北京市北京师范大学附属中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题 含解析 13页

北京师大附中 2018-2019 学年下学期高二年级期末考试 数学试卷 AP 一、选择题。 1.已知条件 p:x>2,条件 q:x>0,则 p 是 q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 将两个条件相互推导，根据能否推导的情况确定正确选项. 【详解】由于 p q ，  q p¿ 所以 p 是 q 的充分不必要条件，故选 A. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题. 2.“ a b 是“直线 2y x  与圆 2 2( ) ( ) 1x a y b    相切的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直线和圆相切的等价条件求出 a，b 的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断 即可． 【详解】若直线 2y x  与圆 2 2( ) ( ) 1x a y b    ， 则圆心 ,a b 到直线 2 0x y   得距离 2 1 2 a b d     ， 即 2 2a b   ，即 2 2a b   或 2 2a b    ， 即 0a b  或 2 2a b   ， 即 a b 是“直线 2y x  与圆 2 2( ) ( ) 1x a y b    相切的充分不必要条件， 故选：A． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和圆相切的等价条件是解决本 题的关键． 3.设  , 1,a b  ，则“ a b ”是“ log 1ab  ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可． 【详解】∵a，b ∈ （1，+∞）， ∴a＞b ⇒ logab＜1， logab＜1 ⇒ a＞b， ∴a＞b 是 logab＜1 的充分必要条件， 故选：C． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键． 4.设 m R 且 0m  ，“不等式 4+ 4m m  ”成立的一个充分不必要条件是 A. 0m  B. 1m > C. 2m  D. 2m  【答案】C 【解析】 【分析】 根据基本不等式的性质，结合充分不必要条件的定义进行判断即可． 【详解】当 m＜0 时，不等式 m+ 4 m ＞4 不成立， 当 m＞0 时，m+ 4 m ≥2 4m m  =4，当且仅当 m= 4 m ，即 m=2 时，取等号， A．当 m=2 时，满足 m＞0，但不等式 m+ 4 m ＞4 不成立，不是充分条件， B．当 m=2 时，满足 m＞1，但不等式 m+ 4 m ＞4 不成立，不是充分条件， C．当 m＞2 时，不等式 m+ 4 m ＞4 成立，反之不一定成立，是充分不必要条件，满足条件． D．当 m=2 时，满足 m≥2，但不等式 m+ 4 m ＞4 不成立，不是充分条件， 故选：C． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据基本不等式的性质是解决本题的关 键． 5.若集合    20, , 1,2A m B  则“ 1m  ”是“ {0,1,2}A B  ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 由题得 {0,1,2A B  }所以 1m   ，所以“ 1m  ”是“  0,1,2A B  ”的 充分不必要条件，选 A. 6.设 m  ， ，  是两个不同的平面，则“ ∥ ”是“ m  ”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 若 m  ， ∥ ，则 m  ；反之，若 m  ， m  ，则 ∥ 或 与  相交． 所以“ ∥ ”是“ m  ”的充分不必要条件．选 A ． 7.已知 (1, 1)a x  ， ( 1,3)b x  ，则 2x  是 / /a b 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 已 知  1, 1a x  ，  1,3b x  。 根 据 向 量 平 行 的 坐 标 表 示 得 到 2 2/ / 1 3 4, 2.a b x x x       故 2x  是 / /a b 的充分不必要条件。 故答案为：A。 8.在空间中，“直线 a ，b 没有公共点”是“直线 a ，b 互为异面直线”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 直线 a ，b 没有公共点， 则直线 a ，b 互为异面直线或平行， 但直线 a 、b 互为异面直线一定可推出， 直线 a ，b 没有公共点， 故选 B ． 点睛：充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若 p 则 q”、“若 q则 p ”的真假．并注意和图示相结合，例如 “ p ⇒ q”为真，则 p 是 q的充分条件． 2．等价法：利用 p ⇒ q与非 q ⇒ 非 p ， q ⇒ p 与非 p ⇒ 非 q， p ⇔ q与非 q ⇔ 非 p 的等价关 系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 3．集合法：若 A ⊆ B ，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A ＝ B ，则 A 是 B 的 充要条件． 9.“ 0x  ”是“ 2 0x x  ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 2 0x x  0 1x x   或 ,所以“ 0x  ”是“ 2 0x x  ”的充分不必要条件,选 A. 10.命题“ 0x  ，都有 2 0x x  ”的否定是（ ） A. 0x  ，使得 2 0x x  B. 0x  ，使得 2 0x x  C. 0x  ，都有 2 0x x  D. 0x  ，都有 2 0x x  【答案】B 【解析】 全称命题的否定为特称命题，据此可得： 命题“ 0x  ，都有 2 0x x  ”的否定是 0x  ，使得 2 0x x  . 本题选择 B 选项. 11.给出下列命题: ①一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真; ②若 p q 为假命题，则 p,q 均为假命题; ③命题“若 x2 -3x+2=0，则 x=2”的否命题为“若 x2 -3x+2=0,则 x≠2”; ④“若 a2+b2=0，则 a, b 全为 0”的逆否命题是“若 a, b 全不为 0，则 a2+b2≠0”其中正确的命题 序号是( ) A. ① B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据否命题和逆命题真假性关系，判断①是否正确.根据且命题的真假，与原命题真假性的 关系，判断②是否正确.根据否命题的知识判断③是否正确.根据逆否命题的知识判断④是否 正确. 【详解】对于①，由于否命题和逆命题互为逆否命题，真假性相同，故①正确.对于②，若 p q 为假命题，则 ,p q 至少有一个为假命题，故②错误.对于③，原命题的否命题为“若 2 3 2 0x x   则 2x  ”，所以③错误.对于④，原命题的逆否命题为“若 ,a b 不全为 0 ， 则 2 2 0a b  ”，故④错误.综上所述，正确命题的序号为①，故选 A. 【点睛】本小题主要考查否命题和逆命题真假性关系，考查且命题和原命题真假性关系，考 查否命题和逆否命题的知识，属于基础题. 12.用数学归纳法证明“l+2+3+…+n3= 6 3 2 n n ，n∈N*”，则当 n=k+1 时，应当在 n=k 时对 应的等式左边加上（ ） A. k3+1 B. （k3+1）+（k3+2）+…+（k+1）3 C. （k+1）3 D. 6 3( 1) ( 1) 2 k k   【答案】B 【解析】 分析：当项数从 n k 到 1n k  时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。 详解：当 n k 时，等式左边 31 2 3 ....k    当 1n k  时，等式左边 3 3 3 3 31 2 3 .... ( 1) ( 2)( 3)...( 1)k k k k k          所以增加的项为 3 3 3 3( 1) ( 2)( 3)...( 1)k k k k     所以选 B 点睛：本题考查了数学归纳法的应用，当项数变化时分析出增加的项，属于简单题。 13. 下面几种推理是演绎推理的是（ ） A. 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可以导电 B. 猜想数列 5,7,9,11，…的通项公式为 C. 由正三角形的性质得出正四面体的性质 D. 半径为 a 的圆的面积 ，则单位圆的面积 【答案】D 【解析】 由演绎推理的定义可知它的推理为由一般到特殊，与归纳推理相反. 分析可知：D 选项是演绎推理.而 A,B 为归纳推理，C 为类比推理. 考点：演绎推理． 14.用反证法证明命题：“若 , ,a b N ab 能被 3 整除，那么 ,a b 中至少有一个能被 3 整除” 时，假设应为（ ） A. ,a b 都能被 3 整除 B. ,a b 都不能被 3 整除 C. ,a b 不都能被 3 整除 D. a 不能被 3 整除 【答案】B 【解析】 【分析】 根据反证法的步骤和命题的否定，直接对“ ,a b 中至少有一个能被 3 整除”的进行否定即可. 【详解】因为“至少有 n 个”的否定为“至多有 n-1 个”. “ ,a b 中至少有一个能被 3 整除”的否定是：“ ,a b 都不能被 3 整除”， 故应假设 ,a b 都不能被 3 整除. 故本题答案为 B. 【点睛】反证法即首先假设命题反面成立，即否定结论，再从假设出发，经过推理得到矛盾， 得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立.故用反证法证明命题时，应先假设命题 的否定成立. 反证法的适用范围是：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、 “无限”、“唯一等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不 容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少. 15.数学老师给出一个定义在 R 上的函数 f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的 一条性质: 甲:在(-∞,0)上函数单调递减; 乙:在[0,+∞] 上函数单调递增; 丙:函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称； 丁: f(0)不是函数的最小值． 老师说:你们四个同学中恰好有三个人说的正确，则说法错误的同学是( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】 先假设四个人中有两个人正确，由此推出矛盾，由此得到假设不成立，进而判断出说法错误 的同学. 【详解】先假设甲、乙正确，由此判断出丙、丁错误，与已知矛盾，由此判断甲、乙两人有 一人说法错误，丙、丁正确.而乙、丙说法矛盾，由此确定乙说法错误. 【点睛】本小题主要考查逻辑推理能力，涉及到函数性质，包括单调性、对称性和最值，属 于基础题. 二、填空题。 16.能说明“若 a﹥b，则 1 1 a b  ”为假命题的一组 a，b 的值依次为_________. 【答案】1  , 1 （答案不唯一） 【解析】 分析：举出一个反例即可． 详解：当 2 1a b    时， 1 1 1 12a b     不成立， 即可填 2, 1 ． 点睛：本题考查不等式的性质等知识，意在考查学生的数学思维能力． 17.若命题 : 2p x  且 3y  ，则 p 为__________． 【答案】 2x  或 3y  【解析】 p 且 q的否定为 p 或 q ，所以“ 2x  且 3y  ”的否定为“ 2x  或 3y  ”，故答案为 2x  或 3.y  18.设 A 是 B 的充分不必要条件，C 是 B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则 D 是 A 的__________条件．（填充分不必要、必要不充分，充分必要） 【答案】必要不充分 【解析】 因为 A 是 B 的充分不必要条件，所以 A B ；因为C 是 B 的必要不充分条件，所以 B C ； 所以 A C ,又因为 D 是C 的充要条件， C D  ，∴ A D ，∴ D 是 A 的必要不充分 条件，故答案为必要不充分. 19.若命题“ x R  使  2 1 1 0x a x    ”是假命题，则实数 a 的取值范围为_____， 【答案】 1,3 【解析】 【分析】 原命题等价于命题“ 2R, ( 1) 1 0x x a x      ，”是真命题 【详解】由题意得若命题“ 2R, ( 1) 1 0x x a x      ”是假命题， 则命题“ 2R, ( 1) 1 0x x a x      ，”是真命题， 则需  20 1 4 0 1 3a a          ,故本题正确答案为 1,3 。 【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题。属于基础题。 20.观察式子 2 2 2 1 3 1 1 51 ,12 2 2 3 3      ， 2 2 2 1 1 1 71 2 3 4 4     ……，则可归纳出 2 2 2 1 1 11 2 3 ( 1)n     ____． 【答案】 2 1 1 n n   【解析】 分析：根据已知中，分析左边式子中的数与右边式子中的数之间的关系，由此可以写出结论. 详解：根据题意，每个不等式的右边的分母是 1n  ，不等号的右边的分子是 2 1n + ， 所以 2 2 2 2 1 1 1 1 2 11 2 3 4 ( 1) 1 n n n       ，所以答案是 2 1 1 n n   . 点睛：该题考查的是有关归纳推理的问题，在解题的过程中，需要认真分析式子中出现的量 之间的关系，以及对应的式子的特点，得出结果. 三、解答题:请写出解题步骤。 21.在数列{an}中， a1=1, 1 3 1 n n n aa a   ，n=1，2，3．．． (1)计算 a2, a3, a4 的值，并猜想数列{an}的通项公式． (2)用数学归纳法证明你的猜想． 【答案】(1) 2 3 4 1 1 1, ,4 7 10a a a   ； 1 3 2na n   (2)见证明 【解析】 【分析】 （1）先根据递推关系，依次求得 2 3 4, ,a a a 的值，并猜想通项公式为 1 3 2na n   .（2）根据 数学归纳法证明的过程，对猜想进行证明. 【详解】(1) ∵ 1 11, 3 1 n n n aa a a   ， ∴ 31 2 2 3 4 1 2 3 11 1 1 174, ,3 33 1 4 3 1 7 3 1 101 14 7 aa aa a aa a a            因此可猜想: 1 3 2na n   (2)当 n= 1 时，a1=1,等式成立， 假设 n= k 时，等式成立，即 1 3 2ka k   , 则当 n=k+1 时， 1 1 1 13 2 13 1 3 1 3( 1) 23 13 2 k k k a ka a k k k          即当 n=k+1 时，等式也成立， 综上所述，对任意自然数 n N ， 1 3 2na n   . 【点睛】本小题主要考查根据数列递推关系猜想数列通项公式，考查数学归纳法证明，属于 基础题. 22.用反证法证明: 7, 9, 11 不可能成等差数列 【答案】见证明 【解析】 【分析】 先假设 7, 9, 11 成等差数列，根据等差中项列方程，由此推导出矛盾，由此推导出假设 不成立，原命题成立. 【详解】假设 7, 9, 11 成等差数列， 则有 2 9 7 11  2 2(2 9) ( 7 11)   36 18 2 77   9 77  81 77  但最后一个式子显然是错的，所以 7, 9, 11 不可能成等差数列。 【点睛】本小题主要考查利用反证法证明命题，考查等差中项的性质，属于基础题. 23.用分析法证明： 6 7 2 2 5 ＞ ． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 用分析法证明即可得出结论成立. 【详解】要证 6 7 2 2 5   成立， 只需证   2 2 6 7 2 2 5   成立； 即证13 2 42 13 2 40   成立； 即证 42 40 成立； 即证 42 40 成立， 因为 42 40 成立， 所以原不等式成立. 【点睛】本题主要考查不等式的证明，分析法是一种常用的方法，逐步推出结论的充分条件， 直到得到显然成立的结论即可，属于基础题型.