1 20191 1 11010 1010 1010f − = − − =
所以， .
故答案为： .
【点睛】本题考查二次函数的性质，函数的最值，考查分析问题解决问题的能力，涉及集合
的交集计算，属于基础题．
二、选择题
13.已知 a，b 都是实数，那么“ ”是“ ” 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意构造指数函数与幂函数，利用函数的单调性结合充分条件和必要条件的定义进行判
断即可．
【详解】对于“ ”，考查函数 y= 在 R 上单调递增，所以“ ”与“a>b”等价；
同样对于“ ”，考查函数 y= 在 R 上单调递增，所以“ ”与“a>b”也等价；
所以“ ”是“ ” 的充要条件，故选 C.
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据指数函数及幂函数的单调性是解决
本题的关键．
14.如果 ，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用对数解得即可.
2
1 2 3 2019 2010 2
20190,1010A A A A A
= =
2
2
20190,1010
3 3a b> 3 3a b>
3 3a b> 3x 3 3a b>
3 3a b> 3x 3 3a b>
3 3a b> 3 3a b>
1 2
log 0.5 log 0.5 0x x
< <
2 10 1x x< < < 1 20 1x x< < < 1 21 x x< <
2 11 x x< <
【详解】由 ，得 .
故选：C.
【点睛】本题考查对数函数的性质，属于基础题.
15.已知集合 ，则下列集合中与 相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用集合相等的定义即可判断.
【详解】集合 ，
所以 且 ，故 A、B 选项不正确；
选项 C： ，故 C 不正确；
选项 D： 且 ，
故 D 选项正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了集合相等的定义，属于基础题.
16.若 ,当 时, ,若在区间 内,
有两个零点,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
1 2
log 0.5 log 0.5 0x x
< < 2 1 1x x> >
2 1 2 1| ,3 2 3 2
x xP x x Rx x
− − = = ∈ − − P
2 1| 0,3 2
xx x Rx
− > ∈ − { | (2 1)(3 2) 0, }x x x x R− − ≥ ∈
2 1| lg 3 2
xx y x
− = −
{ }0| (2 1)(3 2) (3 2)x y x x x= − − + −
2 1 2 1 2 1| , | 03 2 3 2 3 2
x x xP x x R xx x x
− − − = = ∈ = ≥ − − −
( )( ){ | 2 1 3 2 0P x x x= − − ≥ }3 2 0x − ≠
2 1 2 1| lg | 03 2 3 2
x xx y xx x
− − = = > − −
{ } ( )( ){0| (2 1)(3 2) (3 2) | 2 1 3 2 0x y x x x x x x= − − + − = − − ≥ }3 2 0x − ≠
( ) ( )
11 1f x f x
+ = + [0,1]x∈ ( )f x x= ( ]1,1− ( ) ( )g x f x m= −
m
10, 2
1 ,2
+∞
10, 3
( ]0,1
【答案】D
【解析】
分析】
先求函数的解析式, 把在区间 内,函数 有两个零点，转化为函数
与 的图象由两个不同的交点，结合图象，即可求解．
【详解】由题意知，当 ，则 ，
又因为当 时, ,所以 ，
所以 ，所以 ,
要使得在区间 内,函数 有两个零点，
即函数 与 的图象由两个不同的交点，
在同一坐标系内作出两个函数的图象，如图所示，
要使得两函数的图象有两个不同的交点，则实数 的取值范围是 ，
故选 D．
【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求解，以及利用函数的零点问题求解参数的取值范
围，其中解答中正确求解函数的解析式，把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问
题，结合图象求解是解答关键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用，属于中档
试题．
三、解答题
17.已知函数 .判断 在 上的单调性，并给予证明.
【
( ]1,1− ( ) ( )g x f x m= −
( )y f x= y m=
( )1,0x∈ − ( )1 0,1x + ∈
[ ]0,1x∈ ( )f x x= ( )1 1f x x+ = +
( ) ( )
1 11 11 1f x f x x
= − = −+ + ( )
,0 1
1 1, 1 01
x x
f x xx
≤ ≤= − − < < +
( ]1,1− ( ) ( )g x f x m= −
( )y f x= y m=
m 0 1m< ≤
1( )f x xx
= − ( )f x ( ,0)−∞
【答案】单调递减，证明见解析.
【解析】
【分析】
直接利用单调性的定义，作差比较即可判断.
【详解】 在 上单调递减.
证明如下：
设 ，则
，
由 ，则 ， ， ，
所以 ，即 ，
故 在 上单调递减.
【点睛】本题主要考查了单调性的定义在判断函数单调性中的应用，属于基础题.
18.已知集合 ， .
（1）求集合 和 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用不等式的性质即可求出集合 和 ；
（2）由 ，得 ，解不等式组，进而得出实数 的取值范围.
【详解】（1）集合 ，
因 ，则 ，
所以集合 或 .
( )f x ( ),0−∞
1 2 0x x< <
( ) ( ) ( ) 1 2
1 2 1 2 1 2 2 1
1 2 1 2 1 2
11 1 1 1 x xf x f x x x x x x xx x x x x x
+− = − − − = − − + = − ⋅
1 2 0x x< < 2 1 0x x− > 1 2 0x x⋅ > 1 21 0x x+ ⋅ >
( ) 1 2
2 1
1 2
1 0x xx x x x
+− ⋅ > ( ) ( )1 2 0f x f x− >
( )f x ( ),0−∞
1| 11A x x
= > −
( )( ){ }| 3 2 0, 1B x x a x a a= − − − > ≤
A B
A B B∪ = a
( )0,1A = ( ) ( ),3 2,B a a= −∞ + +∞ ( ] 1, 2 ,13
−∞ −
A B
A B B∪ = A B⊆ a
{ }1| 1 | 0 | 0 11 1
xA x x x xx x
= > = > = < < − −
1a ≤ 3 2a a≤ +
( )( ){ } {3 2 0, 1 | 3B x x a x a a x x a= − − − ≤ = < }2x a> +
即集合 ， .
（2）由（1）知，集合 ， ，
由 ，得 ，
所以 或 ，解得 或 ，
故实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查集合、实数的取值范围的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运
算求解能力，属于基础题.
19.自 2019 年春季以来，在非洲猪瘟、环保禁养、上行周期等因素形成的共振条件下，猪肉
价格连续暴涨.某养猪企业为了抓住契机，决定扩大再生产，根据以往的养猪经验预估：在近
期的一个养猪周期内，每养 百头猪 ，所需固定成本为 20 万元，其它为变动成本：
每养 1 百头猪，需要成本 14 万元，根据市场预测，销售收入 （万元）与 （百头）满
足如下的函数关系： （注：一个养猪周期内的总利
润 （万元）=销售收入-固定成本-变动成本）.
（1）试把总利润 （万元）表示成变量 （百头）的函数；
（2）当 （百头）为何值时，该企业所获得的利润最大，并求出最大利润.
【答案】（1） ；（2） ，最大利润为 109 万元.
【解析】
【分析】
（1）根据题意即可求出函数 解析式；
（2）分段求出最大值，再比较即可求出当 时，该企业所获得的利润最大，从而求出最
大利润.
【详解】（1）由题意可得：
的
( )0,1A = ( ) ( ),3 2,B a a= −∞ + +∞
( )0,1A = ( ) ( ),3 2,B a a= −∞ + +∞
A B B∪ = A B⊆
1
3 1
a
a
≤
≥
1
2 0
a
a
≤
+ ≤
1 13 a≤ ≤ 2a ≤ −
a ( ] 1, 2 ,13
−∞ −
x (5 15)x≤ ≤
( )F x x
2
30 40, (5 10)( ) 40 40, (10 15)
x xF x x x x
− ≤ ≤= − + − < ≤
( )R x
( )R x x
x
2
16 60, (5 10)( ) 26 60, (10 15)
x xR x x x x
−= − + − <
13x =
( )R x
13x =
( )
( )2
30 40, 5 10( ) 40 40, 10 15
x xF x x x x
− ≤ ≤= − + − < ≤
所以，总利润 .
（2）当 时， ，当 时， 的值最大，最大值为 ，
当 时， ，当 时， 的值最大，最
大值为 ，
综上所述，当 时，该企业所获得的利润最大，最大利润为 万元.
【点睛】本题主要考查了函数的实际运用，属于基础题.
20.设 是由满足以下性质的函数 构成的集合：对于 的定义域内的任意两个不相等
的实数 、 ，不等式 都成立.
（1）已知函数 ，求 的反函数 ，并指出 的定义域；
（2）试判断（1）中的函数 与 是否属于集合 ，并说明理由；
（3）设 ，且 的定义域为 ，值域为 ，试写出一个满足条
件的函数 的解析式（不用分段函数表示，不需要说明理由）.
【 答 案 】（ 1 ） （ 2 ） ； 详 见 解 析 （ 3 ）
.（答案不唯一）
【解析】
【分析】
（1）利用反函数的定义直接求出即可；
（2）根据题意，利用作差比较法判断即可；
（3）根据题意，答案不唯一，满足条件即可．
【详解】（1）由题意， ，即 ，得 ，
所以 ， ，故 ，其定义域为 ；
（2）对于 ：任取 且 ，则 ，
( ) ( ) ( ) ( )
( )2
16 60, 5 1014 20 26 60, 10 15
x xR x F x x x x x
− ≤ ≤= − + = − + − < ≤
5 10x≤ ≤ ( ) 16 60R x x= − 10x = ( )R x 100
10 15x< ≤ ( ) 2 26 60R x x x= − + − ( )
26 132 1x = − =× − ( )R x
109
13x = 109
A ( )f x ( )f x
1x 2x ( ) ( ) 1 2
1 2
1
2 2
x xf x f x f
+ + >
( ) 2 1xg x = + ( )g x 1( )g x− 1( )g x−
( )g x 1( )g x− A
( )h x A∈ ( )h x (0, )+∞ 7(2,5), (1) 2h <
( )h x
1
2( ) log ( 1), 1g x x x− = − > 1( )g x A− ∉
6 2, 03 2y xx
= + >+
( ) 2 1xg x = + 2 1xy = + 1y >
( )2log 1x y= − 1y > ( ) ( )1
2log 1g x x− = − ( )1,+∞
( )g x 1 2,x x R∈ 1 2x x≠ 1 2
2 22 2
x x
≠
，
即 ；
对于 ：任取 且 ，则 ，
∵ ，
且 ，
∴ ，∴ ，
即 ；
（3）① ；② .（答案不唯一）
【点睛】本题考查函数与反函数的关系，判断不等式的大小关系，属于中档题.
21.已知函数 （ 是常数）.
（1）若 ，求函数 的值域；
（2）若 为奇函数，求实数 .并证明 的图像始终在 的图像的下方；
( ) ( ) ( ) ( ) 1 2
1 21 2 2
1 2
1 1 2 1 2 1 2 12 2 2
x x
x xx xg x g x g
+ + + − = + + + − +
1 2
1 2 21 2 2 2 22
x x
x x
+ = + − ⋅
1 2
2
2 21 2 2 02
x x = − >
( ) ( ) 1 2
1 2
1 , ( )2 2
x xg x g x g g x A
+ + > ∈
1( )g x−
1 2, (1, )x x ∈ +∞ 1 2x x≠ 1 2
1 21 0, 1 0, 1 02
x xx x
+− > − > − >
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 1 2
1 2 2 1 2 2 2
1 1 log 1 log 1 log 12 2 2 2
x x x xg x g x g x x− − − + + + − = − + − −
( )( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
2 22 2
1 2 1 2
1 2
1 1 11 1log log2 21 12 4
x x x x x x
x x x x x x
− − − + += =
+ + − − + +
( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 21 1 04 4
x x x xx x x x x x
+ −− + + − − + + = >
( ) ( ) ( )
2
1 2
1 2 1 2 1 21 0, 1 04
x xx x x x x x
+− + + > − + + >
( )
( ) ( )
1 2 1 2
2
1 2
1 2
10 1
14
x x x x
x x x x
− + +< <
+ − + +
( ) ( )1 1 1 1 2
1 2
1 02 2
x xg x g x g− − − + + − <
( ) ( )1 1 1 11 2
1 2
1 , ( )2 2
x xg x g x g g x A− − − −+ + < ∉
11 2, 03
x
y x
− = + >
6 2, 03 2y xx
= + >+
2( ) 1 2xf x a
= − + a
1a = ( )f x
( )f x a ( )f x 1( ) 2 1xg x += −
（3）设函数 ，若对任意 ，以 为边长
总可以构成三角形，求 的取值范围.
【答案】（1） （2） ；证明见解析（3）
【解析】
【分析】
（1）把 代入后反解可得 ，解分式不等式即可；
（2）直接利用奇函数的定义代入即可求解，利用作差法即可证明结论；
（3）由题意可得 ，结合 ，利用换元法转
化为 ， ，再结合二次函数的性质即可.
【详解】（1）由题意， （ 是常数），
当 时，此时 ，即 ，整理可得 ，
因 ，则 ，即 ，
解得 ，
故函数 的值域为 .
（2）由题意， 为奇函数，则 ，即 ，
化简得 ，
∵ 恒不 零，
∴ 且 ，解得 ，此时 ，
∴ ，
为
21( ) ( ) 1h x f x
= − 1 2 3, , [0,1]x x x ∈ ( ) ( ) ( )1 2 3, ,h x h x h x
a
( 1,1)− 1a = ( , 3 2) ( 2, )a ∈ −∞ − − ∪ +∞
1a = 12 01
x y
y
− −= >−
min max2 ( ) ( )h x h x> ( )221( ) ( ) 1
2
4
x
f
a
h x x
= −
+
=
( )2
4
t ay
+= [ ]1,2t ∈
2( ) 1 2xf x a
= − + a
1a = 2 1( ) 2 1
x
xf x -= +
2 1
2 1
x
xy
−= +
12 1
x y
y
− −= −
2 0x > 1 01
y
y
− − >− ( )( )1 1 0y y+ − <
1 1y− < <
( )f x ( )1,1−
( )f x ( ) ( ) 0f x f x+ − = 2 21 1 02 2x xa a−− + − =+ +
( ) 2( 1) 2 2 ( 1) 0x xa a−− + + − =
2 2x x−+
1 0a − = 2( 1) 0a − = 1a = 2 1( ) 2 1
x
xf x -= +
( ) 2 1
12 1 2( ) ( ) 2 1 02 1 2 1
x x
x
x xf x g x
+
+−− = − − = − <+ +
即 的图像始终在 的图像的下方.
（3）由题意，得 ， ，
令 ，则 ，其对称轴为 ，
①当 ，即 时，此时 单调递减，
∴ ，即 ，
解得 或 ，
∴ ；
②当 ，即 时，此时 先减后增左端点高，
∴ 即 ，无解；
③当 ，即 时，此时 先减后增右端点高，
∴ 即 ，无解；
④当 ，即 时，此时 单调递增，
∴ 即 ，
解得 或 ，
∴ ；
综上， .
【点睛】本题综合考查了函数的奇偶性，二次函数闭区间最值的求解，体现了分类讨论思想
及转化思想的应用，还考查了一定的逻辑推理的能力，属于中档题.
( )f x 1( ) 2 1xg x += −
min max2 ( ) ( )h x h x> ( )2
21 1( ) 2( ) 1 4
xh x af x
= = + −
2 , [1,2]xt t= ∈ 21 ( ) , [1,2]4y t a t= + ∈ t a= −
2− ≥a 2a ≤ − 21 ( ) , [1,2]4y t a t= + ∈
min max2 ( ) ( )h x h x> 2 21 12 ( 2) ( 1)4 4a a⋅ + > +
3 2a < − − 3 2a > − +
3 2a < − −
3 22 a≤ − < 32 2a− < ≤ − 21 ( ) , [1,2]4y t a t= + ∈
min max2 ( ) ( )h x h x> 212 0 ( 1)4 a⋅ > +
31 2a< − < 3 12 a− < < − 21 ( ) , [1,2]4y t a t= + ∈
min max2 ( ) ( )h x h x> 212 0 ( 2)4 a⋅ > +
1a− ≤ 1a ≥ − 21 ( ) , [1,2]4y t a t= + ∈
min max2 ( ) ( )h x h x> 2 21 12 ( 1) ( 2)4 4a a⋅ + > +
2a < − 2a >
2a >
( ) ( ), 3 2 2,a∈ −∞ − − +∞
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