湖南省长沙市浏阳市浏阳一中、株洲二中等湘东六校2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题 含解析 20页

www.ks5u.com 湖南省湘东六校2019年上学期高二期末考试 数学（文科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设U＝{1，2，5，7，9}，A＝{1，2，5}，B＝{2，5，7}，则下列结论中正确的是（　　）‎ A. A⊆B B. A∩B＝{2}‎ C. A∪B＝{1，2，5，7，9} D. A∩∁UB＝{1}‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出各集合，再利用集合之间的包含关系与基本运算律进行判断。‎ ‎【详解】，，，则，，‎ ‎，，则，故选：D。‎ ‎【点睛】本题考查集合的基本关系与基本运算，考查运算求解能力，属于基础题。‎ ‎2.已知为虚数单位,复数,则的实部与虚部之差为(　　)‎ A. 1 B. 0 C. -2 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用共轭复数的定义求出，确定复数的实部与虚部，再将实部与虚部作差可得出答案。‎ ‎【详解】，，则复数的实部为，虚部为，‎ 因此，的实部与虚部之差为，故选：D。‎ ‎【点睛】本题考查复数的概念与共轭复数的定义，意在考查学生对复数相关概念的理解，属于基础题。‎ ‎3.（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用诱导公式化为，在将表示为，利用诱导公式并结合特殊角的三角函数值可得出结果。‎ ‎【详解】，故选：A。‎ ‎【点睛】本题考查利用诱导公式求值，利用诱导公式求值是，首先利用诱导公式将角化为内的角，然后考查变化后所在的象限，利用诱导公式转化为锐角三角函数值求解，考查运算求解能力，属于基础题。‎ ‎4.某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的水电费开支占总开支的百分比为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图 计算出水、电支出占水、电、交通支出的比例，再将这个比例与饼图中水、电、交通支出占学校一学期总开支比例相乘可得出答案。‎ ‎【详解】由图知，水、电支出占水、电、交通支出比例为，‎ 由图知，水、电、交通支出占学校一个学期总开支的比例为，‎ 因此，该学期的水电费开支占总开支的百分比为，故选：B。‎ ‎【点睛】本题考查饼图与条形统计图，考查频率的计算，意在考查对这些图形性质的理解，属于基础题。‎ ‎5.已知，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用对数函数与指数函数的单调性比较、、与零的大小，得出这三个数的正负，在利用对数函数与指数函数的单调性将三个数中的正数与进行大小比较，可得出、、的大小关系。‎ ‎【详解】函数在上为增函数，则，‎ 函数在上为增函数，，即，‎ 函数在上为增函数，则，即，因此，，故选：C。‎ ‎【点睛】对数函数值大小关系的比较一般有三种方法：‎ ‎①单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先利用换底公式化为同底；‎ ‎②中间值法：即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“”、 “”或其他特殊值进行“大小关系的传递”；‎ ‎③图象法：根据图象观察得出大小关系。‎ ‎6.在空间中,下列命题为真命题的是(　　).‎ A. 对于直线,若则 B. 对任意直线,在平面中必存在一条直线b与之垂直 C. 若直线,b与平面所成的角相等,则∥b D. 若直线,b与平面所成的角互余,则⊥b ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过空间直线与直线的位置关系判断选项的正误即可。‎ ‎【详解】若则与可能平行，相交，异面，所以，A假；‎ 若直线在平面内,则在平面内必可作出其垂线，若直线在平面外，作出直线在平面内的射影，在平面内只要作射影的垂线即可垂直于此直线，B真；‎ 设当、与平面所成角都为45°，则，都有可能，C、D均为假，故选：B。‎ ‎【点睛】本题考查直线与直线的位置关系的判断与应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，属于中等题。‎ ‎7.曲线在点处的切线的倾斜角为(　　)．‎ A. －135° B. 135° C. 45° D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数求出切线的斜率，再根据斜率的值求出切线的倾斜角。‎ ‎【详解】，，，‎ 所以，所求切线的斜率为，因此，曲线在点处的切线的倾斜角为，‎ 故选：B。‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线的倾斜角与斜率之间的关系，利用导数求切线的倾斜角，把握两个基本点；‎ ‎（1）切线的斜率等于导函数在切点处的导数值；‎ ‎（2）当倾斜角不为直角时，直线倾斜角的正切值等于直线的斜率。‎ ‎8.已知向量，，若，则等于（　　）‎ A. 10 B. 16 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用向量垂直的坐标表示求出实数的值，得出向量的坐标，并计算出向量，最后利用向量模的坐标运算得出结果。‎ 详解】，，，则，得，，‎ 则，因此，，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示以及向量模的坐标运算，意在考查学生对这些公式的理解掌握情况，考查运算求解能力，属于中等题。‎ ‎9.要得到函数y＝sin（2x+）的图象，只需将函数y＝cos（2x﹣）的图象上所有点（　　）‎ A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将函数转化为，再结合两函数解析式进行对比，得出结论。‎ ‎【详解】函数 要得到函数的图象，‎ 只需将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，故选：D。‎ ‎【点睛】本题考查函数的图象变化规律，关键在于能利用诱导公式将异名函数化为同名函数，再根据左右平移规律得出结论。‎ ‎10.函数的大致图象为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用，以及函数的极限思想，可以排除错误选项得到正确答案。‎ ‎【详解】，排除，B，C，‎ 当时，，‎ 则时，，，排除A，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法结合函数的极限思想是解决本题的关键。‎ ‎11.设双曲线C: (a,b>0)的一条渐近线与抛物线y2‎ ‎=x的一个交点为A,若点A到直线的距离大于，则双曲线C的离心率e的取值范围是(　　).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点是双曲线的渐近线与抛物线在第一象限的交点，先将渐近线方程与抛物线方程联立，求出交点的横坐标，再利用抛物线的定义求出点横坐标的范围，再由公式并结合，可求出双曲线离心率的取值范围。‎ ‎【详解】设点是双曲线的渐近线与抛物线在第一象限的交点，则，‎ 联立直线与抛物线方程，得，‎ 由于点到直线大于，即，即，，则，‎ ‎，而，所以，，‎ 因此，双曲线的离心率的取值范围是，故选：B。‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率范围的求解，在考查离心率与渐近线之间的关系时，充分利用公式 能起到简化计算的作用，但求双曲线的离心率时，还需注意到隐含条件，‎ 考查运算求解能力，属于难题。‎ ‎12.设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，（例如）则＝（　　）‎ A. 2018 B. 2019 C. 2020 D. 2021‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由已知条件得出，可知数列为等差数列，求出该数列的通项公式，再利用累加法求出数列的通项公式，并得出数列的通项公式，结合的意义求出的值。‎ ‎【详解】，，且，‎ 因此，数列是以为首项，以为公差的等差数列，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，则，‎ 当时，，则，则，即，‎ 因此，，故选：B。‎ ‎【点睛】本题考查数列的综合问题，考查等差数列的定义、累加法求数列的通项、以及新定义问题，考查数列与函数相结合的问题，本题的关键在于数列通项的求解，以及新定义的理解，考查运算分析能力的问题，属于难题。‎ 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.）‎ ‎13.已知函数，则的值为__________‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分段函数的解析式，先求出的值，再将的值代入结合分段函数解析式可得出所求的函数值。‎ ‎【详解】，，，‎ 故答案为：。‎ ‎【点睛】本题考查分段函数求值问题，解决这类问题就是充分利用分段函数解析式，求多层函数值的问题一般就是从内到外逐层计算，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎14.在等差数列中,公差则数列{an}的前9项之和等于_____‎ ‎【答案】90‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用等差数列的性质列方程组求出和的值，并求出和公差的值，再利用等差数列前项和公式可求出数列的前项之和。‎ ‎【详解】等差数列的公差，则，由等差数列的性质可得，‎ 由，可得，，解得，‎ 因此，等差数列的前项和为，故答案为：。‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的求和问题，求解等差数列问题时，一般常用以下两种方法：‎ ‎（1）性质法：序数之和相等，项的和相等；‎ ‎（2）基本量法：将已知条件转化为与首项、公差的方程组，求出这两个基本量，利用这两个基本量计算。‎ 灵活使用这两种方法求解等差数列的问题，能起到简化计算的作用。‎ ‎15.若直线与圆相切，则实数的值为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将圆的方程配成标准形式，确定圆心的坐标和半径长，然后利用圆心到直线的距离等于半径长列出有关的方程，求解出来即可。‎ ‎【详解】圆的标准方程为，圆心的坐标为，半径长为，‎ 由于直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径长，即，‎ 即，解得，故答案为：。‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆相切求参数问题，本题的关键在于将直线与圆相切这一条件等价转化，一般转化为以下两种方式：‎ ‎（1）几何法：转化为圆心到直线的距离等于半径长；‎ ‎（2）代数法：将直线方程与圆的方程联立，利用判别式为零来计算。‎ 一般而言，如果仅是考查直线与圆相切，用第一种方法较为方便。‎ ‎16.在四面体中，，，，当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用当平面时，四面体的体积最大，先利用正弦定理求出的外接圆半径，再利用公式计算出外接球的半径，最后利用球体表面积公式可计算出答案。‎ ‎【详解】∵,该三角形的外接圆半径径为，‎ 当平面时，四面体的体积取最大值，‎ 此时，其外接球的半径为，‎ 因此，四面体的外接球的表面积为．‎ ‎【点睛】本题考查球体表面积的计算，考查三棱锥的外接球，注意条件四面体体积最大转化为直棱锥，另外就是直棱锥外接球半径的计算公式为（其中为底面外接圆的半径，可由正弦定理求出，为垂直于底面的侧棱长），灵活利用公式计算，可避免找球心，起到简化计算的目的。‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.‎ ‎17.新高考最大的特点就是取消文理分科，除语文、数学、外语之外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这科中自由选择三门科目作为选考科目．某研究机构为了了解学生对全文（选择政治、历史、地理）的选择是否与性别有关，从某学校高一年级的1000名学生中随机抽取男生，女生各人进行模拟选科．经统计，选择全文的人数比不选全文的人数少人．‎ ‎（1）估计在男生中，选择全文的概率.‎ ‎（2）请完成下面的列联表；并估计有多大把握认为选择全文与性别有关，并说明理由；‎ 附：，其中．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出男生的总数，然后再利用古典概型的概率公式计算出事件“选择全文的男生”的概率；‎ ‎（2）列出列联表，计算的值，利用临界值表找出犯错误的概率，于此可下结论。‎ ‎【详解】（1）由题中数据可知，男生总共25人，选择全文的5人，故选择全文的概率为 ‎ ‎（2）‎ 选择全文 不选择全文 全计 男生 ‎5‎ ‎20‎ ‎25‎ 女生 ‎15‎ ‎10‎ ‎25‎ 合计 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 因为，‎ 所以至少有99.5%的把握认为选择全文与性别有关。‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验的思想，考查列联表的应用，意在考查学生对独立性检验思想的理解与应用，属于中等题。‎ ‎18.已知数列的前项和为，，数列为正项等比数列，． ‎ ‎（1）求数列、的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前项和为．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，，当时，，并检验是否满足，于此得出数列的通项公式，根据条件求出、，再根据等比数列的通项公式可可求出等比数列的通项公式；‎ ‎（2）先得出数列的通项公式，裂项，然后利用裂项法求数列的前项和。‎ ‎【详解】（1）①当时，；‎ ‎②当时，。‎ 时也适合上式，所以，。‎ 由题意可得，所以，，，‎ 设正项等比数列的公比为（），则，所以 故；‎ ‎（2）由（1）可求得，‎ ‎。‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式、裂项法求和，再利用与的关系求通项时，一般有以下三步：‎ ‎（1）先利用时，求出数列的初始项的值；‎ ‎（2）令，将两式作差得出的通项或的递推公式，再选择合适的方法求出；‎ ‎（3）就时数列的初始项的值是否满足（2）中的通项公式进行检验。‎ 结合以上三步得出数列的通项公式。‎ ‎19.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知,‎ ‎（1）求的值，‎ ‎(2)若a=3,，求的面积.‎ ‎【答案】（1）3；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在等式利用边化角的思想，并结合两角和的正弦公式、三角形内角和定理以及诱导公式得出，再利用角化边的思想得出的值；‎ ‎（2）由再对角使用余弦定理求出、的值，再由同角三角函数的基本关系求出的值，最后利用三角形的面积公式可得出答案。‎ ‎【详解】（1）由，由正弦定理得，‎ 化简得，由；‎ ‎（2）由，且，解得，，‎ 又由，可解得，所以。‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理解三角形、三角形面积公式的应用，在利用边角互化思想来解三角形类型的问题时，一般是优先边化角的思想，即在等式、分式或不等式，当边的次数一致时，可将边化为角的正弦值，充分结合两角和的正余弦公式、内角和定理以及诱导公式来计算，可起到简化计算的作用。‎ ‎20.如图，在直三棱柱中，D为AC的中点.‎ ‎（1）求证：‎ ‎（2）若,求所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）连接交于点，连接，利用平行四边形对角线互相平分得出点为的中点，利用三角形中位线的性质得出，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出结论；‎ ‎（2）连接，过点作交与点，证明出平面，于是找出为与平面所成的角，再设，计算出，，然后利用锐角三角函数求出答案。‎ ‎【详解】（1）连接交于点，连接，则为的中点，又为的中点，‎ ‎，又面，面，故面；‎ ‎（2）连接，过点作交与点，‎ 由于三棱柱为直三棱柱，故面，面，故，‎ 又，为的中点，，‎ 又，、面，面，‎ 面，故，‎ 又，，平面，‎ 为在平面内的摄影，故为与平面所成的角，‎ 设，则，，。‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行以及直线与平面所成角的计算，利用定义求平面所成的角，需找到相应的线面垂直，按照“一作”、“二证”、“三计算”三个步骤进行，最后在计算所求角时，需计算出三角形的各条边长，利用正弦、余弦定理或在直角三角形中利用锐角三角函数进行计算。‎ ‎21.已知动点G(x,y)满足 ‎（1）求动点G的轨迹C的方程；‎ ‎（2）过点Q(1,1)作直线L与曲线交于不同的两点,且线段中点恰好为Q.求的面积；‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由椭圆的定义得知轨迹为椭圆，并利用椭圆定义求出，从已知条件中得出，并求出值，结合椭圆焦点位置得出椭圆的标准方程；‎ ‎（2）由已知条件得知直线的斜率存在，并设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由为的中点求出的值，从而得出直线的方程，再利用弦长公式求出，由点到直线的距离公式计算出原点到直线的距离，再利用三角形的面积公式可求出的面积。‎ ‎【详解】（1）由动点满足可知，‎ 动点的轨迹是以和为焦点，长轴长为的椭圆，其方程为；‎ ‎（2）由于直线与曲线相交所得线段中点恰好为可知，‎ 直线的斜率一定存在，设直线的方程为，‎ 联立，消去可得，‎ 所以， ‎ 又线段中点的横坐标为1，，解得， ‎ ‎， 直线的方程为，‎ 弦长，原点到直线的距离为， ‎ ‎。‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系，考查椭圆方程的求法，韦达定理的应用，以及弦长、三角形面积的计算，对于直线与圆锥曲线的综合问题，通常将直线方程与圆锥曲线方程联立，应用韦达定理进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好地考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力以及分析问题解决问题的能力等。‎ ‎22.已知 ‎（1）求函数在极值.‎ ‎（2）证明：在有且仅有一个零点.‎ ‎【答案】（1），无极小值；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导，并求出该函数的极值点，分析函数在极值点左右两边的单调性，确定极值的属性，然后将极值点代入函数的解析式可得出答案；‎ ‎（2）首先考查，利用导数研究函数在该区间上的单调性，并确定和的正负，结合零点存在定理来得出函数的零点个数；‎ 其次考查，利用放缩法得出可知函数在该区间上不存在零点。‎ 结合上述两个步骤证明结论。‎ ‎【详解】（1），‎ 令，得，又，故.‎ 令，得；令，得。‎ 所以，函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 故；无极小值.‎ ‎（2）当时，，，于是，‎ 此时，函数单调递减，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由函数零点存在性定理知，函数在上有且只有一个零点。‎ 当上，。‎ 综上所述，函数有且只有个零点。‎ ‎【点睛】本题考查函数的极值与导数、函数的零点个数问题，一般而言，对于不带参数的函数零点个数问题，要利用导数研究函数的单调性，并结合零点存在定理确定零点个数，是解决函数零点个数的常用方法，考查推理论证能力以及分析问题的能力，属于难题。‎ ‎ ‎