【百强校首发】湖南省长郡中学2020届高三下学期第四次适应性考试数学（理）试题 7页

绝密★启用前 长郡中学2020届高三适应性考试（四）‎ 数学（理科）试卷 本试题卷共8页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎5、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．要完成下列三项调查：①某商城从10台同款平板电脑中抽取4台作为商城促销的奖品；②某酒厂从某白酒生产线上抽取40瓶进行塑化剂检测：③某市从老、中、青三代市民中抽取100人调查他们网络购物的情况．适合采用的抽样方法依次为（ ）‎ A．①用简单随机抽样：②③均用系统抽样 B．①用抽签法；②③均用系统抽样 C．①用抽签法：②用分层抽样：③用系统抽样 D．①用随机数表法；②用系统抽样；③用分层抽样 ‎3．已知是虚数单位，复数，给出下列命题：；的虚部为；在复平面内对应的点位于第四象限；是纯虚数．其中是假命题的为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学界做出了重大贡献，其中在1636年发现了：若是质数，且互质，那么的次方除以的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理．依此定理若在数集中任取两个数，其中一个作为，另一个作为，则所取两个数不符合费马小定理的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知某几何体的正视图和侧视图如图1所示，其俯视图水平放置的直观图如图2中粗线部分所示，其中 其中四边形为平行四边形，，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：已知三人分配奖金的衰分比为20%，若分得奖金1000元，则所分得奖金分别为800元、640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的衰分比分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则衰分比与丁所获得的奖金分别为（ ）‎ A．20%，14580元 B．10%，14580元 C．20%，10800元 D．10%，10800元 ‎7．在二项式的展开式中，所有项的系数之和记为，第项的系数记为，若，则的值为（ ）‎ A．2或-4 B．2 C．2或-2 D．-4‎ ‎8．已知两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于，当时，函数取得最小值，将的图象向左平移个单位得到一个奇函数，则的最小正值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做 的“稳定区间”．已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，其准线与双曲线交于点，点在轴上．若最大，则点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．若，则的大小关系是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12．如图，正方体的棱长为分别是棱，的中点，过点的平面分别与棱，交于点，设．‎ 给出以下四个命题：‎ ‎①平面与平面所成角的最大值为45°；‎ ‎②四边形的面积的最小值为；‎ ‎③四棱锥的体积为；‎ ‎④点到平面的距离的最大值为．‎ 其中命题正确的序号为（ ）‎ A．②③④ B．②③ C．①②④ D．③④‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知向量，，且与向量的夹角为90°，则向量在向量方向上的投影为________.‎ ‎14．设；，若是的必要不充分条件，则的取值范围为________.‎ ‎15．正整数数列满足，已知，的前6项和的最大值为，把的所有可能取值从小到大排成一个新数列，所有项和为，则________.‎ ‎16．母线长为，底面半径为的圆锥内有一球，与圆锥的侧面、底面都相切，现放入一些小球，小球与圆锥底面、侧面、球都相切，这样的小球最多可放入_______个．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．已知数列是各项均为正数的等比数列，，，数列满足，且与的等差中项是．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，的前项和为，求．‎ ‎18．以昆明、玉溪为中心的滇中地区，冬无严寒、夏无酷暑，世界上主要的鲜切花品种在这里都能实现周年规模化生产．某鲜花批发店每天早晨以每支2元的价格从鲜切花生产基地购入某种玫瑰，经过保鲜加工后全部装箱（每箱500支，平均每支玫瑰的保鲜加工成本为1元），然后以每箱2000元的价格整箱出售．由于鲜花的保鲜特点，制定了如下促销策略：若每天下午3点以前所购进的玫瑰没有售完，则对未售出的玫瑰以每箱1200元的价格降价处理．根据经验，降价后能够把剩余玫瑰全部处理完毕，且当天不再购进该种玫瑰，由于库房限制每天最多加工6箱．‎ ‎（Ⅰ）若某天该鲜花批发店购入并加工了6箱该种玫瑰，在下午3点以前售出4箱，且被6位不同的顾客购买．现从这6位顾客中随机选取2人赠送优惠卡，则恰好一位是以2000元价格购买的顾客，另一位是以1200元价格购买的顾客的概率是多少？‎ ‎（Ⅱ）该鲜花批发店统计了100天内该种玫瑰在每天下午3点以前的销售量（单位：箱），统计结果如下表所示（视频率为概率）：‎ ‎/箱 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 频数 ‎30‎ ‎①估计接下来的一个月（30天）内该种玫瑰每天下午3点以前的销售量不少于5箱的天数是多少？‎ ‎②若批发店每天在购进5箱数量的玫瑰时所获得的平均利润最大（不考虑其他成本），求的取值范围．‎ ‎19．如图1所示，在矩形中，，，为中点，将沿折起，使点到点处，且平面平面，如图2所示．‎ ‎（Ⅰ）求证：：‎ ‎（Ⅱ）在棱上取点，使平面平面，求平面与所成锐二面角的余弦值．‎ ‎20．已知椭圆的右焦点为，，，是椭圆上任意三点，、关于原点对称且满足．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若斜率为的直线与圆：相切，与椭圆相交于不同的两点，求时，的取值范围．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若函数，试研究函数的极值情况；‎ ‎（Ⅱ）记函数在区间内的零点为，记，若在区间内有两个不等实根，证明：．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号涂黑．‎ ‎22．选修4-4：坐标累与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将直线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的倍得到直线．‎ ‎（Ⅰ）求直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值及此时点的坐标．‎ ‎23．选修4—5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若函数的最小值为，求证：，恒成立．‎ 长郡中学2020届高三适应性考试（四）‎ 理科数学参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D D A A B A D C D B A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13． 14． 15．62 16．10‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．解：（Ⅰ）数列的通项公式为；（Ⅱ）.‎ ‎18．解：（Ⅰ）；（Ⅱ）①21天：②的取值范围为．‎ ‎19．解：（Ⅰ）证明略；（Ⅱ）余弦值为．‎ ‎20．解（Ⅰ）椭圆的标准方程为；（Ⅱ）的取值范围为．‎ ‎21．解：（Ⅰ）当时，在处取极大值，在处取极小值；‎ 当时，不存在极值；‎ 当时，在处取极大值，‎ 在处取极小值．‎ ‎（Ⅱ）证明略．‎ ‎22．解：（Ⅰ）直线的普通方程为；‎ ‎（Ⅱ）点到直线的距离的最小值为，此时点的坐标为．‎ ‎23．解：（Ⅰ）不等式的解集为或：（Ⅱ）证明略．‎