高考数学复习专题练习第6讲 双曲线 10页

第6讲 双曲线 一、选择题 ‎1．若动点P到F1(－5,0)与到F2(5,0)的距离的差为±8，则P点的轨迹方程是(　　)‎ A.＋＝1 B.－＝1‎ C.＋＝1 D.－＝1‎ 解析 由题意知P点的轨迹是双曲线．‎ 因为c＝5，a＝4，所以b2＝c2－a2＝25－16＝9.‎ 因为双曲线的焦点在x轴上，‎ 所以P点的轨迹方程为－＝1.‎ 答案 D ‎2．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为 (　　)．‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析　不妨设a>0，b>0，c＝.‎ 据题意，‎2c＝10，∴c＝5. ①‎ 双曲线的渐近线方程为y＝±x，且P(2,1)在C的渐近线上，∴1＝. ②‎ 由①②解得b2＝5，a2＝20，故正确选项为A.‎ 答案　A ‎3．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为 (　　)．‎ A．－2 B．－ C．1 D．0‎ 解析　设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，则有＝x2－1，y2＝3(x2－1)，·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝42－，其中x≥1.因此，当x＝1时，·取得最小值－2，选A.‎ 答案　A ‎4.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是 ‎(　　)．‎ A．3 B．‎2 ‎ C. D. 解析　设双曲线的方程为－＝1，椭圆的方程为＋＝1，由于M，O，N将椭圆长轴四等分，所以a2＝‎2a1，又e1＝，e2＝，所以＝＝2.‎ 答案　B ‎5．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C．2 D．3‎ 解析 不妨设双曲线的焦点在x轴上(焦点在y轴上的离心率与焦点在x轴上的离心率一样)，方程为－＝1(a＞0，b＞0)，设F(c,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由l过点F且与对称轴垂直，可得x1＝x2＝c，将其代入双曲线的方程得|y1|＝|y2|＝，故|AB|＝，依题意，|AB|＝‎2a×2＝‎4a，∴＝‎4a，化简整理得b2＝‎2a2，解得e＝.‎ 答案 B ‎6．已知双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 (　　)．‎ A. B．‎4 ‎ C．3 D．5‎ 解析　易求得抛物线y2＝12x的焦点为(3,0)，故双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，即c＝3，故32＝4＋b2，∴b2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为＝.‎ 答案　A 二、填空题 ‎7．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．‎ 解析　由题意得m＞0，∴a＝，b＝.‎ ‎∴c＝，由e＝＝，得＝5，‎ 解得m＝2.‎ 答案　2‎ ‎8．已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为________．‎ 解析　由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF<即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝，取点A，则|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<，即1，故10，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，|PF1|＝8，|PF2|＝6.‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)设过双曲线左焦点F1的直线与双曲线的两渐近线交于A，B两点，且＝2，求此直线方程．‎ 解　(1)由题意知，在Rt△PF‎1F2中，‎ ‎|F‎1F2|＝，‎ 即‎2c＝＝10，所以c＝5.‎ 由椭圆的定义，知‎2a＝|PF1|－|PF2|＝8－6＝2，即a＝1.‎ 所以b2＝c2－a2＝24，故双曲线的方程为x2－＝1.‎ ‎(2)左焦点为F1(－5,0)，两渐近线方程为y＝±2x.‎ 由题意得过左焦点的该直线的斜率存在．‎ 设过左焦点的直线方程为y＝k(x＋5)，则与两渐近线的交点为和.‎ 由＝2，得 ＝2或者 ＝2，‎ 解得k＝±.‎ 故直线方程为y＝±(x＋5)．‎ ‎13． P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.‎ ‎(1)求双曲线的离心率；‎ ‎(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．‎ 解　(1)由点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线－＝1上，有－＝1.‎ 由题意有·＝，‎ 可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝＝.‎ ‎(2)联立得4x2－10cx＋35b2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则 ①‎ 设＝(x3，y3)，＝λ＋，即 又C为双曲线上一点，即x－5y＝5b2，有 ‎(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.‎ 化简得λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2. ②‎ 又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，‎ 所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2.‎ 由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋‎5c(x1＋x2)－‎5c2＝10b2，‎ ‎②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.‎ ‎14．如图所示，已知双曲线－＝1(b＞a＞0)且a∈[1,2]，它的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为A、B.过F2作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，交双曲线于P，Q两点．‎ ‎(1)求证：直线PQ与双曲线的一条渐近线垂直；‎ ‎(2)若M为PF2的中点，O为坐标原点，|OM|－|MT|＝1，|PQ|＝λ|AB|，求实数λ的取值范围．[来源:学科网ZXXK]‎ 解 (1)证明：双曲线－＝1(b＞a＞0)的渐近线为y＝±x，设直线PQ的方程为y＝k(x－c)(不妨设k＜0)，由于直线PQ与圆x2＋y2＝a2相切，‎ ‎∴＝a，即k2＝，直线PQ的斜率k＝－.‎ 因为第一、三象限的渐近线的斜率为，‎ ‎∴－·＝－1.‎ 所以直线PQ与双曲线的一条渐近线垂直．‎ ‎(2)由 得(b2－a2k2)x2＋‎2a2k2cx－a2k‎2c2－a2b2＝0.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 则 所以|PQ|＝ ‎＝＝.‎ 因为|OM|＝|PF1|，|F‎2M|＝|PF2|，‎ ‎∴|F‎2M|－|OM|＝(|PF2|－|PF1|)＝a，‎ ‎|OM|－|MT|＝1，‎ 代入上式得|F‎2M|－|MT|＝a＋1.‎ 又|F‎2M|－|MT|＝|F2T|＝＝b，所以b＝a＋1.‎ 因为|AB|＝‎2a，|PQ|＝，‎ λ＝＝＝＋1.‎ 令t＝‎2a＋1，则a＝，t∈[3,5]，‎ 所以λ＝＋1，‎ 设y＝t＋，‎ 因为t＋在[3,5]上为增函数，‎ 所以λ∈.‎