2019-2020学年广西壮族自治区田阳高中高二12月月考数学（理）试题 9页

‎2019-2020学年田阳高中高二理科数学12月月考卷 考试时间：120分钟；‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前考，生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。‎ ‎2．请将答案正确填写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ 一.选择题（本题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。‎ ‎1．设复数满足，则复平面内表示的点位于（）‎ A．第一象限 B．第四象限 C．第三象限 D．第二象限 ‎2．从学号为1～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（　　）‎ A．3，11，19，27，35 B．5，15，25，35，46‎ C．2，12，22，32，42 D．4，11，18，25，32‎ ‎3．命题；命题．则（ ）‎ A．“或”为假 B．“且”为真 C． 真假 D．假真 ‎4．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，设事件为取到的两个数之和为偶数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．命题“，x2∈N*且x2≥x”的否定形式是（　　）‎ A．,或 B．,或 C．,且 D．,且 ‎6．“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条 D．既不充分也不必要条件 ‎7．设函数，若，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．函数在区间上的最大值、最小值分别为、，则（ ）‎ A．2 B．4 C．20 D．18‎ ‎9．执行如图所示的程序框图,若输入n的值为4,则输出s的值为（ ）‎ A．4 B．5 C．7 D．10‎ ‎10．函数的图象大致是（ ）‎ A．B． C． D．‎ ‎11．函数在处的切线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．在区间上随机取一个数则的概率是______.‎ ‎14． _____. ‎ ‎15．一动点P在抛物线上运动，则它与定点Q（3,0）的连线中点M的轨迹方程是____‎ ‎16．在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是____________． ‎ 三、简答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。‎ ‎17．（10分）已知函数,当x = -1时取得极大值7，当x = 3时 取得极小值；‎ ‎(1)求的值； （2）求的极小值。‎ ‎ ‎ ‎18．(12分)某学校用简单随机抽样方法抽取了30名同学，对其每月平均课外阅读时间（单位：小时）进行调查，茎叶图如图：‎ 若将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”.‎ ‎（1）将频率视为概率，估计该校900名学生中“读书迷”有多少人？‎ ‎（2）从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人，参加读书日宣传活动.‎ ‎（i）共有多少种不同的抽取方法？‎ ‎（ii）求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过2小时的概率.‎ ‎19．（12分）2015年习总书记在贵州调研时强调要科学谋划好“十三五”时期精准扶贫开发工作，确保贫困人口到2020年如期脱贫。某农科所实地考察，研究发现某贫困村适合种植A、B两种药材，可以通过种植这两种药材脱贫。通过大量考察研究得到如下统计数据：药材A的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：‎ 药材B的收购价格始终为20元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：‎ ‎（1）若药材A的单价（单位：元/公斤）与年份编号具有线性相关关系，请求出关于的回归直线方程，并估计2020年药材A的单价；‎ ‎（2）用上述频率分布直方图估计药材B的平均亩产量，若不考虑其他因素，试判断2020年该村应种植药材A还是药材B？并说明理由.‎ 附： ，‎ 20． ‎（12分）如图，在四棱锥中，已知平面，为等边三角形，，，与平面所成角的正切值为. ‎ ‎(Ⅰ)证明：平面；‎ ‎(Ⅱ)若是的中点，求二面角的余弦值.‎ ‎21．（12分）已知函数.‎ ‎（1）当时，求f(x)的单调区间；‎ ‎（2）若对，使成立，求实数的取值范围 (其中是自然对数的底数)．‎ ‎22．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，且的周长为 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆分别交于两点，且，试问点到直线的距离是否为定值，证明你的结论．‎ ‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ 5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B C D C A A D C C D D A ‎ ‎ ‎ ‎ ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎11．切线与一条渐近线平行 ‎ ‎ ‎12．令，则，‎ 因为当时，，所以，‎ 即在上单调递增；‎ 又为奇函数，所以，因此，‎ 故为偶函数，所以在上单调递减；‎ 因为，所以，故；作出简图如下：‎ 由图像可得， 的解集为.‎ ‎17∵f(x) = x3+ ax2+bx + c ,∴f′ (x) = 3x2+2ax +b （2分）‎ ‎∵当x =- 1 时函数取得极大值7，当x = 3时取得极小值 ‎∴x =- 1 和x = 3是方程f′ (x)=0的两根，有 ‎∴， ∴f(x) = x3– 3x2– 9x + c（6分）‎ ‎∵当x = -1时，函数取极大值7，∴( - 1 )3– 3( - 1 )2– 9( - 1) + c = 7,∴c = 2（9分）‎ 此时函数f(x)的极小值为：f（3）= 33- 3×32- 9×3×2 =- 25（12分）‎ ‎18．解：（Ⅰ）设该校900名学生中“读书迷”有人，则，解得.‎ 所以该校900名学生中“读书迷”约有210人. ‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）设抽取的男“读书迷”为，， ，抽取的女“读书迷”为 ‎，，， (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，‎ 则从7名“读书迷”中随机抽取男、女读书迷各1人的所有基本事件为：‎ ‎，，，，‎ ‎，，，，‎ ‎，，，，所以共有12种不同的抽取方法． ‎ ‎（ⅱ）设A表示事件“抽取的男、女两位读书迷月均读书时间相差不超过2小时”，‎ 则事件A包含，，，，，‎ ‎6个基本事件， 所以所求概率． ‎ ‎19．解:(1),‎ ‎,当时，‎ ‎(2)利用概率和为1得到430—450频率/组距为0.005‎ B药材的亩产量的平均值为:‎ 故A药材产值为B药材产值为。应该种植A种药材 ‎20．（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）.‎ ‎(Ⅰ)证明：因为平面，平面，‎ 所以,又,,所以平面，‎ 所以为与平面所成的角．‎ 在中，，所以 所以在中，,.‎ 又，所以在底面中，,‎ 又平面，平面，所以平面．‎ ‎(Ⅱ)解：取的中点，连接，则,由(Ⅰ)知，‎ 所以，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系.‎ 则， ，， ‎ 所以，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，即，得，‎ 令，则．‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，即，得，‎ 令，则．所以 ‎，‎ 由图形可得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．‎ ‎21．（解(1),‎ 的定义域为． ,,.‎ 所以的单调递增区间为,单调递减区间为．‎ ‎(2) ,,令 ‎,由 当时,,在[,1]上单调递减 当时,,在[1,e]上单调递增,‎ ‎,,,所以g(x)在[,e]上的最大值为 所以,所以实数的取值范围为 ‎22．解：（1）由椭圆定义知：的周长为： ‎ 由椭圆离心率： ，椭圆的方程：‎ ‎（2）由题意，直线斜率存在，直线的方程为： ‎ ‎ 设， ‎ 联立方程，消去得：‎ 由已知，且，‎ 由，即得：‎ 即：‎ ‎，整理得：，满足 点到直线的距离：为定值